Kurs:Körper- und Galoistheorie/18/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 2 3 3 5 5 5 4 4 9 5 13 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Körpererweiterung .
  2. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  3. Eine Radikalerweiterung (von Körpern).
  4. Die Charaktergruppe zu einer kommutativen Gruppe mit Werten in einem Körper .
  5. Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe .
  6. Algebraisch unabhängige Elemente in einer -Algebra .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich .
  2. Der Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.
  3. Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass nicht endlich sein kann.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und . Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

wann ein Nichtnullteiler und wann eine Einheit ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element in einer Körpererweiterung irreduzibel ist.


Aufgabe * (5 (3+1+1) Punkte)

Es sei die Menge aller Zwischenkörper zwischen und . Für Körper setzen wir , falls es einen Körper mit und endlich gibt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Ist ?
  3. Ist ?


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

über .


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der algebraische Abschluss einer Körpererweiterung ein Körper ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Sei und sei . Betrachte die im Ring der reellen -Matrizen von den Matrizen , ,

erzeugte -Unteralgebra .
  1. Mit wie vielen Matrizen kann man minimal erzeugen?
  2. Ist diese Algebra kommutativ?
  3. Ist diese Algebra ein Körper?
  4. Ist diese Algebra ein endlichdimensionaler -Vektorraum? Falls ja, was ist seine Dimension?


Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über .


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass man aus als Startmenge den gesamten mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Aufgabe * (13 (2+2+2+1+6) Punkte)

Das Polynom ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

vom Grad . Es sei eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

  1. Zeige, dass durch

    ein -Automorphismus auf gegeben ist.

  2. Zeige, dass eine Galoiserweiterung ist.
  3. Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung ist.
  4. Zeige, dass durch

    ein -Automorphismus auf der Ordnung gegeben ist.

  5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.