Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 25/latex
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Wir haben gesehen, dass das Minimalpolynom einer aus $\Q$ konstruierbaren komplexen Zahl eine Zweierpotenz als Grad besitzt. Wir werden hier zeigen, dass eine komplexe algebraische Zahl genau dann konstruierbar ist, wenn der Grad des Zerfällungskörper ihres Minimalpolynoms eine Zweierpotenz ist. Dies erfordert einige einfache gruppentheoretische Vorbereitungen.
\zwischenueberschrift{Konjugationsklassen und Klassengleichung}
\inputdefinition
{}
{
Zu einer \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ nennt man die \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{} zur \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{,} bei der zwei Elemente als äquivalent \zusatzklammer {oder \definitionswort {konjugiert}{}} {} {} gelten, wenn sie durch einen \definitionsverweis {inneren Automorphismus}{}{} ineinander überführt werden können, die \definitionswort {Konjugationsklassen}{.}
}
Zwei Elemente
\mathl{a,b \in G}{} sind also konjugiert, wenn es ein
\mathl{x \in G}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{ xax^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Klassengleichung} {.}
\inputfaktbeweis
{Konjugation/Klassengleichung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und seien
\mathl{K_1 , \ldots , K_r}{} die
\definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{}
von $G$ mit mindestens zwei Elementen.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ ord}_{ } ^{ } { \left( G \right) }
}
{ =} { \operatorname{ ord}_{ } ^{ } { \left( Z(G) \right) } + \sum_{i = 1}^r { \# \left( K_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die \definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{} sind \definitionsverweis {Äquivalenzklassen}{}{,} daher bilden sie eine \definitionsverweis {Zerlegung}{}{} von $G$. Die Summe der Anzahl der Elemente in den Konjugationsklassen ist daher gleich der \definitionsverweis {Ordnung}{}{} von $G$. Die einelementigen Konjugationsklassen entsprechen dabei den Elementen im \definitionsverweis {Zentrum}{}{} der Gruppe.
Die Anzahl der Elemente in den einzelnen Konjugationsklassen unterliegt starken Einschränkungen, die das folgende Lemma beinhaltet.
\inputfaktbeweis
{Endliche Gruppe/Konjugationsklassen/Standgruppe und Anzahl/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mathl{a \in G}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Menge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_a
}
{ = }{ { \left\{ x \in G \mid xax^{-1} = a \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $G$.
}{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ [a]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Konjugationsklasse}{}{}
zu $a$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( K \right) }
}
{ =} { \operatorname{ind}_{G } G_a
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Elementanzahl von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ [a]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist ein Teiler von
\mathl{\operatorname {ord} { { \left( G \right) } }}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Es ist klar, dass das
\definitionsverweis {neutrale Element}{}{}
zu $G_a$ gehört. Es seien
\mathl{x,y \in G_a}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xy a (xy)^{-1}
}
{ =} {xy a y^{-1} x^{-1}
}
{ =} {xax^{-1}
}
{ =} {a
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mathl{xy \in G_a}{.} Bei
\mathl{x \in G_a}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x a x ^{-1}
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
was man direkt zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{x^{-1} ax
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auflösen kann, was wiederum
\mathl{x^{-1} \in G_a}{} bedeutet.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Wir betrachten die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {G} {K
} {x} {xax^{-1}
} {.}
Da $K$ genau aus allen zu $a$
\definitionsverweis {konjugierten Elementen}{}{}
besteht, ist diese Abbildung
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
Unter dieser Abbildung ist $G_a$ das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
von $a$. Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ xax^{-1}
}
{ = }{ yay^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y^{-1}x a x^{-1}y
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, also genau dann, wenn
\mathl{y^{-1}x \in G_a}{} ist. Das bedeutet, dass die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
der Abbildung gerade die
\definitionsverweis {Linksnebenklassen}{}{}
zur Untergruppe $G_a$ sind. Daher ist
\mathl{{ \# \left( K \right) }}{} gleich dem
\definitionsverweis {Index}{}{}
von $G_a$ in $G$.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus (2) und
Satz 4.16.}
{}
\inputfaktbeweis
{Endliche p-Gruppe/Direkt/Nichttrivial/Zentrum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{} und $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
mit
\mathbed {p^r} {}
{r \geq 1} {}
{} {} {} {,} Elementen.}
\faktfolgerung {Dann ist das
\definitionsverweis {Zentrum}{}{} $Z$ von $G$ nicht
\definitionsverweis {trivial}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir gehen von der
Klassengleichung
aus, also von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname {ord} { { \left( G \right) } }
}
{ =} { \operatorname {ord} { { \left( Z \right) } } + \sum_{j \in J} n_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $n_j$ den
\definitionsverweis {Index}{}{}
der zu den mehrelementigen
\definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{}
$C_j$ gehörenden echten Untergruppen
\zusatzklammer {im Sinne von
Lemma 25.3} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G_j
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezeichnet. Jedes $n_j$ ist nach
Lemma 25.3 (3)
ein Vielfaches von $p$. Daher ist auch
\mathl{\operatorname {ord} { { \left( Z \right) } }}{} ein Vielfaches von $p$. Somit ist $Z$ nicht trivial.
\zwischenueberschrift{Galoistheoretische Charakterisierung von konstruierbaren Zahlen}
\inputfaktbeweis
{Sukzessive quadratische Erweiterung in C/In Galoiserweiterung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ = }{ L_0
}
{ \subset }{ L_1
}
{ \subset \ldots \subset }{ L_r
}
{ = }{ L
}
}
{}{}{}
eine Kette von
\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterungen}{}{}
in ${\mathbb C}$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ${\mathbb C}$, die $L$ enthält, und die ebenfalls eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über $r$, wobei die Fälle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ = }{ 0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar sind. Es sei also eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { L_0
}
{ \subset} { L_1
}
{ \subset \ldots \subset} { L_r
}
{ \subset} { L_{r+1}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { L
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es einen Körper
\mathbed {M} {}
{L_r \subseteq M \subseteq {\mathbb C}} {}
{} {} {} {,}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
ist, die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Als Galoiserweiterung über $K$ ist $M$ nach
Satz 15.6
der Zerfällungskörper eines
\zusatzklammer {separablen} {} {}
Polynoms
\mathl{F \in K[X]}{.} Wir können
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L_{r+1}
}
{ = }{ L_r(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^2
}
{ = }{ a
}
{ \in }{ L_r
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
schreiben. Wir betrachten das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { \prod_{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( M {{|}} K ) } { \left( X^2 - \varphi(a) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Koeffizienten dieses Polynoms sind invariant unter der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( M {{|}} K )}{} und gehören daher wegen
Satz 15.6
zu $K$. Es sei $M'$ der Zerfäl\-lungskörper von $H$ über $M$ in ${\mathbb C}$. Dieser ist insgesamt der Zerfällungskörper vom Produkt
\mathl{FH}{} über $K$, so dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
insbesondere eine Galoiserweiterung ist. Nach Konstruktion ist $x$ eine Nullstelle von $H$, woraus sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ L_r(x)
}
{ \subseteq }{ M'
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { M_0
}
{ \subset} { M_1
}
{ \subset \ldots \subset} { M_s
}
{ =} { M
}
}
{}{}{.}
Diese erweitern wir sukzessive zu einer Kette
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { M_s
}
{ \subset} { M_{s+1}
}
{ \subset \ldots \subset} { M_t
}
{ =} { M'
}
}
{}{}{}
von quadratischen Körpererweiterungen, wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M_{s+i+1}
}
{ = }{ M_{s+i} { \left( \sqrt{ \varphi_i (a) } \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei und $\varphi_i$ die Automorphismen von
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( M {{|}} K )}{} durchlaufe.
\inputfaktbeweis
{Konstruierbare Erweiterung/Galoistheoretische Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
und
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Die komplexe Zahl $z$ ist aus $K$
\definitionsverweis {konstruierbar}{}{.}
}{Es gibt in ${\mathbb C}$ eine Körperkette aus
\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {L_0
}
{ \subset} { L_1
}
{ \subset \ldots \subset} {L_r
}
{ =} {L
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{z \in L}{.}
}{Das Element $z$ ist algebraisch über $K$, und der Grad des Zerfällungskörpers von $z$ über $K$ ist eine Zweierpotenz.
}{Das Element $z$ ist algebraisch über $K$, und die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
des Zerfällungskörpers von $z$ über $K$ ist eine Zweierpotenz.
}{Es gibt eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {in ${\mathbb C}$} {} {}
mit
\mathl{z \in M}{,} deren Grad eine Zweierpotenz ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Äquivalenz von (1) und (2) ergibt sich wie in
Satz 24.4.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei (2) erfüllt. Nach
Lemma 25.5
gibt es eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die $L$ und damit $z$ enthält und die eine Kette von quadratischen Körpererweiterungen besitzt. Nach
Satz 2.8
ist dann der
\definitionsverweis {Grad}{}{}
von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zweierpotenz. Es sei $L'$ der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $z$ über $K$. Da $M$ galoissch ist, gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L'
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und daher ist auch der Grad von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L'
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zweierpotenz.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Die Implikationen von (3) nach (4) und von (4) nach (5) sind klar aufgrund von
Satz 15.6.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(5) $\Longrightarrow$ (2). Es sei nun (5) erfüllt, und eine Galoiserweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in ${\mathbb C}$ mit
\mathl{z \in M}{} gegeben, deren Grad eine Zweierpotenz $2^r$ ist.
Wir zeigen durch Induktion nach $r$, dass es eine Filtration der Körpererweiterung durch quadratische Körpererweiterungen gibt
\zusatzklammer {also ohne direkten Bezug auf ein $z$} {.} {.} Dabei ist der Fall
\mathl{r=0}{} trivial. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} M
}
{ = }{ 2^r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ r
}
{ \geq }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
und die Existenz von Körperketten für kleinere Exponenten bereits bewiesen. Nach
Satz 15.6
ist dann auch die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( M {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich $2^r$. Aufgrund von
Lemma 25.4
gibt es ein nichttriviales Zentrum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass es
nach dem Hauptsatz für endliche abelsche Gruppen
auch eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit zwei Elementen gibt. Als Untergruppe des Zentrums ist $H$ ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$. Wir betrachten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \operatorname{Fix}\, ( H )
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Nach
Satz 15.6
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ L} M
}
{ = }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und nach
Satz 16.4
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung der Ordnung
\mathl{2^{r-1}}{} und besitzt nach Induktionsvoraussetzung eine Filtration aus quadratischen Körpererweiterungen. Diese Filtration wird durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subset }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu einer solchen Gesamtfiltration ergänzt.}
{}
\inputbemerkung
{}
{
Wir betrachten die konstruierbare Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{ \sqrt{1+ \sqrt{3} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und knüpfen dabei an
Beispiel 14.9
an. Dort wurde gezeigt, dass $u$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mathl{X^4-2X^2-2}{} besitzt, welches über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{\Q[u]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Primfaktorzerlegung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X^4-2X^2-2
}
{ =} {(X-u)(X+u) { \left( X^2-1+ \sqrt{3} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
besitzt. Insbesondere ist $L$ nicht
\definitionsverweis {normal}{}{,}
der Zerfällungskörper ist vielmehr
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Z
}
{ = }{L[ \sqrt{ 1- \sqrt{3} }]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und hat den Grad $8$ über $\Q$. Seine
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
ist nicht abelsch, denn andernfalls wäre jeder Zwischenkörper nach
Satz 16.4 (1)
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
von $\Q$, was aber für $L$ nicht zutrifft.
}
Abschließend bemerken wir, dass es algebraische Elemente
\mathl{z \in {\mathbb C}}{} gibt, deren Minimalpolynom zwar den Grad $4$ besitzt, wo der Grad des Zerfällungskörpers aber keine Zweierpotenz ist. Für ein hinreichend kompliziertes Polynom vom Grad $4$ ist nämlich die Galoisgruppe des Zerfällungskörpers gleich der symmetrischen Gruppe $S_4$ und daher ist der Grad des Zerfällungskörpers gleich $24$.
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