Kurs:Kommutative Algebra/Teil I/Vorlesung 17

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Noethersche Ringe

Definition  

Ein kommutativer Ring heißt noethersch, wenn jedes Ideal darin endlich erzeugt ist.



Proposition  

Für einen kommutativen Ring sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist noethersch.
  2. Jede aufsteigende Idealkette

    wird stationär, d.h. es gibt ein mit .

Beweis  

(1) (2). Sei

eine aufsteigende Idealkette in . Wir betrachten die Vereinigung , die wieder ein Ideal in ist. Da noethersch ist, ist endlich erzeugt, d.h. . Da diese in der Vereinigung der Ideale liegen, und da die Ideale aufsteigend sind, muss es ein derart geben, dass liegt. Wegen

für muss hier Gleichheit gelten, so dass die Idealkette ab stationär ist.

(2) (1). Sei ein Ideal in . Wir nehmen an, sei nicht endlich erzeugt, und konstruieren sukzessive eine unendliche echt aufsteigende Idealkette , wobei die alle endlich erzeugt sind. Sei dazu

bereits konstruiert. Da endlich erzeugt ist, aber nicht, ist die Inklusion echt und es gibt ein Element

Dann setzt das Ideal die Idealkette echt aufsteigend fort.




Lemma  

Sei ein noetherscher Ring.

Dann ist auch jeder Restklassenring noethersch.

Beweis  

Sei ein Ideal und sei das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also . Die Restklassen dieser Erzeuger, also , bilden ein Idealerzeugendensystem von : Für ein Element gilt ja in und damit in .



Der Hilbertsche Basissatz



Satz  

Sei ein noetherscher Ring.

Dann ist auch der Polynomring noethersch.

Beweis  

Sei ein Ideal im Polynomring . Zu definieren wir ein Ideal in durch

Das Menge besteht also aus allen Leitkoeffizienten von Polynomen vom Grad aus . Es handelt sich dabei offensichtlich um Ideale in (wobei wir hier als Leitkoeffizient zulassen). Ferner ist , da man ja ein Polynom vom Grad mit Leitkoeffizient mit der Variablen multiplizieren kann, um ein Polynom vom Grad zu erhalten, das wieder als Leitkoeffizienten besitzt. Da noethersch ist, muss diese aufsteigende Idealkette stationär werden; sei so, dass ist.

Zu jedem sei nun ein endliches Erzeugendensystem, und es seien

zugehörige Polynome aus (die es nach Definition der geben muss).

Wir behaupten, dass von allen erzeugt wird. Dazu beweisen wir für jedes durch Induktion über den Grad von , dass es als Linearkombination mit diesen darstellbar ist. Für konstant, also , ist dies klar. Sei nun der Grad von gleich und die Aussage sei für kleineren Grad bewiesen. Wir schreiben

Es ist und damit kann man als -Linearkombination der , schreiben. Bei kann man sogar als -Linearkombination der , schreiben, sagen wir . Dann ist und hat einen kleineren Grad, so dass man darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden kann. Bei ist

Damit gehört

ebenfalls zu und hat einen kleineren Grad, so dass man wieder die Induktionsvoraussetzung anwenden kann.




Korollar  

Sei ein noetherscher Ring.

Dann ist auch noethersch.

Beweis  

Dies folgt durch induktive Anwendung des Hilbertschen Basissatzes auf die Kette




Korollar  

Sei ein Körper.

Dann ist noethersch.

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt *****.


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