Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 28

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne in ${}\mathbb {Q} (X,Y)$

${\frac {7X^{2}-XY^{3}+Y^{4}}{5X-{\frac {1}{3}}Y^{4}}}\cdot {\frac {1}{X^{2}Y^{3}}}+{\frac {3X^{3}+X^{2}Y^{2}-XY^{2}}{2+4X^{3}-X^{257}}}\cdot {\frac {1}{X^{2}Y^{3}}}-{\frac {1}{7}}X^{3}+XY+Y^{6}+9$

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine algebraische Körpererweiterung. Zeige, dass dann auch die Körpererweiterung

${}K(X_{1},\ldots ,X_{n})\subseteq L(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

der rationalen Funktionenkörper algebraisch ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass ${}K$ in einer Körpererweiterung der Form

${}K\subseteq K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

algebraisch abgeschlossen ist, also mit seinem algebraischen Abschluss in ${}K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ übereinstimmt.

Aufgabe

Zeige

${}\mathbb {R} (X_{1},\ldots ,X_{n})[{\mathrm {i} }]={\mathbb {C} }(X_{1},\ldots ,X_{n})\,.$

Aufgabe

Zeige, dass eine Unterfamilie einer algebraisch unabhängigen Familie wieder algebraisch unabhängig ist.

Aufgabe

Es seien ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ positive natürliche Zahlen. Zeige, dass die Familie ${}X_{1}^{e_{1}},\ldots ,X_{n}^{e_{n}}$ im Polynomring ${}K[X,\ldots ,X_{n}]$ über einem Körper ${}K$ algebraisch unabhängig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Familie ${}X+Y,XY$ im Polynomring ${}K[X,Y]$ über einem Körper ${}K$ algebraisch unabhängig ist.

Aufgabe

Es seien ${}A$ und ${}B$ kommutative ${}R$- Algebren über einem kommutativen Ring ${}R$ und sei ${}\varphi \colon A\rightarrow B$ ein surjektiver ${}R$- Algebrahomomorphismus. Es seien  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$  Elemente derart, dass ${}\varphi {\left(f_{1}\right)},\ldots ,\varphi {\left(f_{n}\right)}$ algebraisch unabhängig über ${}R$ sind. Zeige, dass die ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ algebraisch unabhängig sind.

Aufgabe

Es sei ${}A$ eine kommutative ${}R$- Algebra über einem kommutativen Ring ${}R$ und sei  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in A$  eine Elementfamilie. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. Die Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ sind algebraisch unabhängig.
2. Der Einsetzungshomomorphismus

   $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow A,\,X_{i}\longmapsto f_{i},$

   ist injektiv.

3. Der Einsetzungshomomorphismus

   $R[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R[f_{1},\ldots ,f_{n}],\,X_{i}\longmapsto f_{i},$

   ist bijektiv.

Aufgabe *

Es seien  ${}K\subseteq L$  und  ${}L\subseteq M$  Körpererweiterungen. Es sei  ${}f_{1},\ldots ,f_{r}\in L$  eine algebraisch unabhängig über ${}K$ und  ${}g_{1},\ldots ,g_{s}\in M$  algebraisch unabhängig über ${}L$. Zeige, dass die Familie

${}f_{1},\ldots ,f_{r},g_{1},\ldots ,g_{s}\in M\,$

algebraisch unabhängig über ${}K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ der Polynomring über einem Körper ${}K$ und seien ${}n+1$ Polynome  ${}f_{1},\ldots ,f_{n+1}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  gegeben. Zeige, dass diese algebraisch abhängig sind.

Aufgabe

Es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ Elemente eines Körpers ${}K$ und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n-1}$ algebraisch unabhängig. Zeige, dass die Familie ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ genau dann algebraisch unabhängig ist, wenn ${}f_{n}$ transzendent über ${}K(f_{1},\ldots ,f_{n-1})$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung

${}{\mathbb {C} }(X)\subseteq {\mathbb {C} }(X)[Y]/{\left(X^{2}+Y^{2}-1\right)}\,$

rein transzendent ist.

Aufgabe

Besitzt die Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$  eine endliche Transzendenzbasis?

Aufgabe

Es sei  ${}z_{1},\ldots ,z_{n}\in \mathbb {R}$  eine Familie von reellen Zahlen. Zeige, dass es daraus eine algebraisch unabhängige Teilfamilie gibt.

Es ist übrigens unbekannt, ob die beiden transzendenten Zahlen ${}e$ und ${}\pi$ algebraisch unabhängig über ${}\mathbb {Q}$ sind.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Zeige, dass eine echte Unterfamilie einer Transzendenzbasis von ${}L$ über ${}K$ keine Transzendenzbasis ist.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und  ${}L\subseteq M$  eine algebraische Körpererweiterung. Es sei ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in L$ eine Transzendenzbasis von ${}L$ über ${}K$. Zeige, dass diese Familie auch eine Transzendenzbasis von ${}M$ über ${}K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}0$ und  ${}f_{1},\ldots ,f_{n}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  Polynome, die für den Körper der rationalen Funktionen ${}K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ eine Transzendenzbasis über ${}K$ bilden. Es sei ${}f_{n}$ ein Primpolynom. Zeige, dass die Restklassen der ${}f_{1},\ldots ,f_{n-1}$ im Quotientenkörper ${}Q(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{n}))$ eine Transzendenzbasis bilden.

Aufgabe

Bestimme den Transzendenzgrad des von den beiden trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus über ${}\mathbb {R}$ erzeugten Körpers.

Aufgabe

Diskutiere Gemeinsamkeiten zwischen dem Konzept lineare Unabhängigkeit (Basis, Dimension) und dem Konzept algebraische Unabhängigkeit (Transzendenzbasis, Transzendenzgrad).

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})$  der rationale Funktionenkörper in ${}n$ Variablen. Es sei  ${}G\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$  eine endliche Untergruppe der Galoisgruppe. Zeige, dass der Transzendenzgrad des Fixkörpers ${}L^{G}$ über ${}K$ gleich ${}n$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten den Funktionenkörper in zwei Variablen  ${}L=K(X,Y)$  über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$. Die Gruppe ${}K^{\times }$ ist eine Untergruppe der Galoisgruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$, indem man  ${}s\neq 0$  als den durch ${}X\mapsto sX,\,Y\mapsto sY$ festgelegten Automorphismus auffasst. Bestimme den Fixkörper ${}K(X,Y)^{K^{\times }}$ sowie dessen Transzendenzgrad über ${}K$.

Aufgabe

Wir betrachten den Funktionenkörper  ${}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})$  über einem Körper ${}K$. Wie betrachten auf der Menge ${}{\mathcal {Z}}$ aller Zwischenkörper die Relation, die durch

${}M_{1}\sim M_{2}\,,$

falls es einen Zwischenkörper ${}M$ derart gibt, dass  ${}M_{1}\subseteq M$  und  ${}M_{2}\subseteq M$  endliche Körpererweiterungen sind, gegeben ist. Zeige, dass es sich dabei um eine Äquivalenzrelation handelt.

Aufgabe *

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den beiden Variablen ${}U$ und ${}V$)

${}P={\frac {-U^{15}}{(1+V)^{7}V^{3}}}\,,$

${}Q={\frac {-U^{10}}{(1+V)^{5}V^{2}}}\,$

und

${}R={\frac {-U^{6}}{(1+V)^{3}V}}\,$

die Relation

${}P^{2}+Q^{3}+R^{5}=0\,$

erfüllen.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für Zwischenkörper  ${}L,M\subseteq K(X,Y)$,  die den gleichen Transzendenzgrad haben, die aber nicht zueinander äquivalent im Sinne von Aufgabe 28.23 sind.

Aufgabe *

Das Polynom  ${}Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\in {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]$  ist irreduzibel und definiert daher eine endliche Körpererweiterung

${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq {\mathbb {C} }(X,Y)[Z]/{\left(Z^{3}-X^{3}-Y^{3}\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Es sei ${}\zeta$ eine primitive dritte komplexe Einheitswurzel und es sei  ${}G=\{1,\zeta ,\zeta ^{2}\}$  die Gruppe der komplexen dritten Einheitswurzeln.

1. Zeige, dass durch

   $X\mapsto X,\,Y\mapsto Y,\,Z\mapsto \zeta Z$

   ein ${}{\mathbb {C} }(X,Y)$-Automorphismus auf ${}L$ gegeben ist.

2. Zeige, dass  ${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq L$  eine Galoiserweiterung ist.
3. Zeige, dass  ${}{\mathbb {C} }(X,Y)\subseteq L$  eine graduierte Körpererweiterung ist.
4. Zeige, dass durch

   $X\mapsto \zeta X,\,Y\mapsto \zeta Y,\,Z\mapsto \zeta ^{2}Z$

   ein ${}{\mathbb {C} }$-Automorphismus auf ${}L$ der Ordnung ${}3$ gegeben ist.

5. Zeige, dass der Fixkörper zum Automorphismus aus (4) isomorph zum rationalen Funktionenkörper in zwei Variablen ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Betrachte auf dem rationalen Funktionenkörper ${}{\mathbb {C} }(X)$ die Gruppe der ${}{\mathbb {C} }$- Körperautomorphismen, die durch ${}X\mapsto \zeta _{n}X$ erzeugt wird, wobei ${}\zeta _{n}$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel bezeichnet. Bestimme den Fixkörper ${}{\mathbb {C} }(X)^{\mathbb {Z} /(n)}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Familie ${}X+Y+Z,XY+XZ+YZ,XYZ$ im Polynomring ${}K[X,Y,Z]$ über einem Körper ${}K$ algebraisch unabhängig ist.

Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})$  der rationale Funktionenkörper in ${}n$ Variablen. Wir knüpfen an Beispiel 10.12 an.

1. Zeige, dass es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

   $\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$

2. Zeige, dass dieser nicht surjektiv ist.
3. Es sei nun zusätzlich vorausgesetzt, dass der Körper ${}K$ die Charakteristik ${}0$ habe. Zeige für den Fixkörper die Gleichheit

   ${}L^{\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}}=K\,.$

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei  ${}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})$  der rationale Funktionenkörper über einem Körper ${}K$. Wie betrachten auf der Menge ${}{\mathcal {Z}}$ aller Zwischenkörper die Äquivalenzrelation aus Aufgabe 28.23. Zeige, dass der Transzendenzgrad auf den Äquivalenzklassen wohldefiniert ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei  ${}L=K(X_{1},\ldots ,X_{n})$  der rationale Funktionenkörper über einem Körper ${}K$. Es seien Zwischenkörper

${}K\subseteq M_{1},M_{2}\subseteq L\,$

mit der Eigenschaft gegeben, dass die Körpererweiterungen

${}M_{1}\cap M_{2}\subseteq M_{1},M_{2}\,$

endlich seien. Zeige, dass es dann auch einen Zwischenkörper ${}N$ derart gibt, dass  ${}M_{1},M_{2}\subseteq N$  endlich sind.