- Die Beziehung zwischen
und 
Für die Klassifikation der endlichen Untergruppen der
werden wir die platonische Klassifikation der endlichen Untergruppen der
heranziehen. Die Beziehung zwischen diesen beiden Fragestellungen beruht darauf, dass einerseits die
auf der komplex-projektiven Geraden
und andererseits die Isometrien des
auf der 2-Sphäre
-

operiert. Die Homöomorphie
ermöglicht einen Zusammenhang zwischen diesen Gruppen und ihren endlichen Untergruppen.
Die projektive komplexe Gerade
ist die Menge aller Geraden im
durch den Nullpunkt; sie ist topologisch betrachtet eine Sphäre
. Diesen Zusammenhang kann man explizit machen, indem man als Zwischenschritt mit
arbeitet. Diese erweiterte komplexe Ebene steht einerseits mit der projektiven Geraden
(
ist eine affine Karte der projektiven Gerade, die den „unendlich fernen Punkt“
nicht enthält)
und andererseits mit der Sphäre über die
stereographische Projektion
in Bijektion
(
entspricht dabei dem Nordpol).
Eine komplexe Zahl
definiert die von
erzeugte Gerade und damit den Punkt
(in homogenen Koordinaten)
der komplex-projektiven Geraden
. Die Umkehrabbildung ist durch
gegeben, die für
definiert ist. Dem Punkt
entspricht der unendlich ferne Punkt
.
Die Umkehrabbildung der stereographischen Projektion ist die Abbildung
-
Die Gesamtabbildung
-
besitzt insgesamt die Beschreibung
-
Mit
und
schreibt man dies
(unter Verwendung von
)
als

Diese Formel zeigt, dass die Abbildung für alle
definiert ist, wobei
auf den Nordpol
abgebildet wird. Es liegt also eine explizite Bijektion
vor. Die Umkehrabbildung ist
(für
mit
)
durch
-
gegeben. Wenn man eine normierte Repräsentierung dieses Punktes erhalten möchte, so muss man durch
dividieren.
Insbesondere erhält man eine explizite
(in den natürlichen Topologien stetige)
Abbildung
-
deren Fasern genau die punktierten komplexen Geraden sind.
Die natürliche Operation der
auf
- und das gilt auch für jede endliche Untergruppe
-
induziert eine Operation auf der Menge der eindimensionalen Untervektorräume
(also der komplexen Geraden durch den Nullpunkt)
und damit auf
. Eine Gerade
wird durch
einfach auf die Bildgerade
abgebildet. Eine Gerade
wird unter
auf die Gerade
abgebildet, bzw. in homogenen Koordinaten
-
Dabei wirken Streckungen, also Abbildungen der Form
mit
, trivial auf der Menge der Geraden und auf der projektiven Geraden. Da man jede invertierbare Matrix als Produkt einer solchen Streckungsmatrix und einer invertierbaren Matrix mit Determinante
schreiben kann, muss man im Wesentlichen die Operation der
auf der projektiven Geraden verstehen. Die einzige Matrix
neben der Einheitsmatrix, die sämtliche Geraden auf sich selbst abbildet, ist
-

Es sei
ein Körper und
. Die
Restklassengruppe
-
heißt
projektive spezielle lineare Gruppe.
Sie wird mit
-
bezeichnet.
Insbesondere ist
.
Diese Gruppe operiert in natürlicher Weise
treu
und
transitiv
auf der projektiven Geraden. Mittels der obigen Identifizierung
kann man die Operation der Gruppen
(und Untergruppen)
auf
zu einer Operation dieser Gruppen auf der zweidimensionalen Sphäre übersetzen. Es stellt sich heraus, dass die zugehörigen Automorphismen im Allgemeinen nicht längentreu sind. Um dies zu erreichen, arbeiten wir mit der unitären Gruppen
.
Es gibt einen
surjektiven Gruppenhomomorphismus
-
dessen
Kern
gleich
-
ist.
Die Abbildung kann explizit
(mit
und
unter der Bedingung
)
durch
-
realisiert werden.
Es sei
-
die explizite Homöomorphie zwischen der komplex-projektiven Geraden und der
-Sphäre
. Durch
-
erhält man einen Gruppenhomomorphismus der allgemeinen linearen Gruppe in die Gruppe der stetigen Automorphismen
(also der Homöomorphismen)
der Sphäre. Eine explizite Rechnung für
zeigt, dass der zugehörige Homöomorphismus von einer linearen Abbildung der angegebenen Gestalt herrührt.
Zur Surjektivität. Für
und
mit
geht die Matrix links auf
-
Wenn man
und
vorgibt und
und
setzt
(das Vorzeichen ist geeignet zu wählen),
so wird die Matrix zu
-
d.h. sie beschreibt die Drehung um den Winkel
um die
-Achse. Diese Drehung liegt also im Bild der Abbildung. Indem man die Rollen von
ändert, sieht man, dass auch die Drehungen um die beiden anderen Koordinatenachsen im Bild der Abbildung liegen. Nach
Aufgabe 24.11
lässt sich jede Isometrie als eine Verknüpfung von Drehungen um die Koordinatenachsen erhalten. Also ist die Abbildung surjektiv.
Zur Bestimmung des Kerns addieren wir jeweils die beiden Einträge der Matrix, die nicht auf der Diagonalen liegen und symmetrisch zur Diagonalen sind. Dies ergibt die Bedingungen
.
Die Differenzen von je zwei Einträgen der Diagonalen ergibt die Bedingung
,
woraus insgesamt
folgt. Die Bedingung
führt dann zu den beiden Elementen im Kern.


Nach Lemma 23.8
können wir davon ausgehen, dass
ist. Es sei
-
der
surjektive Gruppenhomomorphismus
aus
Satz 24.2.
Es sei
die
Bildgruppe
von
unter dieser Abbildung, für die es
aufgrund von Satz 22.8
starke Einschränkungen gibt.
Wenn
ungerade ist, so enthält
kein Element der
Ordnung
. Also ist
trivial und somit ist
ein
Isomorphismus.
Aufgrund der Klassifikation für endliche Symmetriegruppen muss
zyklisch sein. Sei also
gerade, sagen wir
mit
ungerade. Nach dem Satz von Sylow
besitzt
eine Untergruppe mit
Elementen und damit insbesondere auch ein Element der Ordnung
.
Wegen Satz 24.3
gibt es in
nur das Element
der Ordnung
. Also ist
und somit ist
. Damit ist insbesondere
-

d.h.
ist das
Urbild
zu einer endlichen Untergruppe
.
ist also eine der Untergruppen aus der Liste von
Satz 22.8.
Zwei isomorphe Gruppen
sind sogar
konjugiert.
Wenn
den inneren Automorphismus stiftet und
ein Urbild ist, so vermittelt
einen Isomorphismus der Urbildgruppen
und
.
Der Isomorphietyp von
ist also durch
festgelegt. Wenn
ist, so muss
sein, da der Isomorphietyp festgelegt ist und die in den definierenden Beispielen
Beispiel 23.2,
Beispiel 23.4,
Beispiel 23.3
und
Beispiel 23.5
beschriebenen Gruppen modulo dem Element der Ordnung
die entsprechenden reellen Symmetriegruppen ergeben.

- Quotientensingularitäten
Diese beiden Definitionen umfassen als Extremfall auch die Situation, wo der Invariantenring regulär ist, also im strengen Sinn überhaupt keine Singularität vorliegt. Es kann sein, dass ein kommutativer Ring sowohl zum Invariantenring zu
,
,
als auch zum Invariantenring zu
-

isomorph ist. Ein Beispiel dafür ist der Polynomring selbst. Ein Beispiel für eine Quotientensingularität, die keine spezielle Quotientensingularität ist, ist der Veronesering
,
,
den wir in
Beispiel 9.12
vorgestellt haben. Wir haben bisher noch nicht gezeigt, dass diese für
nicht auch als ein Invariantenring zu einer Operation einer Untergruppe der speziellen linearen Gruppe realisiert werden kann. Dies wird sich als Nebenresultat der Berechnungen der nächsten Vorlesungen ergeben.