Kurs:Lineare Algebra/Teil I/30/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 3 }
\renewcommand{\avier}{ 5 }
\renewcommand{\afuenf}{ 6 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 3 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 10 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Abbildung} {} $F$ von einer Menge $L$ in eine Menge $M$.
}{Die
\stichwort {Summe} {}
von Untervektorräumen
\mathl{U_1 , \ldots , U_n \subseteq V}{} in einem Vektorraum $V$.
}{Die \stichwort {Spur} {} zu einer \definitionsverweis {quadratischen Matrix}{}{} $M$ über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$.
}{Die \stichwort {duale Abbildung} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} zwischen $K$-\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{} \mathkor {} {V} {und} {W} {.}
}{Ein
\stichwort {Zykel der Ordnung} {}
$r$ auf
\mathl{{ \{ 1 , \ldots , n \} }}{.}
}{Eine \stichwort {nilpotente} {} $d \times d$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über $K$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird.
}{Die
Summe dieser Untervektorräume
ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 + \cdots + U_n
}
{ =} { { \left\{ u_1 + \cdots + u_n \mid u _i \in U_i \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben.
}{Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left( a_{ij} \right) }_{ 1 \leq i ,j \leq n}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Spur} { \left( M \right) }
}
{ \defeq} {\sum_{ i = 1 }^{ n } a_{ii}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Spur von $M$.
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi^*} { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( W , K \right) } = { W }^{ * } } { \operatorname{Hom}_{ K } { \left( V , K \right) } = { V }^{ * }
} {f} {f \circ \varphi
} {,}
heißt die duale Abbildung zu $\varphi$.
}{Eine Permutation $\pi$ auf ${ \{ 1 , \ldots , n \} }$ heißt Zykel der Ordnung $r$, wenn es eine $r$-elementige Teilmenge
\mathl{Z \subseteq M}{} derart gibt, dass $\pi$ auf
\mathl{M \setminus Z}{} die Identität ist und $\pi$ die Elemente aus $Z$ zyklisch vertauscht
}{Eine
\definitionsverweis {quadratische Matrix}{}{} $M$ heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl $n \in \N$ gibt derart, dass das $n$-te
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathdisp {M^n = \underbrace {M \circ \cdots \circ M}_{n\text{-mal} } =0} { }
ist.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über den Basiswechsel.}{Der Satz über die Anzahl der Permutationen.}{Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $V$.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ u } = u_1 , \ldots , u_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $V$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Koeffizienten
\mathl{c_{ij} \in K}{,} die wir zur
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }
}
{ =} { { \left( c_{ij} \right) }_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zusammenfassen. Dann hat ein Vektor $w$, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten $\begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}$ besitzt, bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$ die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} t _{1 } \\ \vdots\\ t _{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } } \begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} c_{11 } & c_{1 2} & \ldots & c_{1 n } \\
c_{21 } & c_{2 2} & \ldots & c_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{ n 1 } & c_{ n 2 } & \ldots & c_{ n n } \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s_{1 } \\ \vdots\\ s_{ n } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Es sei $M$ eine endliche Menge mit $n$ Elementen.
Dann besitzt die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Perm} \,(M) \cong S_n}{} genau $n!$ Elemente.}{Es sei
\mathl{\lambda \in K}{.} Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) }
}
{ \leq} { \mu_\lambda(\varphi)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch \anfuehrung{Extremfälle}{} berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.
}
{Mathematik/Extremfälle/Erläuterung/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabeklausurloesung
{5 (1+1+1+2)}
{
Ein Zug ist $500$ Meter lang \zusatzklammer {ohne Lokomotive} {} {} und bewegt sich mit $180$ Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von $20$ Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten. \aufzaehlungvier{Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge? }{Welche Geschwindigkeit \zusatzklammer {in Meter pro Sekunde} {} {} hat Lucy bezogen auf die Umgebung? }{Welche Entfernung \zusatzklammer {in Meter} {} {} legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück? }{Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt. }
}
{
\aufzaehlungvier{Lucy benötigt $25$ Sekunden für den $500$ Meter langen Zug.
}{In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 180 000 }{ 3600 } }
}
{ =} {{ \frac{ 180 0 }{ 36 } }
}
{ =} { 50
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die beiden Bewegungen sich überlagern, aber in umgekehrter Richtung ausgerichtet sind, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich $30$ Meter pro Sekunde.
}{In den $25$ Sekunden legt der Zug
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{25 \cdot 50
}
{ =} { 1250
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter zurück.
}{Man kann von der vom Zug zurückgelegten Strecke die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke subtrahieren, dies ergibt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1250 -500
}
{ =} { 750
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 25 \cdot 30
}
{ =} { 750
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
Meter.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{6 (1+1+1+1+2)}
{
Wir betrachten Matrizen der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}} { . }
\aufzaehlungfuenf{Berechne
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f & 0 & g \\ 0 & h & 0 \\i & 0 & j \end{pmatrix}} { . }
}{Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
}{Bestimme die Determinante von
\mathl{\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}}{.}
}{Man gebe eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & b \\ 0 & 1 & 0 \\d & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
an, die nicht invertierbar ist.
}{Sei
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}} { }
invertierbar. Ist die Inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} f & 0 & g \\ 0 & h & 0 \\i & 0 & j \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} af+bi & 0 & ag+bj \\ 0 & ch & 0 \\df+ei & 0 & dg+ej \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Die Multiplikation ist nicht kommutativ. Wenn man oben die Reihenfolge vertauscht, ergibt sich als Eintrag links oben
\mathl{af+gd}{} und nicht
\mathl{af+bi}{.}
}{Die Determinante von
\mathl{\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}}{} ist gleich
\mathl{c(ae-db)}{.}
}{Die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 1 \end{pmatrix}} { }
ist nicht invertierbar, da die erste und die dritte Zeile übereinstimmen.
}{Es sei
\mathl{\begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix}}{} invertierbar. Dann ist zunächst
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ae-bd
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da die Determinante gleich
\mathl{c(ae-db)}{} ist.
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & 0 & b \\ 0 & c & 0 \\d & 0 & e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & 0 & -b \\ 0 & ( ae-bd )c^{-1} & 0 \\-d & 0 & a \end{pmatrix}
}
{ =} {\begin{pmatrix} ae-bd & 0 & 0 \\ 0 & ae-bd & 0 \\0 & 0 & ae-bd \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mathdisp {{ \frac{ 1 }{ ae-bd } } \begin{pmatrix} e & 0 & -b \\ 0 & ( ae-bd )c^{-1} & 0 \\-d & 0 & a \end{pmatrix}} { }
die inverse Matrix und diese ist wieder von diesem Typ.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Beweise den Basisergänzungssatz.
}
{
Es sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$.
Aufgrund des Austauschsatzes
findet man
\mathl{n-k}{} Vektoren aus der Basis $\mathfrak{ b }$, die zusammen mit den vorgegebenen
\mathl{u_1 , \ldots , u_k}{} eine Basis von $V$ bilden.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Wir betrachten die Quadratabbildung
\maabbeledisp {\varphi} {K} {K
} {x} {x^2
} {,}
für verschiedene Körper $K$.
\aufzaehlungdrei{Ist $\varphi$ linear für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {\Q
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}{Ist $\varphi$ linear für
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} { \Z/(2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dem Körper mit zwei Elementen.
}{Es sei nun $K$ ein Körper, in dem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2
}
{ = }{1+1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist $\varphi$ linear? Ist $\varphi$ verträglich mit der Addition?
}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (1+1)
}
{ =} { \varphi (2)
}
{ =} { 4
}
{ \neq} { 1+1
}
{ =} {\varphi(1) + \varphi(1)
}
}
{}{}{,}
somit ist $\varphi$ auf $\Q$ nicht linear.
}{Für den Körper mit zwei Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(2)
}
{ = }{ \{0,1\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(1)
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also ist $\varphi$ die Identität und somit linear.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi (u+v)
}
{ =} { (u+v)^2
}
{ =} { u^2 +2uv +v^2
}
{ =} { u^2+v^2
}
{ =} { \varphi(u) + \varphi(v)
}
}
{}{}{,}
daher erfüllt $\varphi$ die Additivität. Sie ist aber nicht mit der Skalierung verträglich und somit nicht linear. Nehmen wir an, dass $\varphi$ mit der Skalierung verträglich wäre. Dann ist für jedes
\mathl{s \in K}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s^2
}
{ =} {\varphi (s)
}
{ =} {\varphi (s1)
}
{ =} { s \varphi (1)
}
{ =} { s1
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { s
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.}
In einem Körper gibt es aber nur zwei Elemente, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s^2
}
{ =} {s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\maabbdisp {\triangle} {V \times V \times V} {K
} {}
eine
\definitionsverweis {multilineare}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Es seien $u,v,w,z \in V$. Ziehe in
\mathdisp {\triangle \begin{pmatrix} 7u+3v-8w \\4u-6z\\ -2w-2z \end{pmatrix}} { }
Summen und Skalare nach außen.
}
{
Nach dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen muss man sämtliche Kombinationen der Vektoren durchgehen und die Koeffizienten miteinander multiplizieren. Dies ergibt
Es ist
\mavergleichskettealigndrucklinks
{\vergleichskettealigndrucklinks
{ \triangle \begin{pmatrix} 7u+3v-8w \\4u-6z\\ -2w-2z \end{pmatrix}
}
{ =} {-56 \triangle \begin{pmatrix} u \\u\\ w \end{pmatrix} -56 \triangle \begin{pmatrix} u \\u\\ z \end{pmatrix} + 84 \triangle \begin{pmatrix} u \\z\\ w \end{pmatrix}+ 84 \triangle \begin{pmatrix} u \\z\\ z \end{pmatrix} -24 \triangle \begin{pmatrix} v \\u\\ w \end{pmatrix} -24 \triangle \begin{pmatrix} v \\u\\ z \end{pmatrix} + 36 \triangle \begin{pmatrix} v \\z\\ w \end{pmatrix} + 36 \triangle \begin{pmatrix} v \\z\\ z \end{pmatrix}
+64 \triangle \begin{pmatrix} w \\u\\ w \end{pmatrix} +64 \triangle \begin{pmatrix} w \\u\\ z \end{pmatrix} - 96 \triangle \begin{pmatrix} w \\z\\ w \end{pmatrix} -96 \triangle \begin{pmatrix} w \\z\\ z \end{pmatrix}
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{
Löse das
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 5 \\2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Hilfe der
Cramerschen Regel.
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_1
}
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} }{ \det \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} } }
}
{ =} {- { \frac{ 1 }{ 5 } }
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} }{ \det \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} } }
}
{ =} { { \frac{ -4 }{ -5 } }
}
{ =} { { \frac{ 4 }{ 5 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{7 (1+3+3)}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I
}
{ = }{ { \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei $\pi$ eine
\definitionsverweis {Permutation}{}{}
auf $I$. Die zugehörige
\betonung{Permutationsmatrix}{} $M_\pi$ ist dadurch gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{ \pi (j),j}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist und alle anderen Einträge $0$ sind.
a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation
\wertetabellevierausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundvier {1} {2} {3} {4
} }
{ $\pi (x)$ }
{\mazeileundvier {4} {3} {1} {2
} }
b) Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {} {S_n} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } { \pi} { M_\pi } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist.
c) Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_\pi
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Nach Konstruktion ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_\pi (e_j)
}
{ =} { e_{\pi(j)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da dies die $j$-te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M_{\pi \rho}
}
{ =} { M_\pi \circ M_\rho
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( M_\pi \circ M_\rho \right) } (e_i)
}
{ =} { M_\pi ( M_\rho (e_i))
}
{ =} { M_\pi ( e_{\rho(i)})
}
{ =} { e_{ \pi ( \rho (i)) }
}
{ =} { M_{\pi \rho} (e_i)
}
}
{}{}{.}
c) Mit der Leibniz-Formel ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} {\sum_{ \rho \in S_{ n } } \operatorname{sgn}(\rho ) a_{1 \rho (1)} \cdots a_{ n \rho( n)}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Produkt ist nur in dem einen Fall
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\rho
}
{ =} { \pi^{-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht $0$, da sonst immer mindestens ein Faktor gleich $0$ ist. Also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M_\pi
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi^{-1} ) a_{1 \pi^{-1}(1)} \cdots a_{n \pi^{-1}(n) }
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi^{-1} )
}
{ =} { \operatorname{sgn}(\pi )
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Es seien \mathkor {} {P} {und} {Q} {} verschiedene \definitionsverweis {normierte Polynome}{}{} vom Grad $d$ über einem Körper $K$. Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?
}
{
Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(x)
}
{ =} {Q(x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $x$ eine Nullstelle von
\mathl{P-Q}{} ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad $d$ besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal $d-1$. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \neq }{Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach
Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
besitzt somit
\mathl{P-Q}{} maximal
\mathl{d-1}{} Nullstellen, und daher gibt es maximal
\mathl{d-1}{} Schnittpunkte.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.
}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
für $\varphi$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn die lineare Abbildung
\mathdisp {\lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi} { }
nicht
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
\zusatzklammer {und nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{}} {} {}
ist
\zusatzklammer {wegen
Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
und
Lemma 12.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))} {} {.}
Dies ist nach
Lemma 22.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
und
Lemma 11.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} ( \lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was bedeutet, dass der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zu $\lambda$ nicht der Nullraum ist, also $\lambda$ ein Eigenwert zu $\varphi$ ist.
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Zeige, dass das Polynom $X^2+1$ für unendlich viele reelle $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{} das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} und das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} ist.
}
{
Wir betrachten Matrizen vom Typ
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & - { \frac{ 1 }{ r } } \\ r & 0 \end{pmatrix}} { }
für
\mathl{r \neq 0}{.} Das charakteristische Polynom davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^2 + r { \frac{ 1 }{ r } }
}
{ =} { X^2+1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Minimalpolynom muss ein Teiler des charakteristischen Polynoms sein. Da
\mathl{X^2+1}{} keine reelle Nullstellen besitzt, gibt es keine Linearfaktoren und das Minimalpolynom ist ebenfalls
\mathl{X^2+1}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{10}
{
Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.
}
{
Wir fassen die Matrix
\mathl{X E_{ n } - M}{} als eine Matrix auf, deren Einträge im
\definitionsverweis {Körper}{}{}
\mathl{K(X)}{} liegen. Die
\definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{}
\mathdisp {(X E_{ n } - M)^{ \operatorname{adj} }} { }
liegt ebenfalls in
\mathl{\operatorname{Mat}_{ n } (K(X))}{.} Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
von
\mathl{(n-1) \times (n-1)}{-}Untermatrizen von
\mathl{X E_{ n } - M}{.} In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable $X$ maximal in der ersten Potenz vor, so dass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der
\mathl{(n-1)}{-}ten Potenz vorkommt. Wir schreiben
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ (X E_{ n } - M) ^{ \operatorname{adj} }
}
{ =} { X^{n-1} A_{n-1} + X^{n-2} A_{n-2} + \cdots + XA_1 + A_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit Matrizen
\mathdisp {A_i \in \operatorname{Mat}_{ n } (K)} { , }
d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu
\mathl{X^{i}}{} die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von
Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))
gilt
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \chi_{ M } E_{ n }
}
{ =} { (X E_{ n } -M) \circ (X E_{ n } -M)^{ \operatorname{adj} }
}
{ =} { (X E_{ n } -M) \circ ( X^{n-1} A_{n-1} + X^{n-2} A_{n-2} \bruchhilfealign + \cdots + XA_1 + A_0 )
}
{ =} { X^n A_{n-1} + X^{n-1} ( A_{n-2} - M \circ A_{n-1} ) \bruchhilfealign + X^{n-2} ( A_{n-3} - M \circ A_{n-2} ) \bruchhilfealign + \cdots + X^{1} ( A_{0} - M \circ A_{1} ) - M \circ A_0
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von $X$ aufteilen, dann ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \chi_{ M } E_{ n }
}
{ =} {X^n E_{ n } + X^{n-1} c_{n-1} E_{ n }
+ X^{n-2} c_{n-2} E_{ n } + \cdots + X^{1} c_{1} E_{ n } + c_0 E_{ n }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen
\mathdisp {\begin{matrix} E_{ n } & = & A_{n-1} \\ c_{n-1} E_{ n } & = & A_{n-2} - M \circ A_{n-1} \\ c_{n-2} E_{ n } & = & A_{n-3} - M \circ A_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} E_{ n } & = & A_{0} - M \circ A_{1} \\ c_{0} E_{ n } & = & - M \circ A_0 \, . \end{matrix}} { }
Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit
\mathl{M^n, M^{n-1}, M^{n-2} , \ldots , M^1 , E_{ n }}{} und erhalten das Gleichungssystem
\mathdisp {\begin{matrix} M^n & = & M^n \circ A_{n-1} \\ c_{n-1} M^{n-1} & = & M^{n-1} \circ A_{n-2} - M^n \circ A_{n-1} \\ c_{n-2} M^{n-2} & = & M^{n-2} \circ A_{n-3} - M^{n-1} \circ A_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ c_{1} M^1 & = & M A_{0} - M^2 \circ A_{1} \\ c_{0} E_{ n } & = & - M \circ A_0 \, . \end{matrix}} { }
Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade
\mathl{\chi_{ M }\, (M)}{.} Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir $0$, da jeder Teilsummand
\mathl{M^{i+1} \circ A_{i}}{} einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (M)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.
\aufzaehlungvier{Die Achsenspiegelung durch die durch
\mathl{4x-7y=5}{} gegebene Achse.
}{Die Scherung, die durch die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} gegeben ist.
}{Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
}{Die Streckung mit dem Faktor ${ \frac{ 1 }{ 2 } }$.
}
}
{
\aufzaehlungvier{Da die Gerade nicht durch den Nullpunkt geht, wird dieser bei dieser Achsenspiegelung bewegt, daher ist die Abbildung nicht linear.
}{Eine solche Scherung ist linear und trigonalisierbar, da sie bereits in oberer Dreiecksform vorliegt. Sie ist nicht diagonalisierbar, da der einzige Eigenwert $1$ die geometrische Vielfachheit $1$ besitzt.
}{Die Punktspiegelung am Ursprung ist die Abbildung
\mathl{v \mapsto -v}{,} sie ist also linear und diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
}{Jede Streckung ist linear und diagonalisierbar.
}
}
\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {affine Gerade}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} -4 \\12\\ 5 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 5 \\-10\\ 2 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
über $(-1,3)$ einer
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
\maabb {\psi} {\R^3} {\R^2
} {.}
}
{
Der Richtungsvektor $\begin{pmatrix} 5 \\-10\\ 2 \end{pmatrix}$ gehört jeweils zum
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der beiden
\definitionsverweis {linear unabhängigen}{}{} \definitionsverweis {Linearformen}{}{}
\mathkor {} {\left( 2 , \, 1 , \, 0 \right)} {und} {\left( 0 , \, 1 , \, 5 \right)} {.}
Daher machen wir den Ansatz
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2x+y+a \\y+5z+b \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für den Aufpunkt
\mathl{\begin{pmatrix} -4 \\12\\ 5 \end{pmatrix}}{} ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi \begin{pmatrix} -4 \\12\\ 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 4+a \\37+b \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} -1 \\3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{-5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b
}
{ = }{-34
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2x+y-5 \\y+5z-34 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die gesuchte affine Abbildung.
}