Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Arbeitsblatt 23

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei  $\zeta \in ℂ$  eine $n$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die zyklische Gruppe

$Z_n=\{\left(\begin{array}{cc}{\zeta }^j& 0\\ 0& {\zeta }^{-j}\end{array}\right)\mid j=0,\dots ,n-1\}\subseteq {\mathrm{SL}}_2\left(ℂ\right)$

auf der Punktmenge

$\{\left(\begin{array}{c}{\zeta }^j\\ {\zeta }^{-j}\end{array}\right)\mid j=0,\dots ,n-1\}$

treu operiert, dass sie bei $n$ ungerade auf der Geradenmenge

$\{⟨\left(\begin{array}{c}{\zeta }^j\\ {\zeta }^{-j}\end{array}\right)⟩\mid j=0,\dots ,n-1\}$

ebenfalls treu operiert und dass sie bei $n$ gerade auf der Geradenmenge

$\{⟨\left(\begin{array}{c}{\zeta }^j\\ {\zeta }^{-j}\end{array}\right)⟩\mid j=0,\dots ,\frac{n}{2}-1\}$

operiert, aber nicht treu. Was ist in diesem Fall der Kern der Operation?

Aufgabe

Zeige, dass die binäre Diedergruppe $B{D}_1$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $4$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die binäre Diedergruppe $B{D}_n$. Zeige, dass bei  $n\ge 3$  die von

$B=\left(\begin{array}{cc}0& \mathrm{i}\\ \mathrm{i}& 0\end{array}\right)$

erzeugte Untergruppe kein Normalteiler ist.

Aufgabe

Es sei  $\zeta \in ℂ$  eine $2n$-te primitive Einheitswurzel. Zeige, dass die binäre Diedergruppe $B{D}_n$ auf der Geradenmenge

$\{⟨\left(\begin{array}{c}{\zeta }^j\\ {\zeta }^{-j}\end{array}\right)⟩\mid j=0,\dots ,n-1\}\cup \{⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)⟩,⟨\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)⟩\}$

operiert.

Aufgabe

Zeige, dass die in Beispiel 23.1, Beispiel 23.2, Beispiel 23.3 und Beispiel 23.4 beschriebenen Gruppen bereits Untergruppen der ${\mathrm{SU}}_2\left(ℂ\right)$ sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Matrix

$F=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{array}{cc}-\xi +{\xi }^4& {\xi }^2-{\xi }^3\\ {\xi }^2-{\xi }^3& \xi -{\xi }^4\end{array}\right)$

zu ${\mathrm{SU}}_2\left(ℂ\right)$ gehört.

Aufgabe *

Es sei  $G\subseteq {\mathrm{GL}}_n\left(ℂ\right)$  eine endliche Untergruppe und es sei $⟨-,-⟩$ das Standardskalarprodukt auf dem ${ℂ}^n$. Zeige, dass durch

$\Phi (w,z):=\frac{1}{\mathrm{\#}\left(G\right)}\sum _{\sigma \in G}⟨\sigma w,\sigma z⟩$

ein Skalarprodukt auf ${ℂ}^n$ definiert wird.

Aufgabe

Es sei  $M\in {\mathrm{Mat}}_n(ℂ)$  eine Matrix und

$\phi :{ℂ}^n⟶{ℂ}^n$

die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann unitär ist, wenn ${}^{t}M\cdot \bar{M}$ die Einheitsmatrix ist.

In den folgenden Aufgaben rekapitulieren wir einige Eigenschaften der Einheitswurzeln und der Kreisteilungspolynome.

Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der fünften Einheitswurzeln in $ℂ$.

Aufgabe

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass die $n$ Vektoren (im ${ℂ}^n$)

$(1,\zeta ,{\zeta }^2,\dots ,{\zeta }^{n-1}),\zeta \in {\mu }_n(ℂ),$

linear unabhängig sind.

Aufgabe

Es sei  $\zeta \in K$  eine $n$-te primitive Einheitswurzel in einem Körper $K$. Zeige die „Schwerpunktformel“

$1+\zeta +{\zeta }^2+\cdots +{\zeta }^{n-1}=0.$

Aufgabe

Bestimme die Kreisteilungspolynome ${\Phi }_n$ für  $n\le 15$. 

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}{\zeta }^7& {\zeta }^7\\ {\zeta }^5& \zeta \end{array}\right)$

mit  $\zeta =\frac{1+\mathrm{i}}{\sqrt{2}}$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& -\mathrm{i}\\ \zeta & -\mathrm{i}\end{array}\right)$

zur binären Oktaedergruppe gehört (dabei ist $\zeta$ eine primitive achte Einheitswurzel). Gehört sie auch zur binären Tetraedergruppe?

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass die binäre Ikosaedergruppe $120$ Elemente besitzt.