Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 20/latex
\setcounter{section}{20}
\zwischenueberschrift{Beweis der Hinrichtung}
Wir kommen zum
\betonung{Beweis der Hinrichtung}{} im Satz von Chevalley-Shephard-Todd, d.h. wir zeigen, dass eine Spiegelungsgruppe einen Polynomring als Invariantenring besitzt. Wir werden wiederholt mit partiellen formalen Ableitungen arbeiten. Diese verhalten sich wie die üblichen partiellen Ableitungen über $\R$ oder über ${\mathbb C}$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Zu einem Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {\sum_{\nu } a_\nu X^\nu
}
{ \in} { K[X_1 , \ldots , X_n]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathbed {i} {}
{1 \leq i \leq n} {}
{} {} {} {,}
heißt das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\partial_i F
}
{ \defeq} { { \frac{ \partial F }{ \partial X_i } }
}
{ \defeq} { \sum_\nu \nu_i a_\nu X_1^{\nu_1} \cdots X_{i-1}^{\nu_{i-1} } X_i^{\nu_i -1} X_{i+1}^{\nu_{i+1} } \cdots X_n^{\nu_n}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {formale partielle Ableitung}{} von $F$ nach $X_i$.
}
Wir beweisen nun die Hinrichtung.
\inputbeweis
{
Wir betrachten das Ideal
\mathl{I_G \subseteq K[X_1 , \ldots , X_n]}{,} das von allen homogenen invarianten Polynomen positiven Grades erzeugt wird. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I_G
}
{ = }{(f_1 , \ldots , f_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein homogenes minimales Erzeugendensystem für dieses Ideal. Aufgrund von
Lemma 12.6
bilden diese
\mathl{f_1 , \ldots , f_m}{} ein
\definitionsverweis {Algebraerzeugendensystem}{}{}
von
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]^G}{.} Wir zeigen, dass die $f_i$
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{}
sind und nehmen an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(f_1 , \ldots , f_m)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist mit
\mathl{g \in K[Y_1 , \ldots , Y_m]}{,}
\mathl{g \neq 0}{,} ist. Es sei dabei $g$ von minimalem Grad.
Das Monom $Y^\nu$ aus $g$ wird nach Einsetzen zu $f^\nu$, was ein homogenes Polynom vom Grad
\mathl{\sum_i \nu_i \operatorname{grad} \, (f_i)}{} ist. Wir können daher annehmen, dass alle Monome, die in
\mathl{g(f_1 , \ldots , f_m)}{} vorkommen, den gemeinsamen Grad $d$ haben
\zusatzklammer {die Monome, die zu einem anderen Grad führen, werden einfach weggelassen} {} {.}
Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_i
}
{ \defeq} { \frac{\partial g}{\partial y_i}(f_1 , \ldots , f_m)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die zum Invariantenring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_n]^G}{} gehören. Die $g_i$ sind $0$ oder sie haben den Grad
\mathl{d- \operatorname{grad} \, (f_i)}{.} Da
\mathl{g(y_1 , \ldots , y_m)}{} nicht konstant ist, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{\partial g}{\partial y_i} { \left( y_1 , \ldots , y_m \right) }
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für zumindest ein $i$, da wir Charakteristik $0$ voraussetzen. Dann muss auch
\mathl{g_i \neq 0}{} für ein $i$ sein, da $g$ nach Annahme minimalen Grad besitzt.
Wir betrachten das Ideal
\mathl{J=(g_1 , \ldots , g_m) \subseteq K[X_1 , \ldots , X_n]}{,} und sei nach Umnummerierung $k$
\zusatzklammer {$\geq 1$} {} {}
so gewählt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{J
}
{ =} {(g_1 , \ldots , g_k)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist, aber keine echte Teilmenge davon dieses Ideal erzeugt. Für
\mathl{i>k}{} schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g_i
}
{ =} {\sum_{j = 1}^k h_{ij} g_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{h_{ij}=0}{} ist oder aber homogen vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (g_i)-\operatorname{grad} \, (g_j)
}
{ = }{ \operatorname{grad} \, (f_j) -\operatorname{grad} \, (f_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es folgt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} { \frac{\partial}{\partial x_s} { \left( g { \left( f_1 , \ldots , f_m \right) } \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m g_i\frac{\partial f_i}{\partial x_s}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k g_i \frac{\partial f_i}{\partial x_s} + \sum_{i = k+1}^m { \left( \sum_{j = 1}^k h_{ij} g_j \right) } \frac{\partial f_i}{\partial x_s}
}
{ =} { \sum_{i = 1}^k g_i { \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_s}+\sum_{j = k+1}^m { \left( h_{ji} \frac{\partial f_j}{\partial x_s} \right) } \right) }
}
}
{}
{}{.}
Wegen
\mathl{g_1 \notin (g_2 , \ldots , g_k)}{} gehört für jedes $s$ das homogene Element
\mathdisp {\frac{\partial f_1}{\partial x_s}+ \sum_{j = k+1}^m h_{j1} \frac{\partial f_j}{\partial x_s}} { }
nach Lemma 19.12
zu $I_G$. Daraus ergibt sich durch Multiplikation mit $x_s$
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \sum_{s=1}^n x_s \frac{\partial f_1}{\partial x_s} + \sum_{j = k+1}^m h_{j1} \sum_{s = 1}^n x_s \frac{\partial f_j}{\partial x_s}
}
{ =} {(\operatorname{grad} \, (f_1)) f_1 + \sum_{j = k+1}^m h_{j1} { \left( \operatorname{grad} \, (f_j) \right) } f_j
}
{ \in} {(x_1 , \ldots , x_n) I_G
}
{ \subseteq} { { \left( x_1f_1 , \ldots , x_nf_1 \right) } + { \left( f_2 , \ldots , f_m \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Die hinteren Summanden in diesem Polynom gehören zu
\mathl{(f_2 , \ldots , f_m)}{,} daher ist
\mathdisp {f_1 \in { \left( x_1f_1 , \ldots , x_nf_1 \right) } + { \left( f_2 , \ldots , f_m \right) }} { . }
Aus Gradgründen ist
\mathl{f_1 \in (f_2 , \ldots , f_m)}{,} was ein Widerspruch zur Minimalität des Idealerzeugendensystems von $I_G$ ist.
\zwischenueberschrift{Laurent-Entwicklung der Hilbert-Reihe}
Wir wenden uns nun der
\betonung{Rückrichtung}{} im Satz von Chevalley-Shephard-Todd zu. Zuerst erinnern wir an die \stichwort {Laurent-Entwicklung} {.} Eine
\definitionsverweis {rationale Funktion}{}{}
besitzt eine Laurent-Entwicklung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q(z)
}
{ =} {\frac{F(z)}{G(z)}
}
{ =} { \sum_{i=k}^\infty a_iz^i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $k$ eine eventuell negative Zahl ist. Ist
\mathl{a_k \neq 0}{} und $k$ minimal und negativ, so heißt $-k$ die Polstellenordnung
\zusatzklammer {\mathlk{\frac{1}{z^k}}{} hat einen Pol der Ordnung $k$} {} {.}
\inputfaktbeweis
{Endliche Gruppenoperation/Reflektionsanzahl/Laurententwicklung der Hilbertreihe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakter\-istik}{}{}
$0$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ \subset }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Untergruppe}{}{}
und sei $r$ die Anzahl der
\definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{}
in $G$.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Laurent-Entwicklung}{}{}
der
\definitionsverweis {Hilbert-Reihe}{}{}
des
\definitionsverweis {Invariantenringes}{}{}
um
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_G(z)
}
{ =} { \frac{1}{ { \# \left( G \right) } } (1-z)^{-n} + \frac{r}{2 { \# \left( G \right) } }(1-z)^{-n+1}+\ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach der
Molien-Formel
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_G(z)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{\sigma \in G} { \frac{ 1 }{ \det { \left(
\operatorname{Id} -z \sigma \right) } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Summanden haben die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{1}{ { \# \left( G \right) } } { \frac{ 1 }{ \det { \left(
\operatorname{Id} - z \sigma \right) } } }
}
{ =} { \frac{1}{ { \# \left( G \right) } } \frac{1}{(1-z\xi_{\sigma,1})} \cdots \frac{1}{(1-z\xi_{\sigma,n})}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die
\mathl{\xi_{\sigma, j}}{} die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
\zusatzklammer {mit Wiederholungen} {} {} von $\sigma$ seien. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ = }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
hat der entsprechende Summand in
\mathl{z=1}{} einen Pol der Ordnung $n$. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \neq }{
\operatorname{Id}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
haben die Summanden an
\mathl{z=1}{} einen Pol von maximaler Ordnung
\mathl{n-1}{.} Diese Maximalität tritt genau dann ein, wenn der Eigenwert $1$ die Vielfachheit
\mathl{n-1}{} besitzt, wenn also $\sigma$ eine Pseudoreflektion ist. In diesem Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \det { \left(
\operatorname{Id} -z \sigma \right) } } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ (1-z)^{n-1} } } \cdot { \frac{ 1 }{ { \left( 1- z \det \sigma \right) } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da bei einer Pseudoreflektion der andere Eigenwert gleich der Determinante ist. Daher ist der Koeffizient zu
\mathl{(1-z)^{-n+1}}{} in der Laurent-Entwicklung gleich
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{\sigma \text{ Pseudoreflektion} } { \frac{ 1 }{ 1- \det \sigma } }} { }
\zusatzklammer {im hinteren Faktor wird \mathlk{z=1}{} gesetzt} {} {.}
Das Inverse einer Pseudoreflektion ist ebenfalls eine Pseudoreflektion, daher ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ 2\sum_{\sigma \text{ Pseudoreflektion} } \frac{1}{1 - \det \sigma }
}
{ =} {\sum_{\sigma \text{ Pseudoreflektion} } { \left( \frac{1}{1- \det \sigma } + \frac{1}{1- { \left( \det \sigma \right) }^{-1} } \right) }
}
{ =} {\sum_{\sigma \text{ Pseudoreflektion} } 1
}
{ =} { r
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
\zwischenueberschrift{Beweis der Rückrichtung}
Wir beweisen nun die Rückrichtung des Satzes von Chevalley-Sheppard-Todd, dass also ein algebraisch unabhängiges Algebraerzeugendensystem nur bei einer Reflektionsgruppe vorliegen kann. Die Strategie ist, die von den Pseudoreflektionen erzeugte Untergruppe
\mathl{H\subseteq G}{} zu untersuchen und dabei letztlich auf
\mathl{H=G}{} zu schließen.
\inputfaktbeweis
{Endliche Gruppenoperation/Reflektionsanzahl/Polynomring/Gradbeziehung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {algebraisch abgeschlossener Körper}{}{}
der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$. Es sei
\mathl{G \subseteq \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
derart, dass der zugehörige
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
von $n$
\definitionsverweis {algebraisch unabhängigen}{}{}
\definitionsverweis {homogenen}{}{}
\definitionsverweis {Invarianten}{}{}
\mathl{\theta_1 , \ldots , \theta_n}{} erzeugt werde. Es sei
\mathl{d_i = \operatorname{grad} \, (\theta_i)}{} und $r$ die Anzahl der
\definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{}
in $G$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathdisp {\betrag { G }=d_1 \cdots d_n \text{ und } r=d_1 + \cdots + d_n-n} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 19.2
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi_G (z)
}
{ =} { \frac{1}{(1-z^{d_1})} \cdots \frac{1}{(1-z^{d_n})}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mathl{1-z^d=(1-z) { \left( 1+z + \cdots + z^{d-1} \right) }}{} ist dies gleich
\mathdisp {\frac{1}{(1-z)^n}\cdot \frac{1}{1+z + \cdots + z^{d_1-1} } \cdots \frac{1}{1+z+\ldots+z^{d_n-1} }} { . }
Der Bruch
\mathl{\frac{1}{1+z+\ldots+z^{d-1} }}{} hat um
\mathl{z=1}{} die Potenzreihenentwicklung
\mathdisp {\frac{1}{d}- \frac{d-1}{2d}(z-1)+\ldots} { , }
was sich durch Einsetzen und Ableiten ergibt. Die
\definitionsverweis {Laurent-Entwicklung}{}{}
um
\mathl{z=1}{} ergibt sich durch Einsetzen zu
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \Phi_G(z)
}
{ =} {\frac{1}{d_1 \cdots d_n}(1-z)^{-n}+\frac{d_1 + \cdots + d_n-n}{2d_1 \cdots d_n}(1-z)^{-n+1} + \ldots
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Vergleich mit
Lemma 20.2
ergibt die Behauptung.
Wir beweisen nun die Rückrichtung im Satz von Chevalley-Shephard-Todd.
\inputbeweis
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X_1 , \ldots , X_n]^G
}
{ =} {K[\theta_1 , \ldots , \theta_n ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $\theta_i$
\definitionsverweis {algebraisch unabhängig}{}{,}
und es sei
\mathl{\operatorname{grad} \, (\theta_i) =d_i}{.} Es sei
\mathl{H \subseteq G}{} die durch alle
\definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{}
erzeugte Untergruppe. Aufgrund der Hinrichtung des Satzes von Chevalley-Shephard-Todd wissen wir bereits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X_1 , \ldots , X_n]^H
}
{ =} {K[\psi_1 , \ldots , \psi_n]
}
{ \supseteq} {K[X_1 , \ldots , X_n ]^G
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad} \, (\psi_j)
}
{ = }{ e_j
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $\psi_j$ algebraisch unabhängig. Jedes $\theta_i$ ist ein Polynom in den $\psi_j$. Wir können annehmen, dass beide Polynomfamilien nach aufsteigendem Grad geordnet sind, es ist also
\mathl{d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n}{}
und
\mathl{e_1 \leq e_2 \leq \ldots \leq e_n}{.}
Dabei muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_i
}
{ \leq} {d_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$ gelten, da andernfalls
nach Aufgabe 20.12
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K[\theta_1 , \ldots , \theta_i ]
}
{ \subseteq} {K[\psi_1 , \ldots , \psi_{i-1} ]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten würde, was aber wegen der algebraischen Unabhängigkeit der Familien nicht sein kann. Es sei $r$ die Anzahl der
\definitionsverweis {Pseudoreflektionen}{}{}
in $G$ und in $H$. Nach
Korollar 20.3
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} { \sum_{i=1}^n(d_i-1)
}
{ =} {\sum_{i=1}^n(e_i-1)
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Daher muss
\mathl{e_i=d_i}{} gelten. Damit ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { G }
}
{ =} { d_1 \cdots d_n
}
{ =} { e_1\cdots e_n
}
{ =} { \betrag { H }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und damit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H
}
{ =} { G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
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