Kurs:Invariantentheorie (Osnabrück 2012-2013)/Vorlesung 24

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Die Beziehung zwischen und

Für die Klassifikation der endlichen Untergruppen der werden wir die platonische Klassifikation der endlichen Untergruppen der heranziehen. Die Beziehung zwischen diesen beiden Fragestellungen beruht darauf, dass einerseits die auf der komplex-projektiven Geraden und andererseits die Isometrien des auf der 2-Sphäre operiert. Die Homöomorphie ermöglicht einen Zusammenhang zwischen diesen Gruppen und ihren endlichen Untergruppen.

Die projektive komplexe Gerade ist die Menge aller Geraden im durch den Nullpunkt; sie ist topologisch betrachtet eine Sphäre . Diesen Zusammenhang kann man explizit machen, indem man als Zwischenschritt mit arbeitet. Diese erweiterte komplexe Ebene steht einerseits mit der projektiven Geraden ( ist eine affine Karte der projektiven Gerade, die den „unendlich fernen Punkt“ nicht enthält) und andererseits mit der Sphäre über die stereographische Projektion in Bijektion ( entspricht dabei dem Nordpol).

Eine komplexe Zahl definiert die von erzeugte Gerade und damit den Punkt (in homogenen Koordinaten) der komplex-projektiven Geraden . Die Umkehrabbildung ist durch gegeben, die für definiert ist. Dem Punkt entspricht der unendlich ferne Punkt .

Die Umkehrabbildung der stereographischen Projektion ist die Abbildung

Die Gesamtabbildung

besitzt insgesamt die Beschreibung

Mit und schreibt man dies (unter Verwendung von ) als

Diese Formel zeigt, dass die Abbildung für alle definiert ist, wobei auf den Nordpol abgebildet wird. Es liegt also eine explizite Bijektion vor. Die Umkehrabbildung ist (für mit ) durch

gegeben. Wenn man eine normierte Repräsentierung dieses Punktes erhalten möchte, so muss man durch dividieren.

Insbesondere erhält man eine explizite (in den natürlichen Topologien stetige) Abbildung

deren Fasern genau die punktierten komplexen Geraden sind.

Die natürliche Operation der auf - und das gilt auch für jede endliche Untergruppe - induziert eine Operation auf der Menge der eindimensionalen Untervektorräume (also der komplexen Geraden durch den Nullpunkt) und damit auf . Eine Gerade wird durch einfach auf die Bildgerade abgebildet. Eine Gerade wird unter auf die Gerade abgebildet, bzw. in homogenen Koordinaten

Dabei wirken Streckungen, also Abbildungen der Form mit , trivial auf der Menge der Geraden und auf der projektiven Geraden. Da man jede invertierbare Matrix als Produkt einer solchen Streckungsmatrix und einer invertierbaren Matrix mit Determinante schreiben kann, muss man im Wesentlichen die Operation der auf der projektiven Geraden verstehen. Die einzige Matrix neben der Einheitsmatrix, die sämtliche Geraden auf sich selbst abbildet, ist


Definition  

Es sei ein Körper und . Die Restklassengruppe

heißt projektive spezielle lineare Gruppe. Sie wird mit

bezeichnet.

Insbesondere ist . Diese Gruppe operiert in natürlicher Weise treu und transitiv auf der projektiven Geraden. Mittels der obigen Identifizierung kann man die Operation der Gruppen (und Untergruppen) auf zu einer Operation dieser Gruppen auf der zweidimensionalen Sphäre übersetzen. Es stellt sich heraus, dass die zugehörigen Automorphismen im Allgemeinen nicht längentreu sind. Um dies zu erreichen, arbeiten wir mit der unitären Gruppen .



Satz  

Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

dessen Kern gleich

ist.

Die Abbildung kann explizit (mit und unter der Bedingung ) durch

realisiert werden.

Beweis  

Es sei

die explizite Homöomorphie zwischen der komplex-projektiven Geraden und der -Sphäre . Durch

erhält man einen Gruppenhomomorphismus der allgemeinen linearen Gruppe in die Gruppe der stetigen Automorphismen (also der Homöomorphismen) der Sphäre. Eine explizite Rechnung für zeigt, dass der zugehörige Homöomorphismus von einer linearen Abbildung der angegebenen Gestalt herrührt.
Zur Surjektivität Für und mit geht die Matrix links auf

Wenn man und vorgibt und und setzt (das Vorzeichen ist geeignet zu wählen), so wird die Matrix zu

d.h. sie beschreibt die Drehung um den Winkel um die -Achse. Diese Drehung liegt also im Bild der Abbildung. Indem man die Rollen von ändert, sieht man, dass auch die Drehungen um die beiden anderen Koordinatenachsen im Bild der Abbildung liegen. Nach Aufgabe 24.11 lässt sich jede Isometrie als eine Verknüpfung von Drehungen um die Koordinatenachsen erhalten. Also ist die Abbildung surjektiv.
Zur Bestimmung des Kerns addieren wir jeweils die beiden Einträge der Matrix, die nicht auf der Diagonalen liegen und symmetrisch zur Diagonalen sind. Dies ergibt die Bedingungen . Die Differenzen von je zwei Einträgen der Diagonalen ergibt die Bedingung , woraus insgesamt folgt. Die Bedingung führt dann zu den beiden Elementen im Kern.




Lemma  

Das einzige Element aus der Ordnung ist .

Beweis  

Sei

mit , und mit . Das bedeutet

Wir nehmen zunächst an. Daraus folgt , also ist der Realteil von gleich . Daher ist imaginär und sein Quadrat ist negativ. Dann ist aber auch negativ und nicht gleich . Also ist . Dann ist und somit ist .




Satz  

Die endlichen Untergruppen der sind bis auf Isomorphie

  1. die endlichen zyklischen Gruppen ,
  2. die binären Diedergruppen , ,
  3. die binäre Tetraedergruppe ,
  4. die binäre Oktaedergruppe ,
  5. die binäre Ikosaedergruppe .

Beweis  

Nach Lemma 23.8 können wir davon ausgehen, dass ist. Es sei

der surjektive Gruppenhomomorphismus aus Satz 24.2. Es sei die Bildgruppe von unter dieser Abbildung, für die es aufgrund von Satz 22.8 starke Einschränkungen gibt. Wenn ungerade ist, so enthält kein Element der Ordnung . Also ist trivial und somit ist ein Isomorphismus. Aufgrund der Klassifikation für endliche Symmetriegruppen muss zyklisch sein. Sei also gerade, sagen wir mit ungerade. Nach dem Satz von Sylow besitzt eine Untergruppe mit Elementen und damit insbesondere auch ein Element der Ordnung . Wegen Satz 24.3 gibt es in nur das Element der Ordnung . Also ist und somit ist . Damit ist insbesondere

d.h. ist das Urbild zu einer endlichen Untergruppe . ist also eine der Untergruppen aus der Liste von Satz 22.8. Zwei isomorphe Gruppen sind sogar konjugiert. Wenn den inneren Automorphismus stiftet und ein Urbild ist, so vermittelt einen Isomorphismus der Urbildgruppen und . Der Isomorphietyp von ist also durch festgelegt. Wenn ist, so muss sein, da der Isomorphietyp festgelegt ist und die in den definierenden Beispielen Beispiel 23.2, Beispiel 23.4, Beispiel 23.3 und Beispiel 23.5 modulo dem Element der Ordnung die entsprechenden reellen Symmetriegruppen ergeben.




Quotientensingularitäten

Definition  

Es sei ein Körper und eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring (bzw. sein Spektrum) eine Quotientensingularität.


Definition  

Es sei ein Körper und eine endliche Untergruppe. Dann nennt man den Invariantenring (bzw. sein Spektrum) eine spezielle Quotientensingularität.

Diese beiden Definitionen umfassen als Extremfall auch die Situation, wo der Invariantenring regulär ist, also im strengen Sinn überhaupt keine Singularität vorliegt. Es kann sein, dass ein kommutativer Ring sowohl zum Invariantenring zu , , als auch zum Invariantenring zu isomorph ist. Ein Beispiel dafür ist der Polynomring selbst. Ein Beispiel für eine Quotientensingularität, die keine spezielle Quotientensingularität ist, ist der Veronesering , , den wir in Beispiel 9.12 vorgestellt haben. Wir haben bisher noch nicht gezeigt, dass diese für nicht auch als ein Invariantenring zu einer Operation einer Untergruppe der speziellen linearen Gruppe realisiert werden kann. Dies wird sich als Nebenresultat der Berechnungen der nächsten Vorlesungen ergeben.



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