Kurs:Körper- und Galoistheorie/18/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	5	5	5	4	4	9	5	13	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
2. Ein Normalteiler ${}N$ in einer Gruppe ${}G$.
3. Eine Radikalerweiterung (von Körpern).
4. Die Charaktergruppe zu einer kommutativen Gruppe ${}D$ mit Werten in einem Körper ${}K$.
5. Die Konjugationsklassen auf einer Gruppe ${}G$.
6. Algebraisch unabhängige Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$ in einer ${}R$-Algebra ${}A$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich ${}R$.
2. Der Satz über die Anzahl eines endlichen Körpers.
3. Der Satz über die Charakterisierung von konstruierbaren n-Ecken.

Aufgabe (2 Punkte)

Sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper. Zeige, dass ${}K$ nicht endlich sein kann.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f\in R$. Charakterisiere mit Hilfe der Multiplikationsabbildung

$\mu _{f}\colon R\longrightarrow R,\,g\longmapsto fg,$

wann ${}f$ ein Nichtnullteiler und wann ${}f$ eine Einheit ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Minimalpolynom zu einem algebraischen Element ${}f\in L$ in einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ irreduzibel ist.

Aufgabe * (5 (3+1+1) Punkte)

Es sei ${}M$ die Menge aller Zwischenkörper zwischen ${}\mathbb {Q}$ und ${}{\mathbb {C} }$. Für Körper ${}K_{1},K_{2}\in M$ setzen wir ${}K_{1}\sim K_{2}$, falls es einen Körper ${}L\in M$ mit ${}K_{1}\subseteq L$ und ${}K_{2}\subseteq L$ endlich gibt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Ist ${}\mathbb {R} \sim {\mathbb {C} }$?
3. Ist ${}\mathbb {Q} \sim {\mathbb {C} }$?

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom von

${\frac {X^{3}-{\left(2X^{4}-X\right)}{\mathrm {i} }}{X^{3}-1+X^{2}{\mathrm {i} }}}\in {\mathbb {C} }(X)$

über ${}\mathbb {R} (X)$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass der algebraische Abschluss einer Körpererweiterung ein Körper ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{27}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{27}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{3}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{27}$.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{\geq 3}$ und sei ${}\alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}$. Betrachte die im Ring der reellen ${}2\times 2$-Matrizen von den Matrizen ${}{\begin{pmatrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{pmatrix}}$, ${}k=0,1,\ldots ,n-1$,

erzeugte ${}\mathbb {Q}$-Unteralgebra ${}A$.

1. Mit wie vielen Matrizen kann man ${}A$ minimal erzeugen?
2. Ist diese Algebra kommutativ?
3. Ist diese Algebra ein Körper?
4. Ist diese Algebra ein endlichdimensionaler ${}\mathbb {Q}$- Vektorraum? Falls ja, was ist seine Dimension?

Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über ${}\mathbb {Q}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass man aus ${}\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ als Startmenge den gesamten ${}\mathbb {R} ^{2}$ mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe * (13 (2+2+2+1+6) Punkte)

Das Polynom ${}Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\in {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]$ ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Es sei ${}\zeta$ eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei ${}G=\{1,\zeta ,\zeta ^{2}\}$ die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

1. Zeige, dass durch

   $X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,Z\mapsto \zeta Z$

   ein ${}{\mathbb {C} }(X,Y)$-Automorphismus auf ${}L$ gegeben ist.

2. Zeige, dass ${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq L$ eine Galoiserweiterung ist.
3. Zeige, dass ${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq L$ eine graduierte Körpererweiterung ist.
4. Zeige, dass durch

   $X\mapsto \zeta X,\,Y\mapsto \zeta Y,\,Z\mapsto \zeta ^{2}Z$

   ein ${}{\mathbb {C} }$-Automorphismus auf ${}L$ der Ordnung ${}3$ gegeben ist.

5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.