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Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur mit Lösungen/latex

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%Daten zur Institution

%\input{Dozentdaten}

%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}

%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }

%Klausurdaten

\renewcommand{\klausurgebiet}{ }

\renewcommand{\klausurtyp}{ }

\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}

\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}

%Daten für folgende Punktetabelle


\renewcommand{\aeins}{ 3 }

\renewcommand{\azwei}{ 3 }

\renewcommand{\adrei}{ 3 }

\renewcommand{\avier}{ 2 }

\renewcommand{\afuenf}{ 12 }

\renewcommand{\asechs}{ 3 }

\renewcommand{\asieben}{ 3 }

\renewcommand{\aacht}{ 5 }

\renewcommand{\aneun}{ 5 }

\renewcommand{\azehn}{ 6 }

\renewcommand{\aelf}{ 5 }

\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }

\renewcommand{\adreizehn}{ 6 }

\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }

\renewcommand{\afuenfzehn}{ 1 }

\renewcommand{\asechzehn}{ 64 }

\renewcommand{\asiebzehn}{ }

\renewcommand{\aachtzehn}{ }

\renewcommand{\aneunzehn}{ }

\renewcommand{\azwanzig}{ }

\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }

\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }

\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }

\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }

\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }

\punktetabellefuenfzehn

\klausurnote

\newpage


\setcounter{section}{0}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {Matrizenmultiplikation} {.}

}{Der von einer Familie von Vektoren
\mathl{v_i,\, i \in I}{,} aus einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ \stichwort {aufgespannte Untervektorraum} {.}

}{Die \stichwort {Elementarmatrizen} {.}

}{Eine \stichwort {Determinantenfunktion} {} \maabbdisp {\triangle} {V^n} {K } {,} wobei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ ist.

}{Ein \stichwort {Gruppenhomomorphismus} {} zwischen \definitionsverweis {Gruppen}{}{} \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {.}

}{Ein \stichwort {affiner Raum} {} über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }

}
{

\aufzaehlungsechs{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt
\mathdisp {AB} { }
diejenige
\mathl{m\times p}{-}Matrix, deren Einträge durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ c_{ik} }
{ =} {\sum_{j = 1}^n a_{ij} b_{jk} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben sind. }{Man nennt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i \in I \rangle }
{ =} { { \left\{ \sum_{i \in J} s_i v_i \mid s_i \in K , \, J \subseteq I \text{ endliche Teilmenge} \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} den von der Familie aufgespannten Untervektorraum. }{Mit
\mathl{B_{ij}}{} bezeichnen wir diejenige $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die an der Stelle
\mathl{(i,j)}{} den Wert $1$ und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen. \aufzaehlungdrei{$V_{ij} \defeq E_{ n } - B_{ii} -B_{jj} + B_{ij} +B_{ji}$. }{$S_k (s) \defeq E_{ n } + (s-1) B_{kk} \text{ für } s \neq 0$. }{$A_{ij}(a) \defeq E_{ n } + a B_{ij} \text{ für } i \neq j \text{ und } a \in K$. } }{Die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\triangle} {V^n} {K } {} heißt \stichwort {Determinantenfunktion} {,} wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind. \aufzaehlungzwei {$\triangle$ ist multilinear. } {$\triangle$ ist alternierend. } }{Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {G} {H } {} heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g') }
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g') }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{g,g' \in G}{} gilt. }{Ein affiner Raum über einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ ist \zusatzklammer {die leere Menge oder} {} {} eine nichtleere Menge $E$ zusammen mit einer Abbildung \maabbeledisp {} {V \times E} {E } {(v,P)} { P+v } {,} die den drei Bedingungen \aufzaehlungdrei{
\mathl{P+0= P}{} für alle
\mathl{P \in E}{,} }{
\mathl{(P+v)+w=P+(v+w)}{} für alle
\mathl{v,w \in V}{} und
\mathl{P \in E}{,} }{ Zu je zwei Punkten
\mathl{P,Q \in E}{} gibt es genau einen Vektor
\mathl{v \in V}{} mit
\mathl{Q=P+v}{,} } genügt. }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Charakterisierungssatz} {} für eine \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.}{Der Satz über Ideale in einem Polynomring
\mathl{K[X]}{} in einer Variablen über einem Körper $K$.}{Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.}

}
{

\aufzaehlungdrei{Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$-Vektorraum. Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{} eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent. \aufzaehlungvier{Die Familie ist eine Basis von $V$. }{Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor $v_i$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor. }{Für jeden Vektor
\mathl{u \in V}{} gibt es genau eine Darstellung
\mathdisp {u= s_1 v_1 + \cdots + s_n v_n} { . }
}{Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig. }}{In einem \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} ist jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}}{Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein $n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann ist
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des \definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.}

}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit $V$ \zusatzklammer {vordere Tafel} {} {,} $M$ \zusatzklammer {mittlere Tafel} {} {} und $H$ \zusatzklammer {hintere Tafel} {} {} bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur \zusatzklammer {maximal} {} {} zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge \zusatzklammer {alle Möglichkeiten} {!} {} muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.

}
{

Die Tafeln \mathkor {} {M} {und} {H} {} sind nicht gleichzeitig sichtbar, da \zusatzklammer {mindestens} {} {} eine davon durch $V$ verdeckt wird. Dagegen sind sowohl \mathkor {} {V} {und} {H} {} \zusatzklammer {$M$ wird hinter $V$ geschoben} {} {} als auch \mathkor {} {V} {und} {M} {} gleichzeitig einsehbar. Eine Beschreibungsreihenfolge erfüllt also genau dann die angegebene Bedingung, wenn \mathkor {} {M} {und} {H} {} nicht direkt hintereinander beschrieben werden. Dies wird genau dann erreicht, wenn $V$ als zweite Tafel beschrieben wird. Erlaubt sind also die beiden Reihenfolgen \mathkor {} {M-V-H} {und} {H-V-M} {.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{2}
{

Es seien $L,M,N$ Mengen und
\mathdisp {f:L \longrightarrow M \text{ und } g:M \longrightarrow N} { }
\definitionsverweis {Abbildungen}{}{} mit der \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} \maabbeledisp {g \circ f} {L} {N } {x} {g(f(x)) } {.} Zeige: Wenn $g \circ f$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist auch $f$ injektiv.

}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1,x_2 }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x_1) }
{ = }{ f(x_2) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir müssen zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 }
{ = }{ x_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g \circ f) (x_1) }
{ =} {g( f(x_1)) }
{ =} {g( f(x_2)) }
{ =} {(g \circ f) (x_2) }
{ } { }
} {}{}{.} Da nach Voraussetzung
\mathl{g \circ f}{} injektiv ist, folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1 }
{ = }{ x_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wie gewünscht.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{12}
{

Beweise den \stichwort {Charakterisierungssatz} {} für eine \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$.

}
{

Wir führen einen Ringschluss durch. $(1) \Rightarrow (2)$. Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir $v_1$, aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also
\mathl{v_2 , \ldots , v_n}{} kein Erzeugendensystem mehr ist.  Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere $v_1$ als \definitionsverweis {Linearkombination}{}{} der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1 }
{ =} { \sum_{i = 2}^n s_i v_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dann ist aber
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_1- \sum_{i = 2}^n s_i v_i }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine nichttriviale Darstellung der $0$, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. $(2) \Rightarrow (3)$. Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, sodass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt.  Angenommen, es gibt für ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine mehrfache Darstellung, d.h.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u }
{ =} {\sum_{i = 1}^n s_i v_i }
{ =} {\sum_{i = 1}^n t_i v_i }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 }
{ \neq }{ t_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann erhält man die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (s_1 - t_1)v_1 }
{ =} { \sum_{i = 2}^n (t_i- s_i) v_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 - t_1 }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von $v_1$ durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe 6.25 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist auch die Familie ohne $v_1$ ein Erzeugendensystem von $V$, im Widerspruch zur Minimalität. $(3) \Rightarrow (4)$. Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.} Nimmt man einen Vektor $u$ hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u }
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i v_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 }
{ =} { u- \sum_{i = 1}^n s_i v_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine nichttriviale Darstellung der $0$, sodass die verlängerte Familie
\mathl{u,v_1 , \ldots , v_n}{} nicht linear unabhängig ist. $(4) \Rightarrow (1)$. Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Voraussetzung ist die Familie
\mathl{u,v_1 , \ldots , v_n}{} nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0 }
{ =} { s u + \sum_{i = 1}^n s_iv_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der $0$ allein mit den linear unabhängigen Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} wäre. Daher können wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u }
{ =} { - \sum _{i = 1}^n \frac{ s_i}{ s } v_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} schreiben, sodass eine Darstellung von $u$ möglich ist.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Bestimme die \definitionsverweis {inverse Matrix}{}{} zu
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix}} { . }

}
{

\matabellezweifuenf {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 5 & 2 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & -13 & 1 \\0 & 0 & 2 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - { \frac{ 1 }{ 13 } } \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & 0 \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} -{ \frac{ 2 }{ 13 } } & { \frac{ 3 }{ 13 } } & - { \frac{ 3 }{ 26 } } \\ { \frac{ 5 }{ 13 } } & - { \frac{ 1 }{ 13 } } & { \frac{ 1 }{ 26 } } \\0 & 0 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \end{pmatrix} } }


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Drücke die Vektoren
\mathl{u_1^*,u_2^*}{} der \definitionsverweis {Dualbasis}{}{} zur Basis
\mathl{u_1 = \begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix},\, u_2 = \begin{pmatrix} 2 \\-5 \end{pmatrix}}{} im $\R^2$ als \definitionsverweis {Linearkombinationen}{}{} bezüglich der Standarddualbasis
\mathl{e_1^*,e_2^*}{} aus.

}
{

Wir invertieren die Matrix
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix}}{.} \matabellezweivier {\leitzeilezwei {} {} } {\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -5 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -11 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ - 3 & 1 \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ { \frac{ 3 }{ 11 } } & - { \frac{ 1 }{ 11 } } \end{pmatrix} } }
{\mazeileundzwei { \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} { \frac{ 5 }{ 11 } } & { \frac{ 2 }{ 11 } } \\ { \frac{ 3 }{ 11 } } & - { \frac{ 1 }{ 11 } } \end{pmatrix} } } Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_1^* }
{ =} { { \frac{ 5 }{ 11 } } e_1^* + { \frac{ 2 }{ 11 } } e_2^* }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u_2^* }
{ =} { { \frac{ 3 }{ 11 } } e_1^* - { \frac{ 1 }{ 11 } } e_2^* }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Zeige, dass im Polynomring
\mathl{K[X]}{} über einem Körper $K$ jedes \definitionsverweis {Ideal}{}{} ein \definitionsverweis {Hauptideal}{}{} ist.

}
{

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes \definitionsverweis {Ideal}{}{} in
\mathl{K[X]}{.} Betrachte die nichtleere Menge
\mathdisp {{ \left\{ \operatorname{grad} \, (P) \mid P \in I, \, P \neq 0 \right\} }} { . }
Diese Menge hat ein Minimum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} das von einem Element
\mathbed {F \in I} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,} herrührt, sagen wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ = }{ \operatorname{grad} \, (F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir behaupten, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ = }{(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Aufgrund von Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gilt
\mathdisp {P = F Q + R \text{ mit } \operatorname{grad} \, (R) < \operatorname{grad} \, (F) \text{ oder } R = 0} { . }
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und der Minimalität von
\mathl{\operatorname{grad} \, (F)}{} kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Es sei eine $n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$ über $K$ gegeben. Zeige, dass das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem Minimalpolynom zu $M$ übereinstimmt, wenn man die Matrix über $L$ auffasst.

}
{

Das Polynom $P$ kann man direkt als
\mathl{P \in K[X] \subseteq L[X]}{} auffassen. Es sei $d$ der \definitionsverweis {Grad}{}{} von $P$. Es sei $P' \in L[X]$ das Minimalpolynom zu $M$, wenn man die Matrix über $L$ betrachtet. Die Eigenschaft
\mathl{P(M)=0}{} gilt über $K$ und auch über $L$, da die Matrizenoperationen unabhängig vom Körper sind. Daher ist $P$ ein Vielfaches $P'$ in
\mathl{L[X]}{} und der Grad von $P'$ kann allenfalls runtergehen. Da das Minimalpolynom über $K$ den Grad $d$ besitzt, sind die Potenzen
\mathdisp {M^0=E_n,\, M^1,\, M^2 , \ldots , M^{d-1}} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} als Elemente in
\mathl{\operatorname{Mat}_{ n } (K) \cong K^{n^2}}{.} Diese lineare Unabhängigkeit bleibt beim Übergang von $K$ nach $L$ erhalten, da man dies durch das Eliminationsverfahren überprüfen kann. Daher kann es auch über $L$ kein annullierendes Polynom kleineren Grades geben.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (3+3)}
{


a) Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,} aber weder \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} noch \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist. Zeige, dass $M$ \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist.


b) Man gebe ein Beispiel einer $3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} $M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.

}
{

a) Da die Abbildung trigonalisierbar ist, können wir direkt von einer oberen Dreiecksmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}} { }
ausgehen. Das charakteristische Polynom ist
\mathl{(X-a)(X-d)}{.} Bei verschiedenen Eigenwerten wäre die Abbildung nach Korollar 22.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) diagonalisierbar, also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{d }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} wäre die Determinante nicht $0$ und die Matrix wäre invertierbar. Also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{d }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}^2 }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die Matrix ist nilpotent.

b) Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese Matrix liegt in oberer Dreiecksform vor, ist also trigonalisierbar. Wegen der letzten Spalte wird $e_3$ auf $0$ abgebildet, die Abbildung ist also nicht invertierbar. Nach Beispiel 22.12 ist
\mathl{N= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}{} nicht diagonalisierbar, also ist auch $M$ nicht diagonalisierbar, da sie die direkte Summe von $N$ und der eindimensionalen Nullabbildung beschreibt. Ferner ist $e_1$ ein Eigenvektor von $M$ zum Eigenwert $1$, sodass $M$ nicht nilpotent sein kann.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{5 (3+2)}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{.}

a) Charakterisiere die \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} $2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}} { }
über $K$ mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen
\mathl{x,y,z,w}{.}


b) Sind die Gleichungen linear?

}
{

a) Nach Lemma 27.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist eine
\mathl{2 \times 2}{-}Matrix genau dann nilpotent, wenn ihr \definitionsverweis {charakteristisches Polynom}{}{} gleich $T^2$ ist. Für die gegebene Matrix ist das charakteristische Polynom gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det TE_2 - \begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix} }
{ =} { \det \begin{pmatrix} T-x & -y \\ -z & T-w \end{pmatrix} }
{ =} {T^2 - (x+w) T +xw-zy }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Matrix ist also genau dann nilpotent, wenn die beiden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xw }
{ =} {zy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erfüllt sind.

b) Die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+w }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist offenbar linear \zusatzklammer {die Koeffizienten bezüglich
\mathl{x,y,z,w}{} sind
\mathl{1,0,0,1}{}} {} {,} die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{xw }
{ =} {zy }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist nicht linear, da die Variablen nicht mit einem festen Element aus $K$ als Koeffizient in die Gleichung eingehen.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{4}
{

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebra\-ischer Vielfachheit.

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m }
{ = }{ \dim_{ K } { \left( \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) } \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_m}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von diesem \definitionsverweis {Eigenraum}{}{,} die wir durch
\mathl{w_1 , \ldots , w_{n-m}}{} zu einer Basis von $V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die \definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{} die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda E_m & B \\ 0 & C \end{pmatrix}} { . }
Das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} ist daher nach Aufgabe . gleich
\mathl{(X- \lambda)^m \cdot \chi_{ C }}{,} sodass die \definitionsverweis {algebraische Vielfachheit}{}{} mindestens $m$ ist.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{6 (2+2+2)}
{

Wir betrachten die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} über $\Q$.

a) Bestimme die \definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{} von $M$.

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von $M$ in einen \definitionsverweis {diagonalisierbaren}{}{} Anteil und einen \definitionsverweis {nilpotenten}{}{} Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1 \\ 0 & 4 & -1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} welche nicht?

}
{

a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M -4 E_3 }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine Matrix mit Rang $1$, daher ist der \definitionsverweis {Eigenraum}{}{} zum \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} $4$ zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix}} { . }

b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere dia\-gonal\-isierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -4 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung \zusatzklammer {allerdings bezüglich einer anderen Basis} {} {.}


}





\inputaufgabeklausurloesung
{3}
{

Eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\Q^3} {\Q^3 } {} werde bezüglich der Standardbasis durch die \definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & -6 & -1 \\ 0 & -3 & -2 \\0 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Finde eine \definitionsverweis {Basis}{}{,} bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\0 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} {\begin{pmatrix} -3 & -6 & -1 \\ 0 & -3 & -2 \\0 & 0 & -3 \end{pmatrix} + 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & -6 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 0 & -6 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 & -6 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Der Vektor
\mathl{\begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}}{} gehört nicht zum Kern von $M^2$, daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & -6 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} -1 \\-2\\ 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2 \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} 12 \\0\\ 0 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Daher ist
\mathdisp {\begin{pmatrix} 12 \\0\\ 0 \end{pmatrix}\, , \begin{pmatrix} -1 \\-2\\ 0 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1 \end{pmatrix}} { }
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
\mathdisp {\begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\0 & 0 & -3 \end{pmatrix}} { }
vorliegt.


}





\inputaufgabeklausurloesung
{1}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{,} den wir auch als \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} über sich selbst auffassen. Es seien
\mathl{v_1 , \ldots , v_n \in V}{.} Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$ bildet, wenn die Familie
\mathl{0, v_1 , \ldots , v_n \in V}{} eine \definitionsverweis {affine Basis}{}{} bildet.

}
{

Nach der Definition 29.6 ist eine Familie von Punkten
\mathl{P_0, P_1 , \ldots , P_n}{} eines affinen Raumes genau dann eine affine Basis, wenn die Vektorfamilie
\mathl{\overrightarrow{ P_0 P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_0 P_n }}{} eine Basis ist. Die Aussage der Aufgabe ist mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0 }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Spezialfall davon.


}