Kurs:Körper- und Galoistheorie/4/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Punkte 3 3 4 3 5 9 3 6 7 5 4 7 3 62



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung .
  2. Eine algebraische Zahl .
  3. Zwei konjugierte Elemente in einer endlichen Körpererweiterung .
  4. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
  5. Eine auflösbare Gruppe .
  6. Ein konstruierbares -Eck ().


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Bezout für zwei Elemente in einem Hauptidealbereich.
  2. Der Satz über den Zusammenhang zwischen Charakteren von und Automorphismen von -graduierten Körpererweiterungen .
  3. Der Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper , wobei die Restklasse von mit bezeichnet sei.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme in das Inverse von ( bezeichnet die Restklasse von ).


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein Körper und der Polynomring über . Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ein Hauptidealbereich ist.


Aufgabe * (9 (1+1+2+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Körpererweiterung

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung .

b) Beschreibe eine möglichst einfache -Basis von .

c) Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung vorliegt. Was ist die graduierende Gruppe?

d) Bestimme die -Automorphismen von .

e) Bestimme das Minimalpolynom von .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Aufgabe * (6 Punkte)

Sei ein endlicher Körper der Charakteristik ungleich . Zeige unter Verwendung der Isomorphiesätze, dass genau die Hälfte der Elemente aus ein Quadrat in ist.


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei eine Primzahl. Zeige, dass eine Körpererweiterung ist, die keine Galoiserweiterung ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom .


Aufgabe * (4 Punkte)

Wie viele Unterkörper besitzt der Kreisteilungskörper ?


Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei eine auflösbare Gruppe und eine Untergruppe. Zeige, dass auch auflösbar ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beschreibe die wesentlichen mathematischen Schritte, mit denen man beweisen kann, dass die „Quadratur des Kreises“ nicht möglich ist.