Kurs:Körper- und Galoistheorie/4/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	4	3	5	9	3	6	7	5	4	7	3	62

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
2. Eine algebraische Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.
3. Zwei konjugierte Elemente ${}x,y\in L$ in einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
4. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Eine auflösbare Gruppe ${}G$.
6. Ein konstruierbares ${}n$-Eck ($n\in \mathbb {N} _{+}$).

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Lemma von Bezout für zwei Elemente ${}a,b$ in einem Hauptidealbereich.
2. Der Satz über den Zusammenhang zwischen Charakteren von ${}D$ und Automorphismen von ${}D$-graduierten Körpererweiterungen ${}K\subseteq L$.
3. Der Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K={\mathbb {F} }_{9}=\mathbb {Z} /(3)[U]/(U^{2}+1)$, wobei die Restklasse von ${}U$ mit ${}u$ bezeichnet sei.

${\begin{pmatrix}1+2u&2\\2+u&2+2u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+u\\1+2u\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}+4X^{2}-7)$ das Inverse von ${}{\frac {1}{3}}x+5$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ${}K[X]$ ein Hauptidealbereich ist.

Aufgabe * (9 (1+1+2+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Körpererweiterung

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {3}},{\mathrm {i} }]=L.$

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$.

b) Beschreibe eine möglichst einfache ${}\mathbb {Q}$-Basis von ${}L$.

c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?

d) Bestimme die ${}\mathbb {Q}$-Automorphismen von ${}L$.

e) Bestimme das Minimalpolynom von ${}{\sqrt {3}}+{\mathrm {i} }$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{49}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{49}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{7}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{49}$.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {F} _{q}$ ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich ${}2$. Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ${}\mathbb {F} _{q}^{\times }$ ein Quadrat in ${}\mathbb {F} _{q}$ ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}a\in \mathbb {N}$ eine Primzahl. Zeige, dass ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{a}}]$ eine Körpererweiterung ist, die keine Galoiserweiterung ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom ${}\Phi _{15}$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wie viele Unterkörper besitzt der Kreisteilungskörper ${}K_{13}$?

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}G$ eine auflösbare Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Zeige, dass auch ${}H$ auflösbar ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.