Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 36/latex

\setcounter{section}{36}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Rekapituliere Gesetzmäßigkeiten für Winkel \zusatzklammer {Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel} {} {.} Beweise diese elementargeometrisch und vektoriell.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Rekapituliere die Begriffe \stichwort {spitzes Dreieck} {,} \stichwort {stumpfes Dreieck} {,} \stichwort {gleichseitiges Dreieck} {} und \stichwort {gleichschenkliges Dreieck} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige elementargeometrisch, dass die Winkelsumme in einem Dreieck gleich $180$ Grad ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es in einem \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{} maximal einen rechten Winkel gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In den \definitionsverweis {affinen Ebenen}{}{} \mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {} seien \definitionsverweis {nichtausgeartete Dreiecke}{}{}
\mathl{\Delta_1= (A_1,B_1,C_1)}{} und
\mathl{\Delta_2=(A_2,B_2,C_2)}{} gegeben. Zeige, dass es eine bijektive \definitionsverweis {affine Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {E_1} {E_2 } {} gibt, die die Dreiecke ineinander überführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich bei einer \definitionsverweis {Verschiebung}{}{} einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{} die Seitenlängen und die Winkel eines Dreiecks nicht ändern.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {D_1} {und} {D_2} {} Dreiecke mit der Eigenschaft, dass zwei Seitenlängen und der von ihnen eingeschlossene Winkel übereinstimmen. Zeige, dass die beiden Dreiecke \definitionsverweis {kongruent}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {D_1} {und} {D_2} {} Dreiecke mit der Eigenschaft, dass eine Seitenlänge und die an der Seite anliegenden Winkel übereinstimmen. Zeige, dass die beiden Dreiecke \definitionsverweis {kongruent}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein gleichschenkliges Dreieck zu einem Dreieck genau dann \definitionsverweis {kongruent}{}{} ist, wenn es dazu \definitionsverweis {eigentlich kongruent}{}{} ist. Zeige ferner, dass ein nichtgleichschenkliges Dreieck zu einem Dreieck kongruent sein kann, aber nicht eigentlich kongruent.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{P_1=(a_1,b_1),\, P_2=(a_2,b_2)}{} und
\mathl{P_3=(a_3,b_3)}{} drei Punkte im $\R^2$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit
\mathl{a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3}{} dar.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien drei Punkte
\mathl{P_1,P_2,P_3 \in \Q^2 \subset \R^2}{} gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zwei \definitionsverweis {nichtausgeartete Dreiecke}{}{} in einer euklidischen Ebene genau dann zueinander \definitionsverweis {ähnlich}{}{} sind, wenn ihre Winkel übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A,B,C}{} ein \definitionsverweis {rechtwinkliges Dreieck}{}{} mit dem rechten Winkel im Punkt $C$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Höhenfußpunkt}{}{} zur \definitionsverweis {Höhe}{}{} durch $C$ auf der Strecke
\mathl{\overline{A,B}}{} liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Dreieck im $\R^2$ mit den Eckpunkten
\mathl{(0,0), (3,0), (0,5)}{} die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die \definitionsverweis {Höhengeraden}{}{,} die Länge der Höhen und die \definitionsverweis {Höhenfußpunkte}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

a) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b) Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ \neq} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

c) Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Ein \definitionswort {pythagoreisches Tripel}{} ist eine ganzzahlige Lösung
\mathl{(x,y,z) \in \Z^3}{} der diophantischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} {z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es heißt \definitionswort {primitiv}{,} wenn
\mathl{x, y, z}{} keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $x$ und $y$ ungerade. Zeige, dass
\mathl{x^2+y ^2}{} keine Quadratzahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(x,y,z)}{} ein \definitionsverweis {pythagoreisches Tripel}{}{.} Zeige, dass $x$ oder $y$ ein Vielfaches von $3$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere ein Dreieck $D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck $D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke $D_1$ und $D_2$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von $D_1$ und $D_2$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die Umkehrung des Satzes von Thales: Es sei
\mathl{A,B,C}{} ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an $C$. Es sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke
\mathl{\overline{A,B}}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(C,M) }
{ =} { d(A,M) }
{ =} {d(B,M) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. $C$ liegt auf dem Kreis mit Mittelpunkt $M$ durch $A$ \zusatzklammer {und $B$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise den Kosinussatz.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn in einem Dreieck die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c^2 }
{ =} {a^2+b^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zwischen den Seitenlängen $a,b,c$ gilt, so ist das Dreieck rechtwinklig.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} der aus drei Punkten bestehe. Zeige, dass man $M$ als \definitionsverweis {metrischen Unterraum}{}{} einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{} realisieren kann.

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A,B,C}{} ein Dreieck in der euklidischen Ebene und es sei $R$ der Rand des Dreiecks, also die Vereinigung der drei Seiten. \aufzaehlungdrei{Definere eine Metrik auf $R$ derart, dass der Abstand von zwei Punkten, die auf der gleichen Seite liegen, einfach der \definitionsverweis {induzierte Abstand}{}{} ist und
\mathdisp {d(x,y)} { }
der minimale Abstand längs eines Weges auf $R$ ist. }{Handelt es sich um die induzierte Metrik? }{Kann es sein, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten über alle drei Seiten läuft? }

}
{} {}

In den folgenden Begriffen und Aufgaben wird das Konzept einer konvexen Hülle erläutert.

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {konvex}{,} wenn mit je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q }
{ \in }{T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
\mathdisp {rP+(1-r)Q \text{ mit } r \in [0,1]} { , }
ebenfalls zu $T$ gehört.

Zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt die kleinste \definitionsverweis {konvexe Teilmenge}{}{} $T$, die $U$ umfasst, die \definitionswort {konvexe Hülle}{} von $U$.

Die Existenz der konvexen Hülle beruht auf folgender Beobachtung.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Durchschnitt von \definitionsverweis {konvexen}{}{} Mengen wieder konvex ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_m}{} Punkte im $\R^n$. Zeige, dass die \definitionsverweis {konvexe Hülle}{}{} dieser Punkte gleich der durch nichtnegative \definitionsverweis {baryzentrische Kombinationen}{}{} gegebenen Menge
\mathdisp {{ \left\{ \sum_{i =1}^m a_iP_i \mid \sum_{i= 1}^m a_i = 1 , \, a_i \geq 0 \text{ für alle } i \right\} }} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sind alle Vierecke \definitionsverweis {konvex}{}{?}

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Strich.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Strich.png } {} {MGausmann} {Commons} {C-by-sa 4.0} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zerlege geometrisch die angegebene Strecke in fünf gleichlange Teile.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, dass in der Situation von Satz 36.16 \definitionsverweis {ähnliche Dreiecke}{}{} vorliegen.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe für die beiden Dreiecke
\mathdisp {(2,1),(2,-1),(5,-1) \text{ und } (-1,1),(1,1),(1,4)} { }
explizit eine Folge von Verschiebungen, Drehungen und Achsenspiegelungen an, die das eine Dreieck in das andere überführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für das Dreieck im $\R^2$ mit den Eckpunkten
\mathl{(2,-3), (4,1), (5,6),}{} die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die \definitionsverweis {Höhengeraden}{}{,} die Länge der Höhen und die \definitionsverweis {Höhenfußpunkte}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{8 (2+1+1+4)}
{

Im $\R^3$ sei das Dreieck mit den Eckpunkten
\mathl{(4, 2,-5), (4,3,7), (-5,0,-6)}{} gegeben.

a) Bestimme eine Gleichung und eine Parameterdarstellung für die affine Ebene, in der das Dreieck liegt.

b) Bestimme die Seitenlängen des Dreiecks.

c) Bestimme die Winkel des Dreiecks.

d) Bestimme eine Parameterdarstellung für die \definitionsverweis {Höhengerade}{}{} durch den Punkt
\mathl{(4,2,-5)}{,} die Länge dieser Höhe und den zugehörigen \definitionsverweis {Höhenfußpunkt}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{A,B,C}{} ein Dreieck in einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Abstand}{}{} des Eckpunktes $C$ zur Seite
\mathl{\overline{AB}}{} im Punkt $A$ oder im Punkt $B$ oder im \definitionsverweis {Höhenfußpunkt}{}{} zur \definitionsverweis {Höhe}{}{} durch $C$ angenommen wird.

}
{} {}