Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Polynome mit unauflösbarer Galoisgruppe}
Wir möchten nun zeigen, dass gewisse Körpererweiterungen, und zwar die Zerfällungskörper von gewissen Polynomen vom Grad $\geq 5$, nicht auflösbar sind. Dazu müssen wir aufgrund der Galoistheorie für auflösbare Körpererweiterungen und den gruppentheoretischen Überlegungen zu den Permutationsgruppen
\mathbed {S_n} {}
{n \geq 5} {}
{} {} {} {,}
\zusatzklammer {Lemma 21.9} {} {}
lediglich nachweisen, dass diese Permutationsgruppen als Galoisgruppen auftreten. Dazu bedarf es einiger Vorbereitungen über Permutationsgruppen.
Zu einer
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
\mathl{S(M)}{} auf einer Menge $M$ liefert jede Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S(T)
}
{ \subseteq }{S(M)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Man setzt einfach die Permutation auf $T$ durch die Identität auf
\mathl{M \setminus T}{} zu einer Permutation auf ganz $M$ fort.
\inputfaktbeweis
{Permutationsgruppe/Gruppe umfasst Teilmengenpermutationen/Vereinigung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ eine endliche Menge und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T_1, T_2
}
{ \subseteq }{ M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
seien Teilmengen mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1 \cap T_2
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{S(M)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{,}}
\faktvoraussetzung {die sowohl
\mathkor {} {S(T_1)} {als auch} {S(T_2)} {}
umfasst.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(T_1 \cup T_2)
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Jedes Element
\mathl{\sigma \in S(T_1 \cup T_2)}{} lässt sich nach
Lemma 18.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
als Produkt von Transpositionen auf
\mathl{T_1 \cup T_2}{} schreiben. Es muss also lediglich gezeigt werden, dass solche Transpositionen zu $G$ gehören. Es sei
\mathl{\sigma \in S(T_1 \cup T_2)}{} eine Transposition, und zwar vertausche $\sigma$ die Elemente
\mathkor {} {a} {und} {b} {,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ = }{\langle a,b \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn beide Elemente zu $T_1$
\zusatzklammer {oder zu $T_2$} {} {}
gehören, sind wir fertig. Es sei also
\mathl{a \in T_1, a \notin T_2}{} und
\mathl{b \in T_2, b \notin T_1}{.} Es sei ferner
\mathl{c \in T_1 \cap T_2}{,} und $c$ sei von
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
verschieden
\zusatzklammer {sonst gehören beide zu einer der Teilmengen} {} {.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sigma
}
{ =} { \langle a,b \rangle
}
{ =} { \langle a, c \rangle \circ \langle b,c \rangle \circ \langle a,c \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und diese drei Transpositionen gehören zu
\mathl{S(T_1)}{} oder zu
\mathl{S(T_2)}{} und damit zu $G$.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ eine Menge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{S(M)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{.}
Eine Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt \definitionswort {transitiv}{,} wenn es zu je zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x, y
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein
\mathl{\sigma \in H}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma (x)
}
{ = }{ y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
\inputfaktbeweis
{Permutationsgruppe/Prim/Untergruppe/Transitiv und Transposition/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und $S_p$ die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
zu
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , p \} }}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{S_p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktvoraussetzung {eine
\definitionsverweis {transitive Untergruppe}{}{,}
die eine
\definitionsverweis {Transposition}{}{}
enthalte.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{S_p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , p \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(T)
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, und wollen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ = }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zeigen. Es sei dazu $T_1$ eine solche Teilmenge mit maximaler Elementanzahl, die wir $k$ nennen. Da es mindestens eine Transposition in $H$ gibt, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{k
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für jedes
\mathl{\sigma \in H}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_\sigma
}
{ = }{\sigma (T_1)}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ebenfalls eine $k$-elementige Menge mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(T_\sigma)
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für
\mathl{\tau \in S(T_\sigma )}{} ist nämlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\tau
}
{ =} { \sigma (\sigma^{-1} \tau \sigma )\sigma^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und
\mathl{\sigma^{-1} \tau \sigma}{} ist eine Permutation auf $T_1$, so dass sie zu $H$ gehört und damit auch
\mathl{\tau \in H}{} gilt. Für Permutationen
\mathl{\sigma_1 ,\sigma_2 \in H}{} ist entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_{\sigma_1}
}
{ = }{T_{\sigma_2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_{\sigma_1} \cap T_{\sigma_2}
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da andernfalls nach
Lemma 23.1
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S(T_1 \cup T_2)
}
{ \subseteq }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wäre im Widerspruch zur Maximalität von $k$. Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x
}
{ \in }{ M
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
vorgegeben und ein
\mathl{y \in T_1}{} fixiert. Aufgrund der
\definitionsverweis {Transitivität}{}{}
gibt es ein
\mathl{\sigma \in H}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma (y)
}
{ = }{ x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist natürlich
\mathl{x \in T_{\sigma}}{.} Das bedeutet, dass die Mengen
\mathbed {T_\sigma} {}
{\sigma \in H} {}
{} {} {} {,}
die Gesamtmenge $M$ überdecken. Wegen der Gleichmächtigkeit dieser Mengen ist $p$ ein Vielfaches von $k$ und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ = }{k
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{T_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Galoisgruppe/Primzahlgrad/Nullstellenbedingung/Permutationsgruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und}
\faktvoraussetzung {
\mathl{F \in \Q[X]}{} ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$p$, das genau
\mathl{p-2}{}
\definitionsverweis {reelle Nullstellen}{}{}
besitzt.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
des
\definitionsverweis {Zerfällungskörpers}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{Z(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_p$.}
\faktzusatz {Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist diese Körpererweiterung nicht
\definitionsverweis {auflösbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathl{\alpha_1 , \ldots , \alpha_{p-2}}{} die reellen Nullstellen und
\mathl{\alpha_{p-1}, \alpha_p}{} die beiden nichtreellen komplexen Nullstellen. Nach
Lemma 14.2
ist die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( Z(F) {{|}} \Q )}{} in natürlicher Weise eine Untergruppe der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
der Nullstellen. Wir zeigen, dass es sich um die volle Permutationsgruppe handelt. Die
\definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{}
induziert einen
$\Q$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
auf $L$, der die reellen Nullstellen unverändert lässt und die beiden nichtreellen Nullstellen
\mathkor {} {\alpha_{p-1}} {und} {\alpha_{p}} {}
ineinander überführt. Daher bewirkt dieser Automorphismus auf den Nullstellen eine
\definitionsverweis {Transposition}{}{.}
Da $F$ über $\Q$ irreduzibel ist, ist $F$ für jede Nullstelle das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
und daher sind alle Nullstellen zueinander
\definitionsverweis {konjugiert}{}{.}
Nach
Satz 14.5
gibt es somit für je zwei Nullstellen
\mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {}
einen Automorphismus $\varphi$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(\alpha)
}
{ = }{ \beta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit sind die Voraussetzungen von
Lemma 23.3
erfüllt und somit ist die Galoisgruppe die volle Permutationsgruppe.
\inputfaktbeweis
{Galoisgruppe/x^5+p^2x^4-p/Permutationsgruppe/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $a$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {X^5 +a^2X^4 -a
}
{ \in} { \Q[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Das Polynom $F$ ist
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in
\mathl{\Q[X]}{.}
}{$F$ besitzt drei reelle Nullstellen und darüber hinaus zwei komplexe nichtreelle Nullstellen.
}{Die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
des
\definitionsverweis {Zerfällungskörpers}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{Z(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
$S_5$.
}{Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{Z(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nicht
\definitionsverweis {auflösbar}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) ergibt sich aus
dem Kriterium von Eisenstein.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Wir berechnen einige Funktionswerte von $F$. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F { \left( -a^2 \right) }
}
{ =} {-a^{10} + a^{10} -a
}
{ =} {-a
}
{ <} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(-1)
}
{ =} {-1 +a^2 -a
}
{ =} {-1 +a(a-1)
}
{ >} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(0)
}
{ =} {-a
}
{ <} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und schließlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(1)
}
{ =} {1+a^2-a
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach dem
Zwischenwertsatz
gibt es daher mindestens drei reelle Nullstellen. Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
von $F$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F'
}
{ =} {5X^4 +4 a^2 X^3
}
{ =} {5 X^3 { \left( X + { \frac{ 4 }{ 5 } }a^2 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und besitzt die beiden reellen Nullstellen
\mathkor {} {0} {und} {-{ \frac{ 4 }{ 5 } } a^2} {.}
Nach dem
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
kann somit $F$ nicht mehr als drei reelle Nullstellen besitzen, da zwischen zwei Nullstellen stets eine Nullstelle der Ableitung liegt. Die Nullstellen der Ableitung sind wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F { \left( - { \frac{ 4 }{ 5 } } a^2 \right) }
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wegen der Irreduzibilität von $F$ über $\Q$} {} {}
keine Nullstelle von $F$, so dass $F$ keine mehrfache Nullstelle besitzen kann. Daher muss es zwei weitere komplexe nichtreelle Nullstellen geben.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3) und (4) folgen aus (1), (2) und
Lemma 23.4.}
{}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Ruffini_paolo.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Paolo Ruffini (1765-1822)} }
\bildlizenz { Ruffini paolo.jpg } {unbekannt} {Paulo meirelles} {Commons} {PD} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Niels_Henrik_Abel.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Niels Henrik Abel (1802-1829)} }
\bildlizenz { Niels Henrik Abel.jpg } {Johan Gørbitz} {Magnus Manske} {Commons} {PD} {}
Das erste Beispiel für ein solches Polynom ist
\mathl{X^5+4X^4-2}{.} Durch die Existenz solcher Polynome folgt die allgemeine Unauflösbarkeit für algebraische Gleichungen vom Grad $5$ und höher. Diese Aussage heißt \stichwort {Satz von Abel-Ruffini} {.}
\inputfaktbeweis
{Polynomiale Gleichung/Grad ab 5/Unauflösbarkeit/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {gibt es polynomiale Gleichungen
\zusatzklammer {über $\Q$} {} {}
vom Grad $n$, die nicht
\definitionsverweis {auflösbar}{}{}
sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt dies direkt aus
Korollar 23.5,
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{6
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
kann man ein unauflösbares Polynom vom Grad $5$ einfach mit einem beliebigen Polynom vom Grad
\mathl{n-5}{} multiplizieren.