Kurs:Lineare Algebra/Teil I/15/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 6 }
\renewcommand{\avier}{ 2 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 4 }
\renewcommand{\azehn}{ 4 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 1 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 12 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Ein \stichwort {Ring} {} $R$.
}{Eine \stichwort {Linearkombination} {} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}{Die
\stichwort {Dualbasis} {}
zu einer gegebenen
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$.
}{Eine \stichwort {rationale Funktion} {} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Das \stichwort {charakteristische Polynom} {} zu einer
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}{Eine \stichwort {baryzentrische Kombination} {} in einem affinen Raum $E$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei
\definitionsverweis {Verknüpfungen}{}{}
\zusatzklammer {genannt Addition und Multiplikation} {} {}
\mathdisp {+: R \times R \longrightarrow R \text{ und } \cdot: R \times R \longrightarrow R} { }
und
\zusatzklammer {nicht notwendigerweise verschiedene} {} {}
Elemente
\mathl{0,1 \in R}{} gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
\aufzaehlungdrei{Axiome der Addition
\aufzaehlungvier{Assoziativgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in R}{} gilt:
\mathl{(a + b) + c = a + (b + c)}{.}
}{Kommutativgesetz: Für alle
\mathl{a,b \in R}{} gilt
\mathl{a+b=b+a}{.}
}{$0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
\mathl{a \in R}{} ist
\mathl{a+0= a}{.}
}{Existenz des Negativen: Zu jedem
\mathl{a \in R}{} gibt es ein Element
\mathl{b \in R}{} mit
\mathl{a+b=0}{.}
}
}{Axiome der Multiplikation
\aufzaehlungzwei {Assoziativgesetz: Für alle
\mathl{a,b,c \in R}{} gilt:
\mathl{(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}{.}
} {$1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
\mathl{a \in R}{} ist
\mathl{a \cdot 1=1 \cdot a= a}{.}
}
}{Distributivgesetz:
Für alle
\mathl{a,b,c \in R}{} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a \cdot (b+c)
}
{ = }{(a \cdot b) + (a \cdot c)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (b+c) \cdot a
}
{ = }{(b \cdot a) + (c \cdot a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}{Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Familie von Vektoren in $V$. Dann heißt der Vektor
\mathdisp {s_1v_1+s_2v_2 + \cdots + s_nv_n \text{ mit } s_i \in K} { }
eine Linearkombination dieser Vektoren
}{Man nennt die
\definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathdisp {v_1^* , \ldots , v_n^* \in { V }^{ * }} { , }
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_i^* (v_j)
}
{ =} { \delta_{ij}
}
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } i = j\, ,\\ 0, \text{ falls } i \neq j\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt sind, die
\stichwort {Dualbasis} {}
zur gegebenen Basis.
}{Zu zwei
\definitionsverweis {Polynomen}{}{}
\mathbed {P,Q \in K [X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,}
heißt die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {} {D} { K
} {z} { \frac{P(z)}{Q(z)}
} {,}
wobei
\mathl{D \subseteq K}{} das
\definitionsverweis {Komplement}{}{}
der
\definitionsverweis {Nullstellen}{}{}
von $Q$ ist, eine rationale Funktion.
}{Das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ \defeq} {\det \left( X \cdot E_n - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt charakteristisches Polynom von $M$.
}{Zu einer Familie
\mathbed {P_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von Punkten in $E$ und einem Zahltupel
\mathbed {a_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in I} a_i
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt die Summe
\mathl{\sum_{i \in I} a_i P_i}{} baryzentrische Kombination der $P_i$.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Das
\stichwort {Eliminationslemma} {}
für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.}{Der Satz über die Dimension eines Untervektorraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}{Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Eigenräume.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $S$ ein
\zusatzklammer {inhomogenes} {} {}
lineares Gleichungssystem über $K$ in den Variablen
\mathl{x_1 , \ldots , x_n}{.} Es sei $x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung $G$ mit einem von $0$ verschiedenen Koeffizienten $a$ vorkommt. Dann lässt sich jede von $G$ verschiedene
Gleichung $H$ durch eine Gleichung $H'$ ersetzen, in der $x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem $S'$, das aus $G$ und den Gleichungen $H'$ besteht,
\definitionsverweis {äquivalent}{}{}
zum Ausgangssystem $S$ ist.}{Wenn $V$ endlichdimensional ist, so ist auch $U$ endlichdimensional und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ \leq} { \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann ist $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{,}
wenn $V$ die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
der
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
ist.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+1+3)}
{
Professor Knopfloch kommt gelegentlich mit verschiedenen Socken und/oder mit verschiedenen Schuhen in die Universität. Er legt folgende Definitionen fest. \aufzaehlungvier{Ein Tag heißt \stichwort {sockenzerstreut} {,} wenn er verschiedene Socken anhat. }{Ein Tag heißt \stichwort {schuhzerstreut} {,} wenn er verschiedene Schuhe anhat. }{Ein Tag heißt \stichwort {zerstreut} {,} wenn er sockenzerstreut oder schuhzerstreut ist. }{Ein Tag heißt \stichwort {total zerstreut} {,} wenn er sowohl sockenzerstreut als auch schuhzerstreut ist. }
a) Vom Jahr
\mathl{2015}{} weiß man, dass $17$ Tage sockenzerstreut und $11$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal zerstreut? Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal total zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?
b) Vom Jahr
\mathl{2013}{} weiß man, dass $270$ Tage sockenzerstreut und $120$ Tage schuhzerstreut waren. Wie viele Tage waren in diesem Jahr maximal zerstreut und wie viele Tage waren minimal total zerstreut?
c) Erstelle eine Formel, die die Anzahl der sockenzerstreuten, der schuhzerstreuten, der zerstreuten und der total zerstreuten Tage in einem Jahr miteinander in Verbindung bringt.
}
{
a) Zerstreutheit: Die sockenzerstreuten Tage sind jedenfalls zerstreut. Das Minimum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind $17$. Das Maximum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig sockenzerstreut und schuhzerstreut war, das ergibt
\mathl{28}{} Tage.
Totale Zerstreutheit: Die total zerstreuten Tage sind insbesondere schuhzerstreut. Das Maximum ergibt sich, wenn alle schuhzerstreuten Tage auch sockenzerstreut waren, das sind $11$ Tage. Das Minimum ergibt sich, wenn kein Tag gleichzeitig schuh- und sockenzerstreut war, also $0$.
b) Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{270 + 120
}
{ =} {390
}
{ \geq} {365
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
können alle Jahre des Tages zerstreut gewesen sein, also
\mathl{365}{.} Minimal waren $25$ Tage total zerstreut.
c) Es sei $s$ die Anzahl der sockenzerstreuten Tage, $x$ die Anzahl der schuhzerstreuten Tage, $z$ die Anzahl der zerstreuten Tage und $t$ die Anzahl der total zerstreuten Tage. Dann gilt die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s+x
}
{ =} {z+t
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Beide Seiten der Formel sind additiv in den Tagen, sie muss also nur für einen Tag nachgewiesen werden. Wenn der Tag nicht zerstreut ist, steht beidseitig $0$. Wenn der Tag sockenzerstreut ist, aber nicht schuhzerstreut
\zusatzklammer {oder umgekehrt} {} {,}
so ist der Tag zerstreut, aber nicht total zerstreut, und beidseitig steht $1$. Wenn der Tag total zerstreut ist, so steht beidseitig $2$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Es seien
$L, M, N$ und $P$
Mengen und es seien
\maabbeledisp {F} {L} {M
} {x} {F(x)
} {,} \maabbeledisp {G} {M} {N
} {y} {G(y)
} {,}
und
\maabbeledisp {H} {N} {P
} {z} {H(z)
} {,}
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ H \circ (G \circ F)
}
{ =} { (H \circ G) \circ F
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Zwei Abbildungen
\maabb {\alpha, \beta} {L} {P
} {}
sind genau dann gleich, wenn für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha(x)
}
{ = }{\beta(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ ( H \circ ( G \circ F)) (x)
}
{ =} { H( ( G \circ F) (x) )
}
{ =} { H( G(F(x)) )
}
{ =} { ( H \circ G ) (F(x))
}
{ =} { (( H \circ G ) \circ F)(x)
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in $n$ Variablen über einem Körper $K$.
}
{
Durch Umnummerieren kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{x_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreichen. Es sei $G$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ax_1 + \sum_{i = 2}^n a_ix_i
}
{ =} {b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {mit \mathlk{a \neq 0}{}} {} {}
und $H$ die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ cx_1 + \sum_{i = 2}^n c_ix_i
}
{ =} {d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann hat die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H'
}
{ =} {H - { \frac{ c }{ a } } G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 2}^n { \left( c_i- { \frac{ c }{ a } } a_i \right) } x_i
}
{ =} { d -{ \frac{ c }{ a } } b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
in der $x_1$ nicht mehr vorkommt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ = }{H' + { \frac{ c }{ a } } G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind die Gleichungssysteme
\definitionsverweis {äquivalent}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im $\R^2$, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(2,3)} {und} {(5,-7)} {} verläuft.
}
{
Die Gerade wird in Punktvektorform durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} + t \left( \begin{pmatrix} 5 \\-7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} \right ) \mid t \in \R \right\} }
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\-10 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Die Gleichungsform hat somit die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \mid 10 x +3y = c \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem zu bestimmenden $c$. Einsetzen des Punktes $ \begin{pmatrix} 2 \\3 \end{pmatrix} $ ergibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c
}
{ = }{ 29
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \mid 10 x +3y = 29 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung
\maabbeledisp {} {K \times V} {V
} { (s,v)} { s v
} {,}
derart, dass diese Struktur alle
\definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{}
außer
\mathdisp {(6) \,\, \, r(su) = (rs)u} { }
erfüllt.
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wir betrachten die \anfuehrung{Skalarmultiplikation}{}
\maabbdisp {} {{\mathbb C} \times \R} { \R
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(a+b { \mathrm i} ) \bullet u
}
{ \defeq} { au
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definiert ist. Um zu zeigen, dass das Assoziativitätsaxiom nicht erfüllt ist, betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} {s
}
{ =} { { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ein beliebiges
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Einerseits ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( { \mathrm i} \cdot { \mathrm i} ) \bullet u
}
{ =} { (-1) \bullet u
}
{ =} { -u
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und andererseits ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \mathrm i} \bullet ( { \mathrm i} \bullet u )
}
{ =} { { \mathrm i} \bullet (0 )
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die anderen multiplikativen Axiome sind hingegen erfüllt. Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a+b { \mathrm i} ) \bullet (u +v)
}
{ =} { a ( u +v)
}
{ =} { au +av
}
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) \bullet u+ (a+b { \mathrm i} ) \bullet v
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ (a+b { \mathrm i} + c+d { \mathrm i} ) \bullet u
}
{ =} { ( (a+c)+ (b+d) { \mathrm i} ) \bullet u
}
{ =} { (a+c)u
}
{ =} { au +cu
}
{ =} { (a+b { \mathrm i} ) \bullet u +( c+d { \mathrm i} ) \bullet u
}
}
{}
{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 \bullet u
}
{ =} { u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mathl{u \in \R}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass die Familie genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, wenn es einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt, für den die Familie eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bildet.
}
{
Wenn die Familie in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Basis bildet, so ist sie linear unabhängig
\zusatzklammer {in $U$ und in $V$} {} {.}
Wenn die Familie linear unabhängig ist, so betrachten wir den durch sie erzeugten Untervektorraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \defeq} { \langle v_1 , \ldots , v_n \rangle
}
{ \subseteq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese linear unabhängige Familie ist somit ein Erzeugendensystem von $U$ und daher eine Basis von $U$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $M$ eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M N
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für jede
\mathl{n \times n}{-}Matrix $N$ vom
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$1$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
angenommen. Dann gibt es einen Vektor
\mathl{v \in K^n}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Mv
}
{ =} {w
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir ergänzen $v$ zu einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {v=v_1,v_2 , \ldots , v_n} { }
von $K^n$. Es sei $N$ die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch $v \mapsto v$ und
\mathl{v_i \mapsto 0}{} für
\mathl{i \geq 2}{} festgelegte
lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von $N$ ist $1$, da ja das Bild gerade
\mathl{Kv}{} ist, und es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{MNv
}
{ =} {Mv
}
{ =} {w
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M N
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Widerspruch zur Voraussetzung.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ der
\definitionsverweis {Körper mit zwei Elementen}{}{.}
Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {erzeugten}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraumes}{}{}
des $K^4$.
}
{
Da in allen Vektoren zwei Einträge gleich $1$ sind, gehören wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1+1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sämtliche Vektoren zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der durch
\mathdisp {x_1+x_2+x_3+x_4} { }
gegebenen
\definitionsverweis {Linearform}{}{.}
Die Dimension ist also maximal gleich $3$. Wir betrachten den dritten, zweiten und den ersten Vektor der Familie, also
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\1 \end{pmatrix}} { }
als Matrix. Die ersten drei Zeilen davon bilden eine obere Dreiecksmatrix mit Determinante $1$. Also ist der Rang dieser Untermatrix gleich $3$ und somit ist die Dimension des erzeugten Raumes
gleich $3$.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4 (1+3)}
{
\aufzaehlungzwei {Überführe die Matrixgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in ein lineares Gleichungssystem.
} {Löse dieses lineare Gleichungssystem.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Die einzelnen Einträge der Matrixgleichung ergeben das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+7z
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4x+5z
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3y+7w
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ -4y+5w
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
} {Aus der ersten und der zweiten Gleichung ergibt sich mittels
\mathl{4I+3II}{} die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 43 z
}
{ =} { 4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{z
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 43 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 4 } } z
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 4 } } \cdot { \frac{ 4 }{ 43 } }
}
{ =} { { \frac{ 5 }{ 43 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der dritten und der vierten Gleichung ergibt sich mittels
\mathl{4III+3IV}{} die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 43 w
}
{ =} { 3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} { { \frac{ 3 }{ 43 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 3 } } w
}
{ =} { - { \frac{ 7 }{ 3 } } \cdot { \frac{ 3 }{ 43 } }
}
{ =} {- { \frac{ 7 }{ 43 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Beweise den Satz über die Dualbasis.
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{j = 1}^n a_jv_j^*
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_j
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn wir diese Linearform auf $v_i$ anwenden, ergibt sich direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\mathl{v_1^* , \ldots , v_n^*}{} sind also
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
Nach
Korollar 13.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
besitzt der Dualraum die Dimension $n$, daher muss bereits eine Basis vorliegen.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{
Es seien
\mathkor {} {A} {und} {B} {}
quadratische Matrizen über einem Körper $K$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det \left( B \circ A \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Aufgrund
des Determinantenmultiplikationssatzes
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( A \circ B \right)
}
{ =} { \det A \det B
}
{ =} { \det B \det A
}
{ =} { \det \left( B \circ A \right)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Betrachte die beiden Permutationen \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {5} {3} {7} {1} }
{\mazeileunddrei {4} {8} {6} } und \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\tau(x)$ }
{\mazeileundfuenf {4} {5} {2} {8} {6} }
{\mazeileunddrei {7} {1} {3} }
Berechne $\sigma \tau$ und $\tau \sigma$. Bestimme die Anzahl der
\definitionsverweis {Fehlstände}{}{}
und das
\definitionsverweis {Vorzeichen}{}{}
von $\tau$. Man gebe die Zyklendarstellung von $\sigma$ und von $\sigma^3$ an. Was ist die Ordnung von $\sigma$?
}
{
Die Produkte der beiden Permutationen sind als Wertetabellen geschrieben
\wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\tau \sigma(x)$ }
{\mazeileundfuenf {5} {6} {2} {1} {4} }
{\mazeileunddrei {8} {3} {7} } und \wertetabelleachtausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {5} }
{\mazeileunddrei {6} {7} {8
} }
{ $\sigma \tau(x)$ }
{\mazeileundfuenf {7} {1} {5} {6} {4} }
{\mazeileunddrei {8} {2} {3} }
Die Fehlstände von $\tau$ sind
\mathdisp {(1,3),\, (1,7),\, (1,8),\, (2,3),\, (2,7),\, (2,8),\, (3,7),\, (4,5),\, (4,6),\, (4,7),\, (4,8),\, (5,7),\, (5,8),\, (6,7),\, (6,8)} { . }
Das sind also $15$ Fehlstände und damit ist das Vorzeichen $-1$.
Die Zyklendarstellung von $\sigma$ ist
\zusatzklammer {wir führen auch die Fixpunkte aus} {} {}
\mathdisp {\langle 1 , \, 2, \, 5 \rangle \langle3 \rangle \langle 4, \, 7, \, 8, \, 6 \rangle} { . }
Daher hat $\sigma^3$ die Zyklendarstellung
\mathdisp {\langle 1 \rangle \langle 2 \rangle \langle 5 \rangle \langle3 \rangle \langle 4, \, 6, \, 8, \, 7 \rangle} { . }
Die Ordnung von $\sigma$ ist $12$, da ein Dreierzyklus und ein Viererzyklus beteiligt sind.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man bestimme sämtliche komplexen Nullstellen des Polynoms
\mathdisp {X^3-1} { }
und man gebe die Primfaktorzerlegung von diesem Polynom in $\R[X]$ und in ${\mathbb C}[X]$ an.
}
{
Zunächst ist $1$ eine Nullstelle und daher ist $X-1$ ein Linearfaktor. Division mit Rest ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (X^3-1)
}
{ =} {(X-1)(X^2+X+1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen also noch die komplexen Nullstellen von $X^2+X+1$ bestimmen. Dazu ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^2+X+1
}
{ =} { { \left( X+{ \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2 - { \frac{ 1 }{ 4 } } + 1
}
{ =} { { \left( X+ { \frac{ 1 }{ 2 } } \right) }^2 + { \frac{ 3 }{ 4 } }
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
Damit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X+{ \frac{ 1 }{ 2 } }
}
{ =} { \pm { \mathrm i} \sqrt{ { \frac{ 3 }{ 4 } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit sind die weiteren Nullstellen
\mathdisp {x_2 = - { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } } \text{ und } x_3 = - { \frac{ 1 }{ 2 } } - { \mathrm i} { \frac{ \sqrt{3} }{ 2 } }} { . }
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Bestimme die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem Körper $K$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Die Bedingung bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a^2 & ab+bd \\ 0 & d^2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {d
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $b$ ist beliebig. Die Lösungen haben also die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
mit beliebigem
\mathl{b \in K}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{12}
{
Beweise den Satz über die Charakterisierungen von trigonalisierbaren Abbildungen.
}
{
Von (1) nach (2). Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix zu $\varphi$ obere Dreiecksgestalt besitzt. Dann folgt durch direkte Interpretation der Matrix, dass die Untervektorräume
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ \defeq} { \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
sind und somit eine invariante Fahne vorliegt.
Von (2) nach (1). Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} {V_0
}
{ \subset} {V_1
}
{ \subset \ldots \subset} {V_{n-1}
}
{ \subset} {V_n
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{}
eine
$\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{.}
Aufgrund des
Basisergänzungssatzes
gibt es eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die Fahne invariant ist, gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v_i)
}
{ =} { b_{1i} v_1 +b_{2i} v_2 + \cdots + b_{ii} v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bezüglich dieser Basis besitzt die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
zu $\varphi$
\definitionsverweis {obere Dreiecksgestalt}{}{.}
Von (1) nach (3). Das charakteristische Polynom von $\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom $\chi_{ M }$, wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also annehmen, dass $M$ eine obere Dreiecksmatrix ist. Dann ist nach Lemma 16.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
Aus (3) folgt (4), da das Minimalpolynom nach Korollar 24.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ein Teiler des charakteristischen Polynoms ist.
Von (4) nach (2). Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach $n$, wobei die Fälle
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {0,1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
klar sind. Nach Voraussetzung und nach
Korollar 24.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
und
Satz 23.2 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
besitzt $\varphi$ einen Eigenwert. Nach
Lemma 25.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
gibt es einen
\mathl{(n-1)}{-}dimensionalen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_{n-1}
}
{ \subset} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
der
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{}
ist. Nach
Korollar 25.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist das Minimalpolynom der Einschränkung
\mathl{\varphi{{|}}_{V_{n-1} }}{} ein Teiler des Minimalpolynoms von $\varphi$ und zerfällt daher wie dieses in Linearfaktoren. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es eine
\mathl{\varphi{{|}}_{V_{n-1} }}{-}invariante Fahne
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_1
}
{ \subset} { V_2
}
{ \subset \ldots \subset} {V_{n-2}
}
{ \subset} {V_{n-1}
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
und somit ist dies auch eine $\varphi$-invariante Fahne.
}