Kurs:Körper- und Galoistheorie/8/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 0 0 4 0 0 5 5 0 3 0 3 4 0 4 3 37



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Körpererweiterung .
  2. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring .
  3. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus
  4. Eine separable Körpererweiterung .
  5. Ein aus einer Teilmenge einer Ebene konstruierbarer Punkt .
  6. Eine Transzendenzbasis für eine Körpererweiterung .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Kern eines Ringhomomorphismus.
  2. Der Satz über die Charakterisierung von endlichen Galoiserweiterungen.
  3. Der Satz über die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein Körper der Charakteristik und sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und sei eine -Basis von . Zeige, dass dann


Aufgabe * (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei und der Zerfällungskörper zu . Zeige, dass die komplexe Konjugation den Körper in sich überführt, also ein Element in der Galoisgruppe definiert.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Sei . Zeige, dass die eulersche Funktion die Gleichheit

für erfüllt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Skizziere, wie man zu einer quadratischen Gleichung

mit aus den gegebenen Parametern die reellen Lösungen der Gleichung mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise die Klassengleichung.