Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Arbeitsblatt 27/latex
\setcounter{section}{27}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 4 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die komplexe Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & { \mathrm i} \\ { \mathrm i} & -1 \end{pmatrix}} { }
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 0 & a & b & c & d \\ 0 & 0 & e & f & g \\ 0 & 0 & 0 & h & i \\ 0 & 0 & 0 & 0 & j \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass die fünfte
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
von $M$ gleich $0$ ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^5
}
{ =} { MMMMM
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A
}
{ = }{ { \left( a_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B
}
{ = }{ { \left( b_{ij} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
quadratische Matrizen der Länge $n$. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \leq }{i+d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b_{ij}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \leq }{i+e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für gewisse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d,e
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Einträge
\mathl{c_{ij}}{} des Produktes
\mathl{AB}{} die Bedingung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_{ij}
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ j
}
{ \leq }{ i+d+e+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {D} { \R[X]_{\geq m}} { \R[X]_{\geq m}
} {}
die Einschränkung des
\definitionsverweis {Ableitungsoperators}{}{}
\mathl{P \mapsto P'}{} auf die Polynome vom Grad
\mathl{\leq m}{.} Zeige, dass $D$
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist. Zeige ebenfalls, dass
\maabbdisp {D} { \R[X]} { \R[X]
} {}
nicht nilpotent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {injektive}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{\varphi}{} nicht
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi^n
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, wobei $n$ die Dimension von $V$ bezeichnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass $0$ der einzige \definitionsverweis {Eigenwert}{}{} von $\varphi$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,} die auch
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
sei. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Was ist die \definitionsverweis {Determinante}{}{} von $\varphi$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Was ist die \definitionsverweis {Spur}{}{} von $\varphi$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
a) Charakterisiere die
\definitionsverweis {nilpotenten}{}{}
$2\times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} x & y \\ z & w \end{pmatrix}} { }
über $K$ mit Hilfe von zwei Gleichungen in den Variablen
\mathl{x,y,z,w}{.}
b) Sind die Gleichungen linear?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
a) Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{,} die \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{,} aber weder \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} noch \definitionsverweis {invertierbar}{}{} ist. Zeige, dass $M$ \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist.
b) Man gebe ein Beispiel einer
$3 \times 3$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$, die trigonalisierbar, aber weder diagonalisierbar noch invertierbar, noch nilpotent ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {K^3} {K^3 } {,} die \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{} ist, deren \definitionsverweis {Spur}{}{} und \definitionsverweis {Determinante}{}{} gleich $0$ ist, und die nicht \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die im Beweis zu Lemma 27.11 konstruierten Untervektorräume $U_i$ im Allgemeinen nicht $\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{}
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $\varphi$ sei eindimensional. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_i
}
{ =} { \operatorname{kern} \varphi^i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $s$ die minimale Zahl mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi^s
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass alle
\mathbed {V_i} {}
{1 \leq i \leq s} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {direkte Zerlegung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ =} { V_{i-1} \oplus U_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $U_i$ eindimensional haben.
}{Zeige, dass die Einschränkungen
\maabbdisp {\varphi} {U_i } { V_{i-1}
} {}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 1
}
{ < }{ i
}
{ < }{ s
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bijektiv sind.
}{Zeige, dass $s$ mit der Dimension von $V$ übereinstimmt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {nilpotenter Endomorphismus}{}{}
auf einem endlichdimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{}
$V$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i
}
{ \defeq} { \operatorname{kern} \varphi^{i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für die Dimensionsprünge die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V_i \right) } - \dim_{ K } { \left( V_i-1 \right) }
}
{ \geq} { \dim_{ K } { \left( V_{i+1} \right) } - \dim_{ K } { \left( V_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es eine Familie von (bis zu)
\mathl{2^{n-1}}{} verschiedenen
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
mit der Eigenschaft gibt, dass jeder
\definitionsverweis {nilpotente Endomorphismus}{}{}
auf einem $n$-dimensionalen Vektorraum $V$ durch eine der Matrizen beschrieben werden kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass sich jeder
\definitionsverweis {nilpotente Endomorphismus}{}{}
auf einem vierdimensionalen Raum auf genau eine der folgenden Gestalten bringen lässt.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \! , \, \!\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \! , \, \!\! \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \!, \, \!\! \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \! , \, \!\! \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} { \!\!. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_6}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$ und
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die durch
\mathdisp {v_1, v_2 \mapsto v_4, \, v_3, v_5 \mapsto v_6, \, v_4 \mapsto 0, \, v_6 \mapsto v_2} { }
festgelegt ist.
\aufzaehlungvier{Begründe, warum $\varphi$
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}{Bestimme das minimale $s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^s
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme den Kern von $\varphi$.
}{Finde eine Basis von $V$, bezüglich der $\varphi$
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
hat.
}
}
{} {}
Die folgende Aufgabe verallgemeinert das Konzept, bei dem einer Permutation eine Permutationsmatrix zugeordnet wird.
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten auf der Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { \{1 , \ldots , n,* \}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Menge der Abbildungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B
}
{ =} { { \left\{ \pi:S \rightarrow S \mid \pi(*) = * \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \pi
}
{ \in }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
assoziieren wir
\zusatzklammer {bei einem fixierten Körper $K$} {} {}
die lineare Abbildung
\maabbdisp {\varphi_\pi} { K^n } { K^n
} {,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi_\pi (e_i)
}
{ =} { \begin{cases} e_{\pi(i)}, \text{ falls } \pi(i) \neq *\, , \\ 0, \text{ falls } \pi(i) = * \, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegt ist. Mit $M_\pi$ bezeichnen wir die zugehörige Matrix bezüglich der Standardbasis.
a) Erstelle die Matrix $M_\pi$ bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ = }{ 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für die folgenden $\pi$
(1) \wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {*} }
{ $\pi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {*} {3} {*} {*} }
(2) \wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {*} }
{ $\pi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {*} {1} {2} {3} {*} }
(3) \wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {*} }
{ $\pi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {*} {*} {*} {*} {*} }
(4) \wertetabellefuenfausteilzeilen { $x$ }
{\mazeileundfuenf {1} {2} {3} {4} {*} }
{ $\pi(x)$ }
{\mazeileundfuenf {2} {2} {2} {2} {*} }
b) Welche Eigenschaften gelten für die Spalten und für die Zeilen von $M_\pi$?
c) Für welche $\pi$ ist $M_\pi$
\definitionsverweis {bijektiv}{}{?}
d) Für welche $\pi$ ist $M_\pi$
\definitionsverweis {nilpotent}{}{?}
e) Welche Dimension besitzt der Kern von $M_\pi$?
f) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M_{\pi \circ \rho}
}
{ =} { M_\pi \circ M_\rho
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
g) Zeige, dass jede nilpotente $n \times n$-Matrix $M$
\definitionsverweis {ähnlich}{}{}
zu einer Matrix der Form $M_\pi$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\psi} {V} {V
} {}
eine weitere lineare Abbildung mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi \circ \varphi
}
{ =} { \varphi \circ \psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\psi \circ \varphi$ ebenfalls nilpotent ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für zwei \definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi, \psi} {K^2} {K^2 } {} derart, dass weder \mathkor {} {\varphi \circ \psi} {noch} {\varphi + \psi} {} nilpotent sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {reelle Zahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { a }
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bekanntlich ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lim_{n \rightarrow \infty} a^n
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ist die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} {ax
} {}
\definitionsverweis {nilpotent}{}{?}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $M$ eine $2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {nilpotent}{}{} ist, wenn sowohl die \definitionsverweis {Determinante}{}{} als auch die \definitionsverweis {Spur}{}{} von $M$ gleich $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{U \oplus W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
aus
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianten}{}{}
Untervektorräumen. Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist, wenn
\mathkor {} {\varphi {{|}}_U} {und} {\varphi {{|}}_W} {}
nilpotent sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+1+1+2)}
{
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_7}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
des
$\R$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$ und
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die durch
\mathdisp {v_3, v_2 \mapsto v_5, \, v_5 \mapsto 4 v_6, \, v_1, v_4 \mapsto 0, \, v_6 \mapsto 5 v_4,\, v_7 \mapsto 3 v_2} { }
festgelegt ist.
\aufzaehlungvier{Begründe, warum $\varphi$
\definitionsverweis {nilpotent}{}{}
ist.
}{Bestimme das minimale $s$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi^s
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Bestimme den Kern von $\varphi$.
}{Finde eine Basis von $V$, bezüglich der $\varphi$
\definitionsverweis {jordansche Normalform}{}{}
hat.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathbed {v_n} {}
{n \in \N_+} {}
{} {} {} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
diejenige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_1)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(v_n)
}
{ =} {v_{n-1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
festgelegt ist. Ist $\varphi$
\definitionsverweis {nilpotent}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi
}
{ \defeq} {
\operatorname{Id} + \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi, \psi} {V} {V
} {}
\definitionsverweis {nilpotente}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{,}
die
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi \circ \psi
}
{ =} { \psi \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen. Zeige, dass dann auch
\mathl{\psi + \varphi}{} nilpotent ist.
}
{} {}
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