Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 23/latex

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\setcounter{section}{23}

In den folgenden Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq }{ \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {bis auf Konjugation} {} {} und die zugehörigen Invariantenringe
\mathl{K[U,V]^G}{} bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren \zusatzklammer {also die Bahnenräume} {} {} nennt man \stichwort {ADE-Singularitäten} {.} Von Singularitäten spricht man, da diese Invariantenringe keine Polynomringe sind, also nicht \anfuehrung{regulär}{} sind. Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im $\R^3$.






\zwischenueberschrift{Eine Liste von Untergruppen der \mathlk{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{}}

Wir betrachten die folgenden Beispiele von endlichen Untergruppen der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{.} Wir werden später sehen, dass diese Liste bis auf Konjugation vollständig ist.




\inputbeispiel{}
{

Die \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} der Ordnung $n$ lässt sich einfach als eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} realisieren. Dazu sei $\zeta$ eine $n$-te komplexe \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{,} beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \zeta }
{ = }{ e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ n } } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Die von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{n-1} \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{-1} \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ \begin{pmatrix} \zeta^{j} & 0 \\ 0 & \zeta^{-j} \end{pmatrix} \mid j =0 , \ldots , n-1 \right\} } }
{ \subseteq} { \operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} ist eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$. Diese Untergruppe wird mit $Z_n$ bezeichnet.


}




\inputbeispiel{}
{

Es sei
\mathl{n \in \N_+}{} und sei $\zeta$ eine $2n$-te komplexe \definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{,} beispielsweise
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta }
{ =} { e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ 2n } } } }
{ =} { e^{ { \frac{ \pi { \mathrm i} }{ n } } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die von den Matrizen
\mathdisp {A= A_{2n} = \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{-1} \end{pmatrix} \text{ und } B= \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugte Untergruppe}{}{} der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} heißt die \stichwort {binäre Diedergruppe} {.} Sie wird mit $BD_n$ bezeichnet. Das Element $A$ besitzt die Ordnung $2n$ und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A^n }
{ =} { \begin{pmatrix} \zeta^n & 0 \\ 0 & \zeta^{-n} \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
{ =} { B^2 }
{ } { }
} {}{}{.} Insbesondere besitzt $B$ die Ordnung $4$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ BA }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^{-1} \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \zeta^{-1} \\ { \mathrm i} \zeta & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} \zeta^{-1} & 0 \\ 0 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { A^{2n-1} B }
} {}{}{.} Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als
\mathbeddisp {A^{i} B^{j}} {mit}
{0 \leq i \leq 2n-1,\, 0 \leq j \leq 1} {}
{} {} {} {,} schreiben. Da $B$ nicht zu der von $A$ erzeugten Untergruppe gehört und \zusatzklammer {bei
\mathl{n \geq 2}{}} {} {} umgekehrt, ist diese Darstellung bei
\mathl{n \geq 2}{} eindeutig und
\mathl{BD_n}{} besitzt genau $4n$ Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Z_{2n} }
{ \subseteq }{ BD_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vom \definitionsverweis {Index}{}{} $2$ vor.


}




\inputbeispiel{}
{

Die Matrizen
\mathdisp {A = A_8= \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} ,\, B = \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \text{ und } C = { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}} { , }
wobei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{.} Die \definitionsverweis {Ordnungen}{}{} dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A^4 }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
{ =} {B^2 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also besitzt $A$ die Ordnung $8$ und $B$ die Ordnung $4$. Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta }
{ =} { e^{ { \frac{ 2 \pi { \mathrm i} }{ 8 } } } }
{ =} { e^{ { \frac{ \pi { \mathrm i} }{ 4 } } } }
{ =} { { \frac{ 1+ { \mathrm i} }{ \sqrt{2} } } }
{ } { }
} {}{}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{C^3 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^6 + \zeta^4 & \zeta^6+1 \\ \zeta^4 + \zeta^6 & \zeta^4+\zeta^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^3 + \zeta^5 & \zeta^5 + \zeta^3 +\zeta^7 + \zeta \\ \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta + \zeta^7 & \zeta^3 + \zeta^5 +\zeta^5 + \zeta^3 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
} {} {}{,} so dass die Ordnung von $C$ gleich $6$ ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als
\mathl{A^{i}B^{j}C^{k}}{} schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit \mathkor {} {A} {oder} {B} {} rechterhand multipliziert. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{C A }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} 1 & \zeta^6 \\ \zeta^6 & 1 \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -\sqrt{2} { \mathrm i} \\ -\sqrt{2} { \mathrm i} & \sqrt{2} \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \zeta +\zeta^7 & \zeta^5 + \zeta^7 \\ \zeta^7 + \zeta^5 & \zeta^7 + \zeta \end{pmatrix} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 +\zeta^6 & \zeta^4 + \zeta^6 \\ 1 + \zeta^6 & 1 + \zeta^2 \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^6+ \zeta^4 & \zeta^6+1 \\ \zeta^4+ \zeta^6 & \zeta^4 + \zeta^2 \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}^2 }
{ =} { A B C^2 }
} {}{,} man kann also $A$ von rechts an $C$ vorbeischieben. Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{CB }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta & \zeta \\ \zeta^3 & \zeta^7 \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} { \mathrm i} & 0 \\ 0 & -{ \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix} }
{ =} {A^2 C }
} {} {}{} kann man $B$ von rechts an $C$ vorbeischieben. Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{BA }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & \zeta \\ \zeta^3 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} \zeta^7 & 0 \\ 0 & \zeta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix}^7 \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} }
} {
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { A^7 B }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
} {}{} kann man $B$ von rechts an $A$ vorbeischieben. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C^3 }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
{ =} { A^4 }
{ =} { B^2 }
{ } { }
} {}{}{} kann man sogar jedes Gruppenelement als
\mathbeddisp {A^{i}B^{j}C^{k}} {mit}
{0 \leq i \leq 7,\, 0 \leq j \leq 1,\, 0 \leq k \leq 2,\,} {}
{} {} {} {} schreiben.

Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte
\mathbed {A^{i}B^{j}} {mit}
{0 \leq i \leq 7,\, 0 \leq j \leq 1,} {}
{} {} {} {} bilden nach Beispiel 23.2 die \definitionsverweis {binäre Diedergruppe}{}{}
\mathl{BD_4}{} der Ordnung $16$, dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung $16$ aber auch eine Untergruppe der Ordnung $3$ \zusatzklammer {die von $C^2$ erzeugte Untergruppe} {} {,} also muss ihre Ordnung $48$ sein \zusatzklammer {und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben} {} {.} Es handelt sich also um eine Gruppe mit $48$ Elementen, die die \stichwort {binäre Oktaedergruppe} {} heißt. Sie wird mit $BO$ bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Z_8 }
{ \subseteq} {BD_4 }
{ \subseteq} {BO }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vor.


}




\inputbeispiel{}
{

Es seien
\mathdisp {A = \begin{pmatrix} \zeta & 0 \\ 0 & \zeta^7 \end{pmatrix} ,\, B = \begin{pmatrix} 0 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \text{ und } C = { \frac{ 1 }{ \sqrt{2} } } \begin{pmatrix} \zeta^7 & \zeta^7 \\ \zeta^5 & \zeta \end{pmatrix}} { , }
wobei $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel ist, die Erzeuger der \definitionsverweis {binären Oktaedergruppe}{}{}
\mathl{BO}{.} Die darin von
\mathl{A^2,B,C}{} erzeugte Untergruppe besteht aus allen Elementen
\mathbed {A^{2i}B^{j}C^k} {mit}
{0 \leq i \leq 3,\, 0 \leq j \leq 1,\, 0 \leq k \leq 2} {}
{} {} {} {,} wie ähnliche Berechnungen wie die aus Beispiel 23.3 zeigen, und besitzt demnach $24$ Elemente. Diese Gruppe nennt man die \stichwort {binäre Tetraedergruppe} {,} sie wird mit $BT$ bezeichnet.


}




\inputbeispiel{}
{

Es sei $\xi$ eine \definitionsverweis {primitive}{}{} $5$-te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen
\mathdisp {E= - \begin{pmatrix} \xi^3 & 0 \\ 0 & \xi^2 \end{pmatrix} \text{ und } F= { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \begin{pmatrix} - \xi + \xi^4 & \xi^2-\xi^3 \\ \xi^2-\xi^3 & \xi -\xi^4 \end{pmatrix}} { . }
Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} heißt die \stichwort {binäre Ikosaedergruppe} {.} Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E^5 }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit besitzt $E$ die \definitionsverweis {Ordnung}{}{} $10$. Wegen
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{F^2 }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } \begin{pmatrix} - \xi + \xi^4 & \xi^2-\xi^3 \\ \xi^2-\xi^3 & \xi -\xi^4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \xi + \xi^4 & \xi^2-\xi^3 \\ \xi^2-\xi^3 & \xi -\xi^4 \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } \begin{pmatrix} \xi^2 + \xi^3 -2+ \xi^4+\xi -2 & 0 \\ 0 & \xi^4+\xi -2+\xi^2 + \xi^3 -2 \end{pmatrix} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 5 } } \begin{pmatrix} -5 & 0 \\ 0 & -5 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
} {} {}{} besitzt $F$ die Ordnung $4$. Ferner ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{EF }
{ =} { - \begin{pmatrix} \xi^3 & 0 \\ 0 & \xi^2 \end{pmatrix} \cdot { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \begin{pmatrix} - \xi + \xi^4 & \xi^2-\xi^3 \\ \xi^2-\xi^3 & \xi -\xi^4 \end{pmatrix} }
{ =} { - { \frac{ 1 }{ \sqrt{5} } } \begin{pmatrix} - \xi^4 + \xi^2 & 1-\xi \\ \xi^4- 1 & \xi^3 -\xi \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{.} Dabei ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \begin{pmatrix} - \xi^4 + \xi^2 & 1-\xi \\ \xi^4- 1 & \xi^3 -\xi \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \xi^4 + \xi^2 & 1-\xi \\ \xi^4- 1 & \xi^3 -\xi \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \xi^4 + \xi^3- \xi -2 & -2 \xi^4 +2 \xi^2 - \xi +1 \\ \xi^4-2 \xi^3 +2\xi -1 & - \xi^4 + \xi^2 +2 \xi -2 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {} {}{} und \zusatzklammer {unter Verwendung von
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \xi^2+\xi^3 }
{ = }{ - { \frac{ 1 + \sqrt{5} }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \begin{pmatrix} - \xi^4 + \xi^2 & 1-\xi \\ \xi^4- 1 & \xi^3 -\xi \end{pmatrix}^3 }
{ =} { \begin{pmatrix} 2 \xi^4 + \xi^3- \xi -2 & -2 \xi^4 +2 \xi^2 - \xi +1 \\ \xi^4-2 \xi^3 +2\xi -1 & - \xi^4 + \xi^2 +2 \xi -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} - \xi^4 + \xi^2 & 1-\xi \\ \xi^4- 1 & \xi^3 -\xi \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \xi^4 -5 \xi^3 -5 \xi^2 +5 \xi & 0 \\ 0 & 5 \xi^4 -5 \xi^3 -5 \xi^2 +5 \xi \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} -5 -10 { \left( \xi^3+ \xi^2 \right) } & 0 \\ 0 & -5 -10 { \left( \xi^3+ \xi^2 \right) } \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \sqrt{5} & 0 \\ 0 & 5 \sqrt{5} \end{pmatrix} }
} {} {}{,} also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(EF)^3 }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die Ordnung von $EF$ ist $6$. Diese Gruppe besitzt
\mathl{120}{} Elemente und heißt die \stichwort {binäre Ikosaedergruppe} {,} sie wird mit $BI$ bezeichnet.


}






\zwischenueberschrift{Untergruppen der speziellen unitären Gruppe}

In den oben aufgelisteten endlichen Untergruppen der
\mathl{\operatorname{SL}_{ 2 } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} sind die \zusatzklammer {erzeugenden} {} {} Matrizen von der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} u & - \overline{ v } \\ v & \overline{ u } \end{pmatrix}} { , }
d.h. es handelt sich um unitäre Matrizen. Wir erinnern an die entsprechenden Begrifflichkeiten. Das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} auf dem ${\mathbb C}^n$ ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle w , z \right\rangle }
{ =} { \sum_{i = 1}^n w_i \overline{ z_i } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert. Eine lineare Abbildung \maabb {f} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}^n } {} heißt \stichwort {unitär} {,} wenn sie das Standardskalarprodukt respektiert, wenn also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f(w) , f(z) \right\rangle }
{ =} { \left\langle w , z \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{w,z }
{ \in }{ {\mathbb C}^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt. Dies ist das komplexe Analogon zu den Isometrien im Reellen.




\inputdefinition
{}
{

Der ${\mathbb C}^n$ sei mit dem \definitionsverweis {komplexen Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Die Menge aller \definitionsverweis {unitären}{}{} \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} \maabb {f} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}^n } {} bilden eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die die \definitionswort {unitäre Gruppe}{} heißt. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{U}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} bezeichnet.

}




\inputdefinition
{}
{

Der ${\mathbb C}^n$ sei mit dem \definitionsverweis {komplexen Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Die Menge aller \definitionsverweis {unitären}{}{} \definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} \maabb {f} {{\mathbb C}^n} {{\mathbb C}^n } {} mit \definitionsverweis {Determinante}{}{} $1$ bilden eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{,} die die \definitionswort {spezielle unitäre Gruppe}{} heißt. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{SU}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} bezeichnet.

}





\inputfaktbeweis
{SLnC/Endliche Untergruppe/Konjugiert zu SUnC/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Jede endliche \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{G \subseteq \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{}}
\faktfolgerung {ist zu einer Untergruppe der
\mathl{\operatorname{SU}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} \definitionsverweis {konjugiert}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Es sei
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} das \definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} auf dem ${\mathbb C}^n$. Wir definieren zuerst unter Bezug auf die endliche Gruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ \subseteq} {\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein neues \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{} auf ${\mathbb C}^n$, nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi(w,z) }
{ \defeq} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{ \sigma \in G} \left\langle \sigma w , \sigma z \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Nach Aufgabe 23.6 handelt es sich in der Tat um ein Skalarprodukt. Für ein Gruppenelement
\mathl{\tau \in G}{} ist ferner
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Phi( \tau w , \tau z) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{ \sigma \in G} \left\langle \sigma \tau w , \sigma \tau z \right\rangle }
{ =} { { \frac{ 1 }{ { \# \left( G \right) } } } \sum_{ \sigma \in G} \left\langle \sigma w , \sigma z \right\rangle }
{ =} {\Phi( w , z) }
{ } { }
} {}{}{,} da ja insgesamt über die gleichen Gruppenelemente aufsummiert wird. Die zu $G$ gehörenden linearen Abbildungen sind also \definitionsverweis {unitär}{}{} bezüglich $\Phi$. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{} von ${\mathbb C}^n$ bezüglich $\Phi$ und sei $M$ die Matrix, deren Spalten die $u_i$ sind. Wir betrachten die konjugierte Gruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H }
{ \defeq} { M^{-1} G M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H }
{ =} { { \left\{ M^{-1} \sigma M \mid \sigma \in G \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle w , z \right\rangle }
{ =} {\Phi ( Mw, Mz ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da dies für die Standardbasis git. Für
\mathl{\tau \in H}{} und
\mathl{w,z \in {\mathbb C}^n}{} gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \left\langle \tau w , \tau z \right\rangle }
{ =} { \left\langle M^{-1} \sigma M w , M^{-1} \sigma M z \right\rangle }
{ =} { \Phi ( \sigma Mw, \sigma Mz ) }
{ =} { \Phi ( Mw, Mz ) }
{ =} { \left\langle w , z \right\rangle }
} {} {}{,} d.h. $H$ ist bezüglich des Standardskalarproduktes unitär. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tau }
{ =} { M^{-1} \sigma M }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mathl{\sigma \in \operatorname{SL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{} besitzt auch $\tau$ die \definitionsverweis {Determinante}{}{} $1$, und daher ist
\mathl{H \subseteq \operatorname{SU}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{.}

}



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PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)