Kurs:Lineare Algebra/Teil I/30/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 5 6 2 4 3 2 7 3 4 3 10 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Abbildung von einer Menge in eine Menge .
  2. Die Summe von Untervektorräumen in einem Vektorraum .
  3. Die Spur zu einer quadratischen Matrix über einem Körper .
  4. Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung

    zwischen -Vektorräumen und .

  5. Ein Zykel der Ordnung auf .
  6. Eine nilpotente -Matrix über .


Lösung

  1. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird.
  2. Die Summe dieser Untervektorräume ist durch

    gegeben.

  3. Sei

    Dann heißt

    die Spur von .

  4. Die Abbildung

    heißt die duale Abbildung zu .

  5. Eine Permutation auf heißt Zykel der Ordnung , wenn es eine -elementige Teilmenge derart gibt, dass auf die Identität ist und die Elemente aus zyklisch vertauscht
  6. Eine quadratische Matrix heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl gibt derart, dass das -te Matrixprodukt
    ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Basiswechsel.
  2. Der Satz über die Anzahl der Permutationen.
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit zu einer linearen Abbildung
    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und zwei Basen von . Es sei

    mit den Koeffizienten , die wir zur -Matrix

    zusammenfassen. Dann hat ein Vektor , der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt, bezüglich der Basis die Koordinaten

  2. Sei eine endliche Menge mit Elementen. Dann besitzt die Permutationsgruppe genau Elemente.
  3. Es sei . Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung


Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere die Aussage, dass man in der Mathematik auch „Extremfälle“ berücksichtigen muss, an typischen Beispielen.


Lösung Mathematik/Extremfälle/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 (1+1+1+2) Punkte)

Ein Zug ist Meter lang (ohne Lokomotive) und bewegt sich mit Stundenkilometer. Lucy Sonnenschein hat ihr Fahrrad mit in den Zug genommen und fährt mit einer Geschwindigkeit von Metern pro Sekunde von ganz vorne nach ganz hinten.

  1. Wie viele Sekunden benötigt Lucy für die gesamte Zuglänge?
  2. Welche Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) hat Lucy bezogen auf die Umgebung?
  3. Welche Entfernung (in Meter) legt der Zug während der Fahrradfahrt zurück?
  4. Berechne auf zwei verschiedene Arten, welche Entfernung Lucy während ihrer Fahrradfahrt bezogen auf die Umgebung zurücklegt.


Lösung

  1. Lucy benötigt Sekunden für den Meter langen Zug.
  2. In Meter pro Sekunde hat der Zug eine Geschwindigkeit von

    Da die beiden Bewegungen sich überlagern, aber in umgekehrter Richtung ausgerichtet sind, ist die Gesamtgeschwindigkeit von Lucy gleich Meter pro Sekunde.

  3. In den Sekunden legt der Zug

    Meter zurück.

  4. Man kann von der vom Zug zurückgelegten Strecke die von Lucy im Zug zurückgelegte Strecke subtrahieren, dies ergibt

    Meter. Ebenso kann man mit ihrer Geschwindigkeit bezogen auf die Umgebung rechnen, und erhält ebenfalls

    Meter.


Aufgabe (6 (1+1+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten Matrizen der Form

  1. Berechne
  2. Ist die Matrizenmultiplikation für solche Matrizen kommutativ?
  3. Bestimme die Determinante von .
  4. Man gebe eine Matrix der Form

    an, die nicht invertierbar ist.

  5. Sei

    invertierbar. Ist die inverse der Matrix ebenfalls von diesem Typ?


Lösung

  1. Es ist
  2. Die Multiplikation ist nicht kommutativ. Wenn man oben die Reihenfolge vertauscht, ergibt sich als Eintrag links oben und nicht .
  3. Die Determinante von ist gleich .
  4. Die Matrix

    ist nicht invertierbar, da die erste und die dritte Zeile übereinstimmen.

  5. Sei invertierbar. Dann ist zunächst . Ferner ist , da die Determinante gleich ist. Es ist

    Somit ist

    die inverse Matrix und diese ist wieder von diesem Typ.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Basisergänzungssatz.


Lösung

Es sei eine Basis von . Aufgrund des Austauschsatzes findet man Vektoren aus der Basis , die zusammen mit den vorgegebenen eine Basis von bilden.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Quadratabbildung

für verschiedene Körper .

  1. Ist linear für
  2. Ist linear für

    dem Körper mit zwei Elementen.

  3. Es sei nun ein Körper, in dem gelte, der mehr als zwei Elemente enthalte. Ist linear? Ist verträglich mit der Addition?


Lösung

  1. Es ist

    somit ist auf nicht linear.

  2. Für den Körper mit zwei Elementen ist und . Also ist die Identität und somit linear.
  3. Es ist

    daher erfüllt die Additivität. Sie ist aber nicht mit der Skalierung verträglich und somit nicht linear. Nehmen wir an, dass mit der Skalierung verträglich wäre. Dann ist für jedes

    In einem Körper gibt es aber nur zwei Elemente, die die Gleichung

    erfüllen.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei

eine multilineare Abbildung. Es seien . Ziehe in

Summen und Skalare nach außen.


Lösung

Nach dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen muss man sämtliche Kombinationen der Vektoren durchgehen und die Koeffizienten miteinander multiplizieren. Dies ergibt Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

mit Hilfe der Cramerschen Regel.


Lösung

Es ist

und


Aufgabe (7 (1+3+3) Punkte)

Sei und sei eine Permutation auf . Die zugehörige Permutationsmatrix ist dadurch gegeben, dass

ist und alle anderen Einträge sind.

a) Bestimme die Permutationsmatrix zur Permutation

b) Zeige, dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist.

c) Zeige, dass

ist.


Lösung

a) Es ist

b) Nach Konstruktion ist

da dies die -te Spalte der Matrix ist. Die Gleichheit

lässt sich auf einer Basis überprüfen. Dies stimmt wegen

c) Mit der Leibniz-Formel ist

Das Produkt ist nur in dem einen Fall

nicht , da sonst immer mindestens ein Faktor gleich ist. Also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und verschiedene normierte Polynome vom Grad über einem Körper . Wie viele Schnittpunkte besitzen die beiden Graphen maximal?


Lösung

Ein Schnittpunkt liegt vor, wenn

ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn eine Nullstelle von ist. Da beide Polynome normiert sind und den gleichen Grad besitzen, hebt sich bei der Subtraktion der Leitterm weg und es ergibt sich ein Polynom vom Grad maximal . Da ist, ist die Differenz nicht das Nullpolynom. Nach Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) besitzt somit maximal Nullstellen, und daher gibt es maximal Schnittpunkte.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.


Lösung

Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist

genau dann, wenn die lineare Abbildung

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) und Lemma 12.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))). Dies ist nach Fakt ***** und Lemma 11.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) äquivalent zu

was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das Polynom für unendlich viele reelle -Matrizen das charakteristische Polynom und das Minimalpolynom ist.


Lösung

Wir betrachten Matrizen vom Typ

für . Das charakteristische Polynom davon ist

Das Minimalpolynom muss ein Teiler des charakteristischen Polynoms sein. Da keine reelle Nullstellen besitzt, gibt es keine Linearfaktoren und das Minimalpolynom ist ebenfalls .


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Satz von Cayley-Hamilton.


Lösung

Wir fassen die Matrix als eine Matrix auf, deren Einträge im Körper liegen. Die adjungierte Matrix

liegt ebenfalls in . Die einzelnen Einträge der adjungierten Matrix sind nach Definition Determinanten von -Untermatrizen von . In den Einträgen dieser Matrix kommt die Variable maximal in der ersten Potenz vor, so dass in den Einträgen der adjungierten Matrix die Variable maximal in der -ten Potenz vorkommt. Wir schreiben

mit Matrizen

d.h. man schreibt die einzelnen Einträge als Polynom und fasst dann zu die Koeffizienten zu einer Matrix zusammen. Aufgrund von Satz 17.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) gilt

Wir können auch die Matrix links nach den Potenzen von aufteilen, dann ist

Da diese zwei Polynome übereinstimmen, müssen jeweils ihre Koeffizienten übereinstimmen. D.h. wir haben ein System von Gleichungen

Wir multiplizieren diese Gleichungen von links von oben nach unten mit und erhalten das Gleichungssystem

Wenn wir die linke Spalte dieses Gleichungssystem aufsummieren, so erhalten wir gerade . Wenn wir die rechte Seite aufsummieren, so erhalten wir , da jeder Teilsummand einmal positiv und einmal negativ vorkommt. Also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden elementargeormetrischen Abbildungen linear, welche trigonalisierbar und welche diagonalisierbar sind.

  1. Die Achsenspiegelung durch die durch gegebene Achse.
  2. Die Scherung, die durch die Matrix gegeben ist.
  3. Die Punktspiegelung mit dem Ursprung als Zentrum.
  4. Die Streckung mit dem Faktor .


Lösung

  1. Da die Gerade nicht durch den Nullpunkt geht, wird dieser bei dieser Achsenspiegelung bewegt, daher ist die Abbildung nicht linear.
  2. Eine solche Scherung ist linear und trigonalisierbar, da sie bereits in oberer Dreiecksform vorliegt. Sie ist nicht diagonalisierbar, da der einzige Eigenwert die geometrische Vielfachheit besitzt.
  3. Die Punktspiegelung am Ursprung ist die Abbildung , sie ist also linear und diagonalisierbar und insbesondere trigonalisierbar.
  4. Jede Streckung ist linear und diagonalisierbar.


Aufgabe (3 Punkte)

Beschreibe die affine Gerade

als Urbild über einer affinen Abbildung .


Lösung

Der Richtungsvektor gehört jeweils zum Kern der beiden linear unabhängigen Linearformen und . Daher machen wir den Ansatz

Für den Aufpunkt ergibt sich die Bedingung

also ist und . Somit ist

die gesuchte affine Abbildung.