Kurs:Lineare Algebra/Teil I/5/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 2 | 12 | 3 | 3 | 5 | 5 | 6 | 5 | 4 | 6 | 3 | 1 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Matrizenmultiplikation.
- Der von einer Familie von Vektoren , aus einem - Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
- Die Elementarmatrizen.
- Eine Determinantenfunktion
wobei ein -dimensionaler Vektorraum über einem Körper ist.
- Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
- Ein affiner Raum über einem - Vektorraum .
- Es sei ein
Körper und es sei eine
-
Matrix
und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
- Man nennt
den von der Familie aufgespannten Untervektorraum.
- Mit bezeichnen wir diejenige
-
Matrix,
die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert null hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
- .
- .
- .
- Die
Abbildung
heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.
- ist multilinear.
- ist alternierend.
- Eine
Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle gilt.
- Ein
affiner Raum
über einem
-
Vektorraum
ist
(die leere Menge oder)
eine nichtleere Menge zusammen mit einer Abbildung
die den drei Bedingungen
- für alle ,
- für alle und ,
- Zu je zwei Punkten gibt es genau einen Vektor mit ,
genügt.
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Charakterisierungssatz für eine Basis in einem - Vektorraum .
- Der Satz über Ideale in einem Polynomring in einer Variablen über einem Körper .
- Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.
- Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Familie ist eine Basis von .
- Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
- Für jeden Vektor gibt es genau eine Darstellung
- Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.
- In einem Polynomring über einem Körper ist jedes Ideal ein Hauptideal.
- Es sei ein
Körper
und es sei ein
-
dimensionaler
Vektorraum.
Es sei
eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann ein Eigenwert von , wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms
ist.
Aufgabe (3 Punkte)
In einem Hörsaal befindet sich ein Tafelgestell mit drei hintereinander liegenden, vertikal verschiebbaren Tafeln. Diese seien mit (vordere Tafel), (mittlere Tafel) und (hintere Tafel) bezeichnet. Aufgrund der Höhe des Gestells sind nur (maximal) zwei Tafeln gleichzeitig einsehbar. Die Lehrperson schreibt in der Vorlesung jede Tafel genau einmal voll. In welcher Reihenfolge (alle Möglichkeiten!) muss sie die Tafeln einsetzen, wenn beim Beschreiben einer Tafel stets die zuletzt beschriebene Tafel sichtbar sein soll.
Die Tafeln und sind nicht gleichzeitig sichtbar, da (mindestens) eine davon durch verdeckt wird. Dagegen sind sowohl und ( wird hinter geschoben) als auch und gleichzeitig einsehbar. Eine Beschreibungsreihenfolge erfüllt also genau dann die angegebene Bedingung, wenn und nicht direkt hintereinander beschrieben werden. Dies wird genau dann erreicht, wenn als zweite Tafel beschrieben wird. Erlaubt sind also die beiden Reihenfolgen und .
Aufgabe (2 Punkte)
Es seien Mengen und
Abbildungen mit der Hintereinanderschaltung
Zeige: Wenn injektiv ist, so ist auch injektiv.
Es seien gegeben mit . Wir müssen zeigen, dass ist. Es ist
Da nach Voraussetzung injektiv ist, folgt , wie gewünscht.
Aufgabe (12 Punkte)
Beweise den Charakterisierungssatz für eine Basis in einem - Vektorraum .
Wir führen einen Ringschluss durch. . Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte
Dann ist aber
eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. . Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, sodass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt. Angenommen, es gibt für ein eine mehrfache Darstellung, d.h.
wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei . Dann erhält man die Beziehung
Wegen kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe 6.25 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist auch die Familie ohne ein Erzeugendensystem von , im Widerspruch zur Minimalität. . Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig. Nimmt man einen Vektor hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung
und daher ist
eine nichttriviale Darstellung der , sodass die verlängerte Familie nicht linear unabhängig ist. . Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu . Nach Voraussetzung ist die Familie nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung
Dabei ist , da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der allein mit den linear unabhängigen Vektoren wäre. Daher können wir
schreiben, sodass eine Darstellung von möglich ist.
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme die inverse Matrix zu
Aufgabe (3 Punkte)
Drücke die Vektoren der Dualbasis zur Basis im als Linearkombinationen bezüglich der Standarddualbasis aus.
Wir invertieren die Matrix .
Daher ist
und
Aufgabe (5 Punkte)
Zeige, dass im Polynomring über einem Körper jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Betrachte die nichtleere Menge
Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Die Inklusion ist klar. Zum Beweis von sei gegeben. Aufgrund von Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gilt
Wegen und der Minimalität von kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei eine Körpererweiterung. Es sei eine - Matrix über gegeben. Zeige, dass das Minimalpolynom mit dem Minimalpolynom zu übereinstimmt, wenn man die Matrix über auffasst.
Das Polynom kann man direkt als auffassen. Es sei der Grad von . Es sei das Minimalpolynom zu , wenn man die Matrix über betrachtet. Die Eigenschaft gilt über und auch über , da die Matrizenoperationen unabhängig vom Körper sind. Daher ist ein Vielfaches in und der Grad von kann allenfalls runtergehen. Da das Minimalpolynom über den Grad besitzt, sind die Potenzen
linear unabhängig als Elemente in . Diese lineare Unabhängigkeit bleibt beim Übergang von nach erhalten, da man dies durch das Eliminationsverfahren überprüfen kann. Daher kann es auch über kein annullierendes Polynom kleineren Grades geben.
Aufgabe (6 (3+3) Punkte)
a) Es sei eine - Matrix, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar ist. Zeige, dass nilpotent ist.
b) Man gebe ein Beispiel einer
-
Matrix
, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.
a) Da die Abbildung trigonalisierbar ist, können wir direkt von einer oberen Dreiecksmatrix
ausgehen. Das charakteristische Polynom ist . Bei verschiedenen Eigenwerten wäre die Abbildung nach Korollar 22.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) diagonalisierbar, also ist . Bei wäre die Determinante nicht und die Matrix wäre invertierbar. Also ist . Daher ist
und die Matrix ist nilpotent.
b) Wir betrachten
Diese Matrix liegt in oberer Dreiecksform vor, ist also trigonalisierbar. Wegen der letzten Spalte wird auf abgebildet, die Abbildung ist also nicht invertierbar. Nach Beispiel 22.12 ist nicht diagonalisierbar, also ist auch nicht diagonalisierbar, da sie die direkte Summe von und der eindimensionalen Nullabbildung beschreibt. Ferner ist ein Eigenvektor von zum Eigenwert , sodass nicht nilpotent sein kann.
Aufgabe (5 (3+2) Punkte)
Es sei ein
Körper.
a) Charakterisiere die nilpotenten - Matrizen
über mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen .
b) Sind die Gleichungen linear?
a) Nach Lemma 27.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist eine -Matrix genau dann nilpotent, wenn ihr charakteristisches Polynom gleich ist. Für die gegebene Matrix ist das charakteristische Polynom gleich
Die Matrix ist also genau dann nilpotent, wenn die beiden Gleichungen
und
erfüllt sind.
b) Die Gleichung
ist offenbar linear (die Koeffizienten bezüglich sind ), die Gleichung
ist nicht linear, da die Variablen nicht mit einem festen Element aus als Koeffizient in die Gleichung eingehen.
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.
Sei und sei eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch zu einer Basis von ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt
Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe . gleich , sodass die algebraische Vielfachheit mindestens ist.
Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)
Wir betrachten die Matrix
über .
a) Bestimme die jordansche Normalform von .
b) Bestimme die kanonische Zerlegung von in einen diagonalisierbaren Anteil und einen nilpotenten Anteil.
c) Welche Eigenschaften der kanonischen Zerlegung erfüllt die Zerlegung
welche nicht?
a) Es ist
eine Matrix mit Rang , daher ist der Eigenraum zum Eigenwert zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt
b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist
Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist
und
sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.
c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist
und
und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung (allerdings bezüglich einer anderen Basis).
Aufgabe (3 Punkte)
Eine lineare Abbildung
werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix
beschrieben wird.
Es ist
und
Der Vektor gehört nicht zum Kern von , daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist
und
Daher ist
eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform
vorliegt.
Aufgabe (1 Punkt)
Es sei ein - Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien . Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann eine Basis von bildet, wenn die Familie eine affine Basis bildet.
Nach der Definition 29.6 ist eine Familie von Punkten eines affinen Raumes genau dann eine affine Basis, wenn die Vektorfamilie eine Basis ist. Die Aussage der Aufgabe ist mit ein Spezialfall davon.