Kurs:Körper- und Galoistheorie/7/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 0 | 4 | 3 | 6 | 2 | 0 | 12 | 9 | 0 | 2 | 0 | 0 | 1 | 0 | 4 | 5 | 54 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine Körpererweiterung.
- Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
- Eine algebraische Körpererweiterung .
- Der Index einer Untergruppe in einer Gruppe .
- Die iterierte Kommutatorgruppe einer Gruppe .
- Ein aus einer Teilmenge einer Ebene elementar konstruierbarer Kreis .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Summe der Einheitswurzeln.
- Der Satz von Artin über Fixkörper.
- Das Austauschlemma für Transzendenzbasen.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (3 Punkte)
Zeige, dass in einem Hauptidealbereich ein irreduzibles Element prim ist.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise den Homomorphiesatz für Gruppen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Erstelle die Multiplikationsmatrix zum Element in der kubischen Körpererweiterung
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (12 (2+1+1+3+5) Punkte)
Es sei eine ungerade Primzahl. Es sei und ein Nichtquadrat.
- Zeige
- Zeige, dass es eine Kette von
rein-quadratischen Erweiterungen
gibt.
- Zeige, dass die Restklasse von in ein Quadrat ist.
- Es sei nun . Zeige, dass die Restklasse von in ein Nichtquadrat ist.
- Es sei und sei ein Nichtquadrat. Zeige, dass für alle irreduzibel ist.
Aufgabe * (9 Punkte)
Beweise den Satz über einfache Körpererweiterungen und Zwischenkörper.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (2 Punkte)
Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper
in einem Kreisteilungskörper , die beide die gleichen -ten Einheitswurzeln enthalten, aber verschieden sind.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (1 Punkt)
Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im mit Mittelpunkt , der durch den Punkt läuft.
Aufgabe (0 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass man aus dem Einheitskreis
als Startmenge den gesamten mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
Aufgabe * (5 Punkte)
Es seien und Körpererweiterungen. Es sei eine algebraisch unabhängig über und algebraisch unabhängig über . Zeige, dass die Familie
algebraisch unabhängig über ist.