Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 23

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei eine -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die zyklische Gruppe

auf der Punktmenge

treu operiert, dass sie bei ungerade auf der Geradenmenge

ebenfalls treu operiert und dass sie bei gerade auf der Geradenmenge

operiert, aber nicht treu. Was ist in diesem Fall der Kern der Operation?


Aufgabe

Zeige, dass die binäre Diedergruppe eine zyklische Gruppe der Ordnung ist.


Aufgabe

Wir betrachten die binäre Diedergruppe . Zeige, dass bei die von

erzeugte Untergruppe kein Normalteiler ist.


Aufgabe

Es sei eine -te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die binäre Diedergruppe auf der Geradenmenge

operiert.


Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 23.1, Beispiel 23.2, Beispiel 23.3 und Beispiel 23.4 beschriebenen Gruppen bereits Untergruppen der sind.


Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

zu gehört.


Aufgabe

Es sei eine endliche Untergruppe und es sei das Standardskalarprodukt auf dem . Zeige, dass durch

ein Skalarprodukt auf definiert wird.


Aufgabe

Es sei eine Matrix und

die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann unitär ist, wenn die Einheitsmatrix ist.


In den folgenden Aufgaben rekapitulieren wir einige Eigenschaften der Einheitswurzeln und der Kreisteilungspolynome.

Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in .


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Vektoren (im )

linear unabhängig sind.


Aufgabe

Es sei eine -te primitive Einheitswurzel in einem Körper . Zeige die „Schwerpunktformel“


Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungspolynome für .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix

mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

zur binären Oktaedergruppe gehört (dabei ist eine primitive achte Einheitswurzel). Gehört sie auch zur binären Tetraedergruppe?


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die binäre Ikosaedergruppe Elemente besitzt.



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