Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 3 2 12 3 3 5 5 6 5 4 6 3 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Matrizenmultiplikation.
  2. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
  3. Die Elementarmatrizen.
  4. Eine Determinantenfunktion

    wobei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper ist.

  5. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  6. Ein affiner Raum über einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es sei eine -Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

    diejenige -Matrix, deren Einträge durch

    gegeben sind.

  2. Man nennt

    den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.

  3. Mit bezeichnen wir diejenige -Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
    1. .
    2. .
    3. .
  4. Die Abbildung

    heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

    1. ist multilinear.
    2. ist alternierend.
  5. Eine Abbildung

    heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

    für alle gilt.

  6. Ein affiner Raum über einem -Vektorraum ist (die leere Menge oder) eine nichtleere Menge zusammen mit einer Abbildung

    die den drei Bedingungen

    1. für alle ,
    2. für alle und ,
    3. Zu je zwei Punkten gibt es genau einen Vektor mit ,

    genügt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Charakterisierungssatz für eine Basis in einem -Vektorraum .
  2. Der Satz über Ideale in einem Polynomring in einer Variablen über einem Körper .
  3. Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. Die Familie ist eine Basis von .
    2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
    3. Für jeden Vektor gibt es genau eine Darstellung
    4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
  2. In einem Polynomring über einem Körper ist jedes Ideal ein Hauptideal.
  3. Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

    eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms

    ist.


Aufgabe (3 Punkte)

In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit (vordere Tafel), (mittlere Tafel) und (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.


Lösung

Die Tafeln und sind nicht gleichzeitig sichtbar, da (mindestens) eine davon durch verdeckt wird. Dagegen sind sowohl und ( wird hinter geschoben) als auch und gleichzeitig einsehbar. Eine Beschreibungsreihenfolge erfüllt also genau dann die angegebene Bedingung, wenn und nicht direkt hintereinander beschrieben werden. Dies wird genau dann erreicht, wenn als zweite Tafel beschrieben wird. Erlaubt sind also die beiden Reihenfolgen und .


Aufgabe (2 Punkte)

Seien Mengen und

Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung

Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.


Lösung

Seien gegeben mit . Wir müssen zeigen, dass ist. Es ist

Da nach Voraussetzung injektiv ist, folgt , wie gewünscht.


Aufgabe (12 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für eine Basis in einem -Vektorraum .


Lösung

Wir führen einen Ringschluss durch. . Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist.  Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

Dann ist aber

eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. . Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, so dass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt.  Angenommen, es gibt für ein eine mehrfache Darstellung, d.h.

wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei . Dann erhält man die Beziehung

Wegen kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe 6.25 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist auch die Familie ohne ein Erzeugendensystem von , im Widerspruch zur Minimalität. . Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig. Nimmt man einen Vektor hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung

und daher ist

eine nichttriviale Darstellung der , so dass die verlängerte Familie nicht linear unabhängig ist. . Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Sei dazu . Nach Voraussetzung ist die Familie nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung

Dabei ist , da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der allein mit den linear unabhängigen Vektoren wäre. Daher können wir

schreiben, so dass eine Darstellung von möglich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.


Lösung

Wir invertieren die Matrix .

Daher ist

und


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass im Polynomring über einem Körper jedes Ideal ein Hauptideal ist.


Lösung

Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Betrachte die nichtleere Menge

Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Die Inklusion ist klar. Zum Beweis von sei gegeben. Aufgrund von Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) gilt

Wegen und der Minimalität von kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine -Matrix über gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom mit dem Minimalpolynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.


Lösung

Das Polynom kann man direkt als auffassen. Es sei der Grad von . Es sei das Minimalpolynom zu , wenn man die Matrix über betrachtet. Die Eigenschaft gilt über und auch über , da die Matrizenoperationen unabhängig vom Körper sind. Daher ist ein Vielfaches in und der Grad von kann allenfalls runtergehen. Da das Minimalpolynom über den Grad besitzt, sind die Potenzen

linear unabhängig als Elemente in . Diese lineare Unabhängigkeit bleibt beim Übergang von nach erhalten, da man dies durch das Eliminationsverfahren überprüfen kann. Daher kann es auch über kein annullierendes Polynom kleineren Grades geben.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

a) Es sei eine -Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass nilpotent ist.

b) Man gebe ein Beispiel einer -Matrix , die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.


Lösung

a) Da die Abbildung trigonalisierbar ist, können wir direkt von einer oberen Dreiecksmatrix

ausgehen. Das charakteristische Polynom ist . Bei verschiedenen Eigenwerten wäre die Abbildung nach Korollar 22.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) diagonalisierbar, also ist . Bei wäre die Determinante nicht und die Matrix wäre invertierbar. Also ist . Daher ist

und die Matrix ist nilpotent.

b) Wir betrachten

Diese Matrix liegt in oberer Dreiecksform vor, ist also trigonalisierbar. Wegen der letzten Spalte wird auf abgebildet, die Abbildung ist also nicht invertierbar. Nach Beispiel 22.12 ist nicht diagonalisierbar, also ist auch nicht diagonalisierbar, da sie die direkte Summe von und der eindimensionalen Nullabbildung beschreibt. Ferner ist ein Eigenvektor von zum Eigenwert , so dass nicht nilpotent sein kann.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Sei ein Körper.

a) Charakterisiere die nilpotenten -Matrizen

über mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen .

b) Sind die Gleichungen linear?


Lösung

a) Nach Lemma 27.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist eine -Matrix genau dann nilpotent, wenn ihr charakteristisches Polynom gleich ist. Für die gegebene Matrix ist das charakteristische Polynom gleich

Die Matrix ist also genau dann nilpotent, wenn die beiden Gleichungen

und

erfüllt sind.

b) Die Gleichung

ist offenbar linear (die Koeffizienten bezüglich sind ), die Gleichung

ist nicht linear, da die Variablen nicht mit einem festen Element aus als Koeffizient in die Gleichung eingehen.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.


Lösung

Sei und sei eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch zu einer Basis von ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt

Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe ***** gleich , so dass die algebraische Vielfachheit mindestens ist.


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Wir betrachten die Matrix

über .

a) Bestimme die jordansche Normalform von .

b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.

c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung

welche nicht?


Lösung

a) Es ist

eine Matrix mit Rang , daher ist der Eigenraum zum Eigenwert zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt

b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist

Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist

und

so dass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist

und

und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung (allerdings bezüglich einer anderen Basis).


Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Lösung

Es ist

und

Der Vektor gehört nicht zum Kern von , daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist

und

Daher ist

eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform

vorliegt.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ein -Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien . Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann eine Basis von bildet, wenn die Familie eine affine Basis bildet.


Lösung

Nach der Definition 29.6 ist eine Familie von Punkten eines affinen Raumes genau dann eine affine Basis, wenn die Vektorfamilie eine Basis ist. Die Aussage der Aufgabe ist mit ein Spezialfall davon.