Kurs:Lineare Algebra/Teil I/2/Teiltest/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 4 4 3 8 5 1 7 5 2 6 2 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis zu einer anderen Basis .
  2. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  3. Der Kern einer linearen Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  4. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  5. Die Determinante einer -Matrix .
  6. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Dimension der Homomorphismenräume.
  2. Die Leibniz-Formel für die Determinante.
  3. Die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und Basen von . Zeige, dass die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

stehen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , niemand wechselt zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum mit Dualraum . Zeige, dass die natürliche Abbildung

nicht linear ist.


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine quadratische Matrix, die man als

mit quadratischen Matrizen und schreiben kann. Zeige durch ein Beispiel, dass die Beziehung

im Allgemeinen nicht gilt.


Aufgabe (1 Punkt)

Permutation8.png

Skizziere ein Pfeildiagramm, das die nebenstehende Permutation überschneidungsfrei darstellt.


Aufgabe * (7 (1+3+3) Punkte)

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind.

a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation

b) Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.

c) Zeige, dass

ist.


Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Aufgabe * (2 Punkte)

Schreibe das Polynom

als Produkt von Linearfaktoren in .


Aufgabe * (6 Punkte)

Wir betrachten in die beiden Hauptideale und . Zeige, dass der Durchschnitt

gleich dem Hauptideal ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zu einer -Matrix sei

Zeige, dass ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

eine obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass ein Eigenwert zu ein Diagonaleintrag von sein muss.