Kurs:Körper- und Galoistheorie/7/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 4 3 6 2 0 12 9 0 2 0 0 1 0 4 5 54



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Körpererweiterung.
  2. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  3. Eine algebraische Körpererweiterung .
  4. Der Index einer Untergruppe in einer Gruppe .
  5. Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe .
  6. Ein aus einer Teilmenge einer Ebene elementar konstruierbarer Kreis .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Summe der Einheitswurzeln.
  2. Der Satz von Artin über Fixkörper.
  3. Das Austauschlemma für Transzendenzbasen.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass das Polynom

über irreduzibel ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass in einem Hauptidealbereich ein irreduzibles Element prim ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element in der kubischen Körpererweiterung


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (12 (2+1+1+3+5) Punkte)

Es sei eine ungerade Primzahl. Es sei und ein Nichtquadrat.

  1. Zeige
  2. Zeige, dass es eine Kette von rein-quadratischen Erweiterungen

    gibt.

  3. Zeige, dass die Restklasse von in ein Quadrat ist.
  4. Es sei nun . Zeige, dass die Restklasse von in ein Nichtquadrat ist.
  5. Es sei und sei ein Nichtquadrat. Zeige, dass für alle irreduzibel ist.


Aufgabe * (9 Punkte)

Beweise den Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper

in einem Kreisteilungskörper , die beide die gleichen -ten Einheitswurzeln enthalten, aber verschieden sind.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass man aus dem Einheitskreis

als Startmenge den gesamten mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien und Körpererweiterungen. Es sei eine algebraisch unabhängig über und algebraisch unabhängig über . Zeige, dass die Familie

algebraisch unabhängig über ist.