Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 28

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne in


Aufgabe

Es sei eine algebraische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch die Körpererweiterung

der rationalen Funktionenkörper algebraisch ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper. Zeige, dass in einer Körpererweiterung der Form

algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinem algebraischen Abschluss in übereinstimmt.


Aufgabe

Zeige


Aufgabe

Zeige, dass eine Unterfamilie einer algebraisch unabhängigen Familie wieder algebraisch unabhängig ist.


Aufgabe

Es seien positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Familie im Polynomring über einem Körper algebraisch unabhängig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Familie im Polynomring über einem Körper algebraisch unabhängig ist.


Aufgabe

Es seien und kommutative -Algebren über einem kommutativen Ring und sei ein surjektiver -Algebrahomomorphismus. Es seien Elemente derart, dass algebraisch unabhängig über sind. Zeige, dass die algebraisch unabhängig sind.


Aufgabe

Es sei eine kommutative -Algebra über einem kommutativen Ring und seien eine Elementfamilie. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

  1. Die Elemente sind algebraisch unabhängig.
  2. Der Einsetzungshomomorphismus

    ist injektiv.

  3. Der Einsetzungshomomorphismus

    ist bijektiv.


Aufgabe *

Es seien und Körpererweiterungen. Es sei eine algebraisch unabhängig über und algebraisch unabhängig über . Zeige, dass die Familie

algebraisch unabhängig über ist.


Aufgabe

Es sei der Polynomring über einem Körper und seien Polynome gegeben. Zeige, dass diese algebraisch abhängig sind.


Aufgabe

Es seien Elemente eines Körpers und seien algebraisch unabhängig. Zeige, dass die Familie genau dann algebraisch unabhängig ist, wenn transzendent über ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung

rein transzendent ist.


Aufgabe

Besitzt die Körpererweiterung eine endliche Transzendenzbasis?


Aufgabe

Es sei eine Familie von reellen Zahlen. Zeige, dass es daraus eine algebraisch unabhängige Teilfamilie gibt.


Es ist übrigens unbekannt, ob die beiden transzendenten Zahlen und algebraisch unabhängig über sind.

Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass eine echte Unterfamilie einer Transzendenzbasis von über keine Transzendenzbasis ist.


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung und eine algebraische Körpererweiterung. Es sei eine Transzendenzbasis von über . Zeige, dass diese Familie auch eine Transzendenzbasis von über ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und Polynome, die für den Körper der rationalen Funktionen eine Transzendenzbasis über bilden. Es sei ein Primpolynom. Zeige, dass die Restklassen der im Quotientenkörper eine Transzendenzbasis bilden.


Aufgabe

Bestimme den Transzendenzgrad des von den beiden trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus über erzeugten Körpers.


Aufgabe

Diskutiere Gemeinsamkeiten zwischen dem Konzept lineare Unabhängigkeit (Basis, Dimension) und dem Konzept algebraische Unabhängigkeit (Transzendenzbasis, Transzendenzgrad).


Aufgabe

Es sei ein Körper und der rationale Funktionenkörper in Variablen. Es sei eine endliche Untergruppe der Galoisgruppe. Zeige, dass der Transzendenzgrad des Fixkörpers über gleich ist.


Aufgabe

Wir betrachten den Funktionenkörper in zwei Variablen über einem Körper der Charakteristik . Die Gruppe ist eine Untergruppe der Galoisgruppe , indem man als den durch festgelegten Automorphismus auffasst. Bestimme den Fixkörper sowie dessen Transzendenzgrad über .


Aufgabe

Wir betrachten den Funktionenkörper über einem Körper . Wie betrachten auf der Menge aller Zwischenkörper die Relation, die durch

falls es einen Zwischenkörper derart gibt, dass und endliche Körpererweiterungen sind, gegeben ist. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.


Aufgabe *

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den zwei Variablen und )

und

die Relation

erfüllen.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper , die den gleichen Transzendenzgrad haben, die aber nicht zueinander äquivalent im Sinne von Aufgabe 28.23 sind.


Aufgabe *

Das Polynom ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

vom Grad . Es sei eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

  1. Zeige, dass durch

    ein -Automorphismus auf gegeben ist.

  2. Zeige, dass eine Galoiserweiterung ist.
  3. Zeige, dass eine graduierte Körpererweiterung ist.
  4. Zeige, dass durch

    ein -Automorphismus auf der Ordnung gegeben ist.

  5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Sei . Betrachte auf dem rationalen Funktionenkörper die Gruppe der -Körperautomorphismen, die durch erzeugt wird, wobei eine primitive -te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme den Fixkörper .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Familie im Polynomring über einem Körper algebraisch unabhängig ist.


Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei ein Körper und der rationale Funktionenkörper in Variablen. Wir knüpfen an Beispiel 10.12 an.

  1. Zeige, dass es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus
  2. Zeige, dass dieser nicht surjektiv ist.
  3. Es sei nun zusätzlich vorausgesetzt, dass der Körper die Charakteristik habe. Zeige für den Fixkörper die Gleichheit


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei der rationale Funktionenkörper über einem Körper . Wie betrachten auf der Menge aller Zwischenkörper die Äquivalenzrelation aus Aufgabe 28.23. Zeige, dass der Transzendenzgrad auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei der rationale Funktionenkörper über einem Körper . Es seien Zwischenkörper

mit der Eigenschaft gegeben, dass die Körpererweiterungen

endlich seien. Zeige, dass es dann auch einen Zwischenkörper derart gibt, dass endlich sind.



<< | Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019) | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)