Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 36/latex

\setcounter{section}{36}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Rekapituliere Gesetzmäßigkeiten für Winkel \zusatzklammer {Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel} {} {.} Beweise diese elementargeometrisch und vektoriell.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Rekapituliere die Begriffe \stichwort {spitzes Dreieck} {,} \stichwort {stumpfes Dreieck} {,} \stichwort {gleichseitiges Dreieck} {} und \stichwort {gleichschenkliges Dreieck} {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige elementargeometrisch, dass die Winkelsumme in einem Dreieck gleich $180$ Grad ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es in einem \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{} maximal einen rechten Winkel gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

In den \definitionsverweis {affinen Ebenen}{}{} \mathkor {} {E_1} {und} {E_2} {} seien \definitionsverweis {nichtausgeartete Dreiecke}{}{}
\mathl{\Delta_1= (A_1,B_1,C_1)}{} und
\mathl{\Delta_2=(A_2,B_2,C_2)}{} gegeben. Zeige, dass es eine bijektive \definitionsverweis {affine Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {E_1 } { E_2 } {} gibt, die die Dreiecke ineinander überführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass sich bei einer \definitionsverweis {Verschiebung}{}{} einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{} die Seitenlängen und die Winkel eines Dreiecks nicht ändern.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {D_1} {und} {D_2} {} Dreiecke mit der Eigenschaft, dass zwei Seitenlängen und der von ihnen eingeschlossene Winkel übereinstimmen. Zeige, dass die beiden Dreiecke \definitionsverweis {kongruent}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {D_1} {und} {D_2} {} Dreiecke mit der Eigenschaft, dass eine Seitenlänge und die an der Seite anliegenden Winkel übereinstimmen. Zeige, dass die beiden Dreiecke \definitionsverweis {kongruent}{}{} sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass ein gleichschenkliges Dreieck zu einem Dreieck genau dann \definitionsverweis {kongruent}{}{} ist, wenn es dazu \definitionsverweis {eigentlich kongruent}{}{} ist. Zeige ferner, dass ein nichtgleichschenkliges Dreieck zu einem Dreieck kongruent sein kann, aber nicht eigentlich kongruent.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien
\mathl{P_1=(a_1,b_1),\, P_2=(a_2,b_2)}{} und
\mathl{P_3=(a_3,b_3)}{} drei Punkte im $\R^2$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit
\mathl{a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3}{} dar.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien drei Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1,P_2,P_3 }
{ \in }{ \Q^2 }
{ \subset }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben. Zeige, dass der Flächeninhalt des durch diese drei Punkte bestimmten Dreiecks eine rationale Zahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass zwei \definitionsverweis {nichtausgeartete Dreiecke}{}{} in einer euklidischen Ebene genau dann zueinander \definitionsverweis {ähnlich}{}{} sind, wenn ihre Winkel übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Welche elementargeometrischen Beweise für den Satz des Pythagoras kennen Sie?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A,B,C}{} ein \definitionsverweis {rechtwinkliges Dreieck}{}{} mit dem rechten Winkel im Punkt $C$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Höhenfußpunkt}{}{} zur \definitionsverweis {Höhe}{}{} durch $C$ auf der Strecke
\mathl{\overline{A,B}}{} liegt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für das Dreieck im $\R^2$ mit den Eckpunkten
\mathl{(0,0), (3,0), (0,5)}{} die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die \definitionsverweis {Höhengeraden}{}{,} die Länge der Höhen und die \definitionsverweis {Höhenfußpunkte}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungdreiabc{Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Man gebe ein Beispiel für rationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ \neq} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Man gebe ein Beispiel für irrationale Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ {]0,1[} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^2+b^2 }
{ =} { c^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

Ein \definitionswort {pythagoreisches Tripel}{} ist eine ganzzahlige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (x,y,z) }
{ \in }{ \Z^3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der diophantischen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2+y^2 }
{ =} { z^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es heißt \definitionswort {primitiv}{,} wenn
\mathl{x, y, z}{} keinen gemeinsamen Teiler besitzen.

\inputaufgabe
{}
{

Es seien $x$ und $y$ ungerade. Zeige, dass
\mathl{x^2+y ^2}{} keine Quadratzahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(x,y,z)}{} ein \definitionsverweis {pythagoreisches Tripel}{}{.} Zeige, dass $x$ oder $y$ ein Vielfaches von $3$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere ein Dreieck $D$ derart, dass eine Höhe das Dreieck $D$ in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke $D_1$ und $D_2$ unterteilt so, dass die Seitenlängen von $D_1$ und $D_2$ jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die Umkehrung des Satzes von Thales: Es sei
\mathl{A,B,C}{} ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel an $C$. Es sei $M$ der Mittelpunkt der Strecke
\mathl{\overline{A,B}}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d(C,M) }
{ =} { d(A,M) }
{ =} { d(B,M) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. $C$ liegt auf dem Kreis mit Mittelpunkt $M$ durch $A$ \zusatzklammer {und $B$} {} {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise den Kosinussatz.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Umkehrung des Satzes des Pythagoras: Wenn in einem Dreieck die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c^2 }
{ =} { a^2+b^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} zwischen den Seitenlängen $a,b,c$ gilt, so ist das Dreieck rechtwinklig.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $M$ ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} der aus drei Punkten bestehe. Zeige, dass man $M$ als \definitionsverweis {metrischen Unterraum}{}{} einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{} realisieren kann.

}
{} {}


\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{A,B,C}{} ein Dreieck in der euklidischen Ebene und es sei $R$ der Rand des Dreiecks, also die Vereinigung der drei Seiten. \aufzaehlungdreiabc{Definere eine Metrik auf $R$ derart, dass der Abstand von zwei Punkten, die auf der gleichen Seite liegen, einfach der \definitionsverweis {induzierte Abstand}{}{} ist und
\mathdisp {d(x,y)} { }
der minimale Abstand längs eines Weges auf $R$ ist. }{Handelt es sich um die induzierte Metrik? }{Kann es sein, dass die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten über alle drei Seiten läuft? }

}
{} {}

In den folgenden Begriffen und Aufgaben wird das Konzept einer konvexen Hülle erläutert.

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T }
{ \subseteq }{\R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {konvex}{,} wenn mit je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P,Q }
{ \in }{ T }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form
\mathdisp {rP+(1-r)Q \text{ mit } r \in [0,1]} { , }
ebenfalls zu $T$ gehört.

Zu einer Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{ \R^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt die kleinste \definitionsverweis {konvexe Teilmenge}{}{} $T$, die $U$ umfasst, die \definitionswort {konvexe Hülle}{} von $U$.

Die Existenz der konvexen Hülle beruht auf folgender Beobachtung.


\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der Durchschnitt von \definitionsverweis {konvexen}{}{} Mengen im $\R^n$ wieder konvex ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{P_1 , \ldots , P_m}{} Punkte im $\R^n$. Zeige, dass die \definitionsverweis {konvexe Hülle}{}{} dieser Punkte gleich der durch nichtnegative \definitionsverweis {baryzentrische Kombinationen}{}{} gegebenen Menge
\mathdisp {{ \left\{ \sum_{i =1}^m a_iP_i \mid \sum_{i= 1}^m a_i = 1 , \, a_i \geq 0 \text{ für alle } i \right\} }} { }
ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sind alle Vierecke \definitionsverweis {konvex}{}{?}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

$\,$




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{ \bildeinlesungpng {Strich} {png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Strich.png } {} {MGausmann} {Commons} {C-by-sa 4.0} {}

Zerlege geometrisch die angegebene Strecke in fünf gleichlange Teile.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Begründe, dass in der Situation von Satz 36.16 \definitionsverweis {ähnliche Dreiecke}{}{} vorliegen.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{5}
{

Man gebe für die beiden Dreiecke
\mathdisp {(2,1),(2,-1),(5,-1) \text{ und } (-1,1),(1,1),(1,4)} { }
explizit eine Folge von Verschiebungen, Drehungen und Achsenspiegelungen an, die das eine Dreieck in das andere überführt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme für das Dreieck im $\R^2$ mit den Eckpunkten
\mathl{(2,-3), (4,1), (5,6)}{} die Seitenlängen, Parameterdarstellungen für die \definitionsverweis {Höhengeraden}{}{,} die Länge der Höhen und die \definitionsverweis {Höhenfußpunkte}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{8 (2+1+1+4)}
{

Im $\R^3$ sei das Dreieck mit den Eckpunkten
\mathl{(4, 2,-5), (4,3,7), (-5,0,-6)}{} gegeben. \aufzaehlungvierabc{Bestimme eine Gleichung und eine Parameterdarstellung für die affine Ebene, in der das Dreieck liegt. }{Bestimme die Seitenlängen des Dreiecks. }{Bestimme die Winkel des Dreiecks. }{Bestimme eine Parameterdarstellung für die \definitionsverweis {Höhengerade}{}{} durch den Punkt
\mathl{(4,2,-5)}{,} die Länge dieser Höhe und den zugehörigen \definitionsverweis {Höhenfußpunkt}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{A,B,C}{} ein Dreieck in einer \definitionsverweis {euklidischen Ebene}{}{.} Zeige, dass der \definitionsverweis {Abstand}{}{} des Eckpunktes $C$ zur Seite
\mathl{\overline{AB}}{} im Punkt $A$ oder im Punkt $B$ oder im \definitionsverweis {Höhenfußpunkt}{}{} zur \definitionsverweis {Höhe}{}{} durch $C$ angenommen wird.

}
{} {}