Kurs:Körper- und Galoistheorie/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	0	4	0	0	5	5	0	3	0	3	4	0	4	3	37

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
2. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

   $\varphi \colon G\longrightarrow H.$

4. Eine separable Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
5. Ein aus einer Teilmenge ${}M\subseteq E$ einer Ebene ${}E$ konstruierbarer Punkt ${}P\in E$.
6. Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
2. Der Satz über die Charakterisierung von endlichen Galoiserweiterungen.
3. Der Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ und sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine ${}K$- Basis von ${}L$. Zeige, dass dann

${}\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})\neq 0\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in ${}\mathbb {Z} /(11)$ und in ${}\mathbb {Z} /(121)$. Man gebe ferner ein Element der Ordnung ${}10$ und ein Element der Ordnung ${}11$ in ${}\mathbb {Z} /(121)$ an. Gibt es Elemente der Ordnung ${}10$ und der Ordnung ${}11$ auch in ${}{\mathbb {F} }_{121}$?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}F\in \mathbb {Q} [X]$ und ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subseteq {\mathbb {C} }$ der Zerfällungskörper zu ${}F$. Zeige, dass die komplexe Konjugation den Körper ${}L$ in sich überführt, also ein Element in der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ definiert.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}a\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die eulersche Funktion ${}\varphi$ die Gleichheit

${}{\varphi (a^{n})}=a^{n-1}{\varphi (a)}\,$

für ${}n\geq 1$ erfüllt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$.

1. ${}\mathbb {Z} /(4)$,
2. ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$,
3. ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(4)$,
4. ${}\mathbb {Z} /(8)$.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Skizziere, wie man zu einer quadratischen Gleichung

${}z^{2}+pz+q=0\,$

mit ${}p,q\in \mathbb {R}$ aus den gegebenen Parametern ${}p,q$ die reellen Lösungen ${}x,y$ der Gleichung mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Klassengleichung.