Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} ein $K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{.} Es sei $\lambda$ ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$. Zeige, dass $\lambda$ eine \definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathl{\delta \in G^{ \vee }}{} ein \definitionsverweis {Charakter}{}{} auf der \definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{G = \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{.} Man mache sich die Gleichheit
\mathdisp {L_\delta = { \left\{ x \in L \mid \varphi(x) = \delta(\varphi) \cdot x \text{ für alle } \varphi \in G \right\} } = \bigcap_{\varphi \in G} \operatorname{Eig}_{ \delta(\varphi) } { \left( \varphi \right) }} { }
klar.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} auf
\mathl{{\mathbb F}_{125}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} auf
\mathl{{\mathbb F}_{ p^p }}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Matrizen zu sämtlichen \definitionsverweis {Körperautomorphismen}{}{} in Beispiel 16.8 bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Nullstellen von
\mathl{X^6+108}{} in Beispiel 16.8 und beschreibe, wie die \definitionsverweis {Automorphismen}{}{} auf diesen Nullstellen wirken. Welche Nullstellen sind \definitionsverweis {konjugiert}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise das \anfuehrung{verschobene Eisensteinkriterium}{.} Man gebe auch ein Beispiel eines Polynoms
\mathl{P \in \Q[X]}{,} wo man die \definitionsverweis {Irreduzibilität}{}{} nicht mit dem Eisensteinkriterium, aber mit dem verschobenen Eisensteinkriterium nachweisen kann.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Formuliere und beweise das \stichwort {umgekehrte Eisensteinkriterium} {,} bei dem die Rollen des Leitkoeffizienten und des konstanten Koeffizienten vertauscht werden.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man wende eine Form des Eisensteinkriteriums an, um die \definitionsverweis {Irreduzibilität}{}{} der folgenden Polynome aus $\Q[X]$ nachzuweisen. \aufzaehlungdrei{ $X^4+2X^2+2$, }{ $20X^5-15X^4+125X^3-10X+4$, }{ $X^4+9$. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Primfaktorzerlegung des Polynoms $X^6-1$ über den \definitionsverweis {Körpern}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ = }{\Q, \R, {\mathbb C}, \Z/(7) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mathl{\Z/(5)}{.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Betrachte das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P }
{ =} {X^{p-1} + X^{p-2} + \cdots + X^2 +X +1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $P$ \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} in $\Q[X]$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $p$ eine \definitionsverweis {Primzahl}{}{.} Es sei
\mathl{a \in K}{} ein Element, das in $K$ keine $p$-te \definitionsverweis {Wurzel}{}{} besitzt. Zeige, dass das Polynom
\mathl{X^p-a}{} \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.

}
{} {(Tipp: Betrachte die Norm zu einer geeigneten Körpererweiterung.)}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Eigenwerte}{}{} und die \definitionsverweis {Eigenräume}{}{} des \definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{} auf
\mathl{{\mathbb F}_{343}}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{K \subseteq L=K[x]}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{} und sei \maabb {\mu_x} {L} {L } {} die Multiplikation mit $x$.

a) Schreibe die Matrix der linearen Abbildung $\mu_x$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{1, x, x^2 , \ldots , x^{n-1}}{} von $L$ mit Hilfe des \definitionsverweis {Minimalpolynoms}{}{} von $x$.

b) Zeige ausgehend von der Matrix aus a), dass das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} zu $\mu_x$ mit dem Minimalpolynom zu $x$ übereinstimmt.

c) Begründe \anfuehrung{theoretisch}{,} dass das charakteristische Polynom das Minimalpolynom ist.

}
{} {}