Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 23

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In den folgenden Vorlesungen möchten wir die endlichen Untergruppen (bis auf Konjugation) und die zugehörigen Invariantenringe bestimmen. Es wird sich herausstellen, dass es hierzu eine überschaubare Klassifikation gibt, nämlich die ADE-Klassifikation. Die auftretenden Invariantenringe bzw. ihre Spektren (also die Bahnenräume) nennt man ADE-Singularitäten. Von Singularitäten spricht man, da diese Invariantenringe keine Polynomringe sind, also nicht „regulär“ sind. Die anvisierte Klassifikation beruht auf der Klassifikation der endlichen Bewegungsgruppen im .



Eine Liste von Untergruppen der

Wir betrachten die folgenden Beispiele von endlichen Untergruppen der . Wir werden später sehen, dass diese Liste bis auf Konjugation vollständig ist.


Beispiel  

Die zyklische Gruppe der Ordnung lässt sich einfach als eine Untergruppe der realisieren. Dazu sei eine -te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise . Die von

erzeugte Untergruppe, also

ist eine zyklische Gruppe der Ordnung . Diese Untergruppe wird mit bezeichnet.



Beispiel  

Sei und sei eine -te komplexe primitive Einheitswurzel, beispielsweise

Die von den Matrizen

erzeugte Untergruppe der heißt die binäre Diedergruppe. Sie wird mit bezeichnet. Das Element besitzt die Ordnung und es ist

Insbesondere besitzt die Ordnung . Es ist

Somit lassen sich alle Elemente der Gruppe als

schreiben. Da nicht zu der von erzeugten Untergruppe gehört und (bei ) umgekehrt, ist diese Darstellung bei eindeutig und besitzt genau Elemente. Es liegt die Untergruppenbeziehung vom Index vor.



Beispiel  

Die Matrizen

wobei eine primitive achte Einheitswurzel ist, erzeugen eine Untergruppe von . Die Ordnungen dieser Elemente ergeben sich folgendermaßen. Es ist

also besitzt die Ordnung und die Ordnung . Mit

ist

so dass die Ordnung von gleich ist. Jedes Element dieser Gruppe kann man als schreiben, wobei die Exponenten jeweils maximal bis zur Ordnung der Matrizen laufen. Um das einzusehen muss man untersuchen, was passiert, wenn man ein solches Element mit oder rechterhand multipliziert. Es ist

man kann also von rechts an vorbeischieben. Wegen

kann man von rechts an vorbeischieben. Wegen

kann man von rechts an vorbeischieben. Wegen

kann man sogar jedes Gruppenelement als

schreiben.

Wir zeigen, dass es unter diesen Elementen keine Wiederholungen gibt. Die Produkte  mit bilden nach Beispiel 23.2 die binäre Diedergruppe der Ordnung , dort gibt es also keine Wiederholungen. Also enthält die Gruppe eine Untergruppe der Ordnung aber auch eine Untergruppe der Ordnung (die von erzeugte Untergruppe), also muss ihre Ordnung sein (und in den obigen Produkten kann es keine Wiederholung geben). Es handelt sich also um eine Gruppe mit Elementen, die die binäre Oktaedergruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet. Es liegt die Untergruppenbeziehung

vor.



Beispiel  

Es seien

wobei eine primitive achte Einheitswurzel ist, die Erzeuger der binären Oktaedergruppe . Die darin von erzeugte Untergruppe besteht aus allen Elementen  mit , wie ähnliche Berechnungen wie die aus Beispiel 23.3 zeigen, und besitzt demnach Elemente. Diese Gruppe nennt man die binäre Tetraedergruppe, sie wird mit bezeichnet.



Beispiel  

Es sei eine primitive -te komplexe Einheitswurzel. Wir setzen

Die von diesen Elementen erzeugte Untergruppe der heißt die binäre Ikosaedergruppe. Es ist

und somit besitzt die Ordnung . Wegen

besitzt die Ordnung . Ferner ist

Dabei ist

und (unter Verwendung von )

also ist

und die Ordnung von ist . Diese Gruppe besitzt Elemente und heißt die binäre Ikosaedergruppe, sie wird mit bezeichnet.




Untergruppen der speziellen unitären Gruppe

In den oben aufgelisteten endlichen Untergruppen der sind die (erzeugenden) Matrizen von der Form

d.h. es handelt sich um unitäre Matrizen. Wir erinnern an die entsprechenden Begrifflichkeiten. Das Standardskalarprodukt auf dem ist durch

definiert. Eine lineare Abbildung heißt unitär, wenn sie das Standardskalarprodukt respektiert, wenn also

für alle gilt. Dies ist das komplexe Analogon zu den Isometrien im Reellen.


Definition  

Der sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen bilden eine Gruppe, die die unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet.


Definition  

Der sei mit dem komplexen Standardskalarprodukt versehen. Die Menge aller unitären linearen Abbildungen mit Determinante bilden eine Gruppe, die die spezielle unitäre Gruppe heißt. Sie wird mit bezeichnet.



Lemma  

Jede endliche Untergruppe

ist zu einer Untergruppe der konjugiert.

Beweis  

Es sei das Standardskalarprodukt auf dem . Wir definieren zuerst unter Bezug auf die endliche Gruppe

ein neues Skalarprodukt auf , nämlich

Nach Aufgabe 23.6 handelt es sich in der Tat um ein Skalarprodukt. Für ein Gruppenelement ist ferner

da ja insgesamt über die gleichen Gruppenelemente aufsummiert wird. Die zu gehörenden linearen Abbildungen sind also unitär bezüglich . Es sei eine Orthonormalbasis von bezüglich und sei die Matrix, deren Spalten die sind. Wir betrachten die konjugierte Gruppe

also

Dabei gilt die Beziehung

da dies für die Standardbasis git. Für und gilt

d.h. ist bezüglich des Standardskalarproduktes unitär. Wegen

und besitzt auch die Determinante , und daher ist .



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