Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 27

Konstruierbare Einheitswurzeln

Definition

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Man sagt, dass das regelmäßige $n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die komplexe Zahl

$e^{2\pi \mathrm{i}/n}=\cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)+\mathrm{i}\sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)$

eine konstruierbare Zahl ist.

Die Menge der komplexen Einheitswurzeln $e^{\frac{2\pi \mathrm{i}k}{n}}$, $k=0,\dots ,n-1$, bildet die Eckpunkte eines regelmäßigen $n$-Ecks, wobei $1$ eine Ecke bildet. Alle Eckpunkte liegen auf dem Einheitskreis. Die Ecke $e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}}$ ist eine primitive Einheitswurzel; wenn diese mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, so sind auch alle weiteren Eckpunkte konstruierbar, da diese ja Potenzen der primitiven Einheitswurzel sind. Das reguläre $n$-Eck ist genau dann konstruierbar, wenn der $n$-te Kreisteilungskörper ein Unterkörper der konstruierbaren Zahlen ist.

Bei  $n=1,2$  kann man sich darüber streiten, ob man von einem regelmäßigen $n$-Eck sprechen soll, jedenfalls gibt es die zugehörigen Einheitswurzeln und diese sind aus $\mathbb{Q}$, also erst recht konstruierbar. Das regelmäßige Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck und dieses ist konstruierbar nach Beispiel 19.3, da der dritte Kreisteilungskörper eine quadratische Körpererweiterung von $\mathbb{Q}$ ist und die Menge der konstruierbaren Zahlen nach Satz 25.4 unter quadratischen Körpererweiterungen abgeschlossen ist.

(man kann einfacher auch direkt zeigen, dass ein gleichseitiges Dreieck aus seiner Grundseite heraus konstruierbar ist). Das regelmäßige Viereck ist ein Quadrat mit den Eckpunkten $1,\mathrm{i},-1,-\mathrm{i}$, und dieses ist ebenfalls konstruierbar. Das regelmäßige Fünfeck ist ebenfalls konstruierbar, wie in Beispiel 19.5 in Verbindung mit Satz 25.4 bzw. in Aufgabe 24.13 gezeigt wurde. Wir werden im Folgenden sowohl positive als auch negative Resultate zur Konstruierbarkeit von regelmäßigen $n$-Ecken vorstellen. Zunächst untersuchen wir den Zusammenhang zwischen der Konstruierbarkeit des $n$-Ecks und der Konstruierbarkeit des $k$-Ecks, wenn $k$ ein Teiler von $n$ ist. In diesem Fall lässt sich das regelmäßige $k$-Eck in das regelmäßige $n$-Eck einschreiben.

Konstruktion eines regulären Fünfecks mit Zirkel und Lineal

Lemma

Es sei $m=kn$, $m,k,n\in {\mathbb{N}}_{+}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Das regelmäßige $2^r$-Eck,  $r\in \mathbb{N}$,  ist konstruierbar.
2. Wenn das regelmäßige $m$-Eck konstruierbar ist, so sind auch das regelmäßige $n$-Eck und das regelmäßige $k$-Eck konstruierbar.
3. Wenn $n$ und $k$ teilerfremd sind und wenn das regelmäßige $n$-Eck und das regelmäßige $k$-Eck konstruierbar sind, so ist auch das regelmäßige $m$-Eck konstruierbar.

Beweis

(1) folgt daraus, dass eine Winkelhalbierung stets mit Zirkel und Lineal durchführbar ist.
(2). Nach Voraussetzung ist $e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{nk}}$ konstruierbar. Dann ist auch nach Satz 24.9 die Potenz

${\left(e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{nk}}\right)}^n=e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{k}}$

konstruierbar.
(3). Es seien nun $e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}}$ und $e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{k}}$ konstruierbar und $n$ und $k$ teilerfremd. Nach dem Lemma von Bézout gibt es dann ganze Zahlen $r,s$ mit  $rn+sk=1$.  Daher ist auch

${\left(e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}}\right)}^s{\left(e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{k}}\right)}^r={\left(e^{\frac{2\pi \mathrm{i}k}{nk}}\right)}^s{\left(e^{\frac{2\pi \mathrm{i}n}{nk}}\right)}^r=e^{\frac{2\pi \mathrm{i}sk}{nk}}{e}^{\frac{2\pi \mathrm{i}rn}{nk}}=e^{\frac{2\pi \mathrm{i}(sk+rn)}{nk}}=e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{nk}}$

konstruierbar.

$◻$

Aus diesem Lemma kann man in Zusammenhang mit den oben erwähnten Konstruktionsmöglichkeiten folgern, dass die regelmäßigen $3\cdot 2^r$-Ecke, die regelmäßigen $5\cdot 2^r$-Ecke und die regelmäßigen $15\cdot 2^r$-Ecke für jedes $r$ konstruierbar sind. Wenn man die Zahl als

$n=2^r{3}^{r_1}\cdots 5^{r_2}\cdot$

schreibt, so wird mit dem Lemma die Konstruierbarkeit des $n$-Ecks auf die Konstruierbarkeit des regelmäßigen Ecks zu Primzahlpotenzen zurückgeführt. Ein entscheidendes notwendiges Kriterium (das sich später auch als hinreichend erweist) für die Konstruierbarkeit wird im folgenden Satz formuliert.

Satz

Es sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass das regelmäßige $n$-Eck konstruierbar ist.

Dann ist $\phi \left(n\right)$ eine Zweierpotenz.

Beweis

Die Voraussetzung besagt, dass die primitive Einheitswurzel  $\zeta =e^{\frac{2\pi \mathrm{i}}{n}}$  konstruierbar ist. Dann muss nach Korollar 25.6 der Grad des Minimalpolynoms von $\zeta$ eine Zweierpotenz sein. Nach Korollar 19.12 ist das Minimalpolynom von $\zeta$ das $n$-te Kreisteilungspolynom, und dieses hat den Grad $\phi \left(n\right)$. Also muss $\phi \left(n\right)$ eine Zweierpotenz sein.

$◻$

Winkeldreiteilung

Wir sind nun in der Lage, das Problem der Winkeldreiteilung zu beantworten.

Korollar

Das regelmäßige $9$-Eck ist

nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Beweis

Wäre das regelmäßige $9$-Eck konstruierbar, so müsste nach Satz 27.3 $\phi \left(9\right)$ eine Zweierpotenz sein. Es ist aber  $\phi \left(9\right)=2\cdot 3=6$. 

$◻$

Satz

Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels Zirkel und Lineal in drei gleich große Teile zu unterteilen.

Beweis

Es genügt, einen (konstruierbaren) Winkel $\alpha$ derart anzugeben, dass $\alpha /3$ nicht konstruierbar ist. Wir betrachten  $\alpha =120^{\circ }$,  welcher konstruierbar ist, da die dritten Einheitswurzeln konstruierbar sind, weil sie nämlich in einer quadratischen Körpererweiterung von $\mathbb{Q}$ liegen. Dagegen ist der Winkel  $\alpha /3=120^{\circ }/3=40^{\circ }$  nicht konstruierbar, da andernfalls das regelmäßige $9$-Eck konstruierbar wäre, was nach Korollar 27.4 aber nicht der Fall ist.

$◻$

Wir geben noch einen weiteren Beweis, dass die Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist, der nicht auf der allgemeinen Irreduzibilität der Kreisteilungspolynome beruht.

Lemma

Es sei $F\in \mathbb{Z}[X]$ ein normiertes Polynom vom Grad $\le 3$ ohne Nullstelle in $\mathbb{Z}$.

Dann ist $F$ irreduzibel in $\mathbb{Q}[X]$.

Beweis

Aufgrund von Lemma 18.7 und der Gradvoraussetzung genügt es zu zeigen, dass es keine Faktorzerlegung  $F=GH$  in $\mathbb{Z}[X]$ mit  $\mathrm{grad}(G)=1$  geben kann.  Es sei also angenommen, dass  $G=aX+b\in \mathbb{Z}[X]$  ein Teiler von $F$ ist. Der Leitkoeffizient $a$ teilt den Leitkoeffizienten von $F$, also $1$, daher muss  $a\in \mathbb{Z}$  eine Einheit sein. Dann ist  $a=\pm 1$  und somit ist $\pm b$ eine Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung.

$◻$

Einfache Beispiele wie  $F=(2X+1{)}^2$  zeigen, dass ohne die Voraussetzung normiert die Aussage nicht stimmt. Ob ein ganzzahliges normiertes Polynom ganzzahlige Nullstellen besitzt oder nicht, ist im Allgemeinen einfach zu zeigen. Für $n$ betragsmäßig groß kann man durch eine einfache Abschätzung zeigen, dass es dafür keine Nullstelle geben kann, und für $n$ in einem verbleibenden überschaubaren Bereich kann man durch explizites Ausrechnen feststellen, ob eine Nullstelle vorliegt oder nicht. Die Zerlegung

$X^4-4=(X^2-2)(X^2+2)$

zeigt, dass diese Aussage für Grad $\ge 4$ nicht gilt.

Bemerkung  

Wir zeigen direkt, dass man den Winkel $20^{\circ }$ nicht konstruieren kann (obwohl man $60^{\circ }$ konstruieren kann). Aufgrund der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen gilt

$\cos 3\alpha =4{\cos }^3\alpha -3\cos \alpha$

und damit

$\begin{array}{cc}(2\cos 20^{\circ }{)}^3-3(2\cos 20^{\circ })-1& =2(4{\cos }^{3}20^{\circ }-3\cos 20^{\circ }-\frac{1}{2})\\ & =2(\cos 60^{\circ }-\frac{1}{2})\\ & =0.\end{array}$

Also wird $2\cos 20^{\circ }$ vom Polynom $X^3-3X-1$ annulliert. Dieses Polynom hat keine ganzzahlige Nullstelle und ist daher nach Lemma 27.6 irreduzibel. Also muss es nach Lemma 7.12 das Minimalpolynom von $2\cos 20^{\circ }$ sein. Daher kann $2\cos 20^{\circ }$ nach Korollar 25.6 nicht konstruierbar sein und damit ebenso wenig $\cos 20^{\circ }$.

Fermatsche Primzahlen

Die Frage der Konstruierbarkeit von regelmäßigen $n$-Ecken führt uns zu Fermatschen Primzahlen.

Definition

Eine Primzahl der Form $2^s+1$, wobei $s$ eine positive natürliche Zahl ist, heißt Fermatsche Primzahl.

Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Fermatsche Primzahlen gibt. Es ist noch nicht mal bekannt, ob es außer den ersten fünf Fermatschen Primzahlen

$3,5,17,257,65537$

überhaupt weitere Fermatschen Primzahlen gibt.

Lemma

Bei einer Fermatschen Primzahl $2^s+1$ hat der Exponent die Form  $s=2^r$  mit einem  $r\in \mathbb{N}$. 

Beweis

Wir schreiben  $s=2^{k}u$  mit $u$ ungerade. Damit ist

$2^{2^{k}u}+1={\left(2^{2^k}\right)}^u+1.$

Für ungerades $u$ gilt generell die polynomiale Identität (da $-1$ eine Nullstelle ist)

$X^u+1=(X+1)(X^{u-1}-X^{u-2}+X^{u-3}-\dots +X^2-X+1).$

Also ist  $2^{2^k}+1\ge 3$  ein Teiler von $2^{2^{k}u}+1$. Da diese Zahl nach Voraussetzung prim ist, müssen beide Zahlen gleich sein, und dies bedeutet  $u=1$. 

$◻$

Eine Fermatsche Primzahl ist nach diesem Lemma also insbesondere eine Fermat-Zahl im Sinne der folgenden Definition.

Definition

Eine Zahl der Form $2^{2^r}+1$, wobei $r$ eine natürliche Zahl ist, heißt Fermat-Zahl.

Diese Torte wurde nicht mit Zirkel und Lineal geteilt.

Satz

Ein reguläres $n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt

$n=2^{\alpha }{p}_1\cdots p_k$

hat, wobei die $p_i$ verschiedene Fermatsche Primzahlen sind.

Beweis

Es sei  $n=2^{\alpha }{p}_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$  die Primfaktorzerlegung von $n$ mit den verschiedenen ungeraden Primzahlen $p_i$, $i=1,\dots ,k$, und positiven Exponenten  $r_i\ge 1$  (und $\alpha \ge 0$). Nach Satz 27.3 muss die eulersche Funktion eine Zweierpotenz sein, also

$\phi \left(n\right)=2^t.$

Andererseits gilt nach Lemma 19.7 die Beziehung

$\phi \left(n\right)=2^{\alpha -1}(p_1-1)p_1^{r_1-1}\cdots (p_k-1)p_k^{r_k-1}$

(bei $\alpha =0$ ist der Ausdruck $2^{\alpha -1}$ zu streichen). Da dies eine Zweierpotenz sein muss, dürfen die ungeraden Primzahlen nur mit einem Exponenten $1$ (oder $0$) auftreten. Ferner muss jede beteiligte Primzahl $p$ die Gestalt  $p=2^s+1$  haben, also eine Fermatsche Primzahl sein.
Für die andere Richtung muss man aufgrund von Lemma 27.2 lediglich zeigen, dass für eine Fermatsche Primzahl  $p=2^s+1$  das regelmäßige $p$-Eck konstruierbar ist. Der $p$-te Kreisteilungskörper besitzt nach Lemma 19.4 den Grad  $p-1=2^s$,  und dieser ist der Zerfällungskörper des $p$-ten Kreisteilungspolynoms und wird von der $p$-ten primitiven Einheitswurzel  $\zeta =e^{2\pi \mathrm{i}/p}$  erzeugt. Aufgrund von Satz 26.6 ist somit $\zeta$ konstruierbar.

$◻$

Aus Satz 27.11 ergibt sich, dass in Satz 27.3 auch die Umkehrung gilt. Man kann Satz 27.11 auch ohne Bezug auf Satz 26.6 beweisen, indem man verwendet, dass ein Kreisteilungskörper eine abelsche Körpererweiterung ist. Wenn dessen Grad eine Zweierpotenz ist, so gibt es aufgrund der Galoiskorrespondenz auch eine Filtrierung mit sukzessiven quadratischen Körpererweiterungen, und die Konstruierbarkeit folgt aus Satz 25.4.

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