Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 23
In den folgenden Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen (bis auf Konjugation) und die zugehörigen Invariantenringe bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren (also die Bahnenräume) nennt man ADE-Singularitäten. Von Singularitäten spricht man, da diese Invariantenringe keine Polynomringe sind, also nicht „regulär“ sind. Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im .
- Eine Liste von Untergruppen der
Wir betrachten die folgenden Beispiele von endlichen Untergruppen der . Wir werden später sehen, dass diese Liste bis auf Konjugation vollständig ist.
Die zyklische Gruppe der Ordnung lässt sich einfach als eine Untergruppe der realisieren. Dazu sei eine -te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise . Die von
erzeugte Untergruppe, also
ist eine zyklische Gruppe der Ordnung . Diese Untergruppe wird mit bezeichnet.
Es sei und sei eine -te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise
Die von den Matrizen
erzeugte Untergruppe der heißt die binäre Diedergruppe. Sie wird mit bezeichnet. Das Element besitzt die Ordnung und es ist
Insbesondere besitzt die Ordnung . Es ist
Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als
schreiben. Da nicht zu der von erzeugten Untergruppe gehört und (bei ) umgekehrt, ist diese Darstellung bei eindeutig und besitzt genau Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung vom Index vor.
Die Matrizen
wobei eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von . Die Ordnungen dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist
also besitzt die Ordnung und die Ordnung . Mit
ist
sodass die Ordnung von gleich ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit oder rechterhand multipliziert. Es ist
man kann also von rechts an vorbeischieben. Wegen
kann man von rechts an vorbeischieben. Wegen
kann man von rechts an vorbeischieben. Wegen
kann man sogar jedes Gruppenelement als
schreiben.
Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte mit bilden nach Beispiel 23.2 die binäre Diedergruppe der Ordnung , dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung aber auch eine Untergruppe der Ordnung (die von erzeugte Untergruppe), also muss ihre Ordnung sein (und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben). Es handelt sich also um eine Gruppe mit Elementen, die die binäre Oktaedergruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung
vor.
Es seien
wobei eine primitive achte Einheitswurzel ist, die Erzeuger der binären Oktaedergruppe . Die darin von erzeugte Untergruppe besteht aus allen Elementen mit , wie ähnliche Berechnungen wie die aus Beispiel 23.3 zeigen, und besitzt demnach Elemente. Diese Gruppe nennt man die binäre Tetraedergruppe, sie wird mit bezeichnet.
Es sei eine primitive -te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen
Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der heißt die binäre Ikosaedergruppe. Es ist
und somit besitzt die Ordnung . Wegen
besitzt die Ordnung . Ferner ist
Dabei ist
und (unter Verwendung von )
also ist
und die Ordnung von ist . Diese Gruppe besitzt Elemente und heißt die binäre Ikosaedergruppe, sie wird mit bezeichnet.
- Untergruppen der speziellen unitären Gruppe
In den oben aufgelisteten endlichen Untergruppen der sind die (erzeugenden) Matrizen von der Form
d.h. es handelt sich um unitäre Matrizen. Wir erinnern an die entsprechenden Begrifflichkeiten. Das Standardskalarprodukt auf dem ist durch
definiert. Eine lineare Abbildung heißt unitär, wenn sie das Standardskalarprodukt respektiert, wenn also
für alle gilt. Dies ist das komplexe Analogon zu den Isometrien im Reellen.
Der sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen bilden eine Gruppe, die die unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet.
Der sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen mit Determinante bilden eine Gruppe, die die spezielle unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet.
Jede endliche Untergruppe
ist zu einer Untergruppe der konjugiert.
Es sei das Standardskalarprodukt auf dem . Wir definieren zuerst unter Bezug auf die endliche Gruppe
ein neues Skalarprodukt auf , nämlich
Nach Aufgabe 23.6 handelt es sich in der Tat um ein Skalarprodukt. Für ein Gruppenelement ist ferner
da ja insgesamt über die gleichen Gruppenelemente aufsummiert wird. Die zu gehörenden linearen Abbildungen sind also unitär bezüglich . Es sei eine Orthonormalbasis von bezüglich und sei die Matrix, deren Spalten die sind. Wir betrachten die konjugierte Gruppe
also
Dabei gilt die Beziehung
da dies für die Standardbasis git. Für und gilt
d.h. ist bezüglich des Standardskalarproduktes unitär. Wegen
und besitzt auch die Determinante , und daher ist .
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