Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 36

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Dreiecke

In dieser und der nächsten Vorlesung stehen Dreiecke im Mittelpunkt. Unter einem Dreieck verstehen wir einfach ein Tupel aus drei Eckpunkten in einem affinen Raum (typischerweise eine affine Ebene) über einem euklidischen Raum . Wir lassen die Situation, dass Eckpunkte zusammenfallen, als ausgeartete Dreiecke zu, und wir identifizieren Dreiecke, wenn sie durch eine Umbenennung der Ecken auseinander hervorgehen. Ein Dreieck ist nach Definition genau dann nicht ausgeartet, wenn die drei Punkte affin unabhängig sind. Häufig versteht man unter dem Dreieck auch seine konvexe Hülle, das ist die Menge

aller baryzentrischen Kombinationen der drei Punkte, bei denen alle Koeffizienten nichtnegativ sind. Die Verbindungsstrecke

heißt Seite zwischen den Eckpunkten und (oder gegenüber von ). Sie wird häufig mit bezeichnet, ihre Länge ist

Entsprechende Festlegungen gelten für die beiden anderen Seiten. Manchmal werden auch die Seitenlängen mit bezeichnet. Der Winkel des Dreiecks im Punkt ist durch

definiert, entsprechend an den übrigen Eckpunkten. Die Winkel werden häufig mit bezeichnet.


Definition  

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen kongruent, wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und Isometrien ineinander überführt werden können.

Man sagt auch, dass kongruente Dreiecke durch affin-lineare Isometrien ineinander überführt werden können.



Satz  

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene

sind genau dann zueinander kongruent, wenn ihre Seitenlängen übereinstimmen.

Beweis  

Da Verschiebungen und Isometrien die Längen erhalten, ist es klar, dass kongruente Dreiecke längengleich sind. Seien umgekehrt die beiden längengleichen Dreiecke und gegeben, wobei wir nach Umbenennung annehmen können, dass für die Seitenlängen die Beziehung

und ebenso für das zweite Dreieck gilt. Wir können annehmen und durch Verschiebungen erreichen, dass ist. Durch Drehungen am Nullpunkt der beiden Dreiecke können wir erreichen, dass sowohl als auch auf der positiven -Achse liegen. Wegen der Längengleichung ist dann . Die Punkte und haben einerseits zu und andererseits zu den gleichen Abstand, d.h. sie liegen auf den Schnittpunkten von einem Kreis um und einem Kreis um . Da es nur zwei Schnittpunkte gibt, ist entweder oder und lassen sich durch eine Achsenspiegelung an der -Achse ineinander überführen.



Definition  

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen eigentlich kongruent, wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und eigentlichen Isometrien ineinander überführt werden können.


Definition  

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene heißen ähnlich, wenn sie durch die Hintereinanderschaltung von Verschiebungen und winkeltreuen Abbildungen ineinander überführt werden können.



Satz

Zwei Dreiecke in einer euklidischen Ebene

sind genau dann zueinander ähnlich, wenn ihre Winkel übereinstimmen.

Beweis

Siehe Aufgabe 36.12.




Der Satz des Pythagoras

Wir beschäftigen uns zunächst mit rechtwinkligen Dreiecken.


Definition  

Ein Dreieck heißt rechtwinklig, wenn an einem Eckpunkt die anliegenden Seiten orthogonal zueinander sind.


Definition  

Unter der Hypotenuse versteht man die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die dem rechten Winkel gegenüber liegt.


Definition  

Unter einer Kathete versteht man eine Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, die an den rechten Winkel anliegt.

Der Satz des Pythagoras lautet für ein rechtwinkliges Dreieck wie folgt.



Satz  

In einem rechtwinkligen Dreieck

ist der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats gleich der Summe der Flächeninhalte der beiden Kathetenquadrate.

Beweis  

Die Dreieckspunkte seien mit dem rechten Winkel an . Wir setzen und . Der Verbindungsvektor von nach ist dann gleich und und stehen senkrecht aufeinander. Somit ist


In dieser Formulierung wird verwendet, dass der Flächeninhalt eines Quadrats (also des geometrischen Objektes) gleich dem (arithmetischen) Quadrat der Seitenlänge ist. Der Beweis hat nichts mit Flächeninhalten zu tun.


Definition  

Zu einem Dreieck in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch , die senkrecht auf der Geraden durch und steht, die Höhengerade durch . Die Verbindungsstrecke von zur Geraden durch und heißt Höhe durch .

Die Länge der Höhe wird selbst auch oft Höhe genannt.


Definition  

In einem Dreieck in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch mit der Geraden durch und der Höhenfußpunkt dieser Höhe.

Kathetensatz.svg

Der folgende Satz heißt Kathetensatz.



Satz  

Es sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt . Es sei die Höhe durch und der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch und .

Dann ist

Beweis  

Wir setzen und . Der Verbindungsvektor von nach ist dann gleich . Wir setzen den Höhenfußpunkt als

mit einem und den Richtungsvektor der Höhe als

an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf

und somit ist

Daher ist


Der folgende Satz heißt Höhensatz.


Satz

Es sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt . Es sei die Höhe durch und der Höhenfußpunkt dieser Höhe auf der Geraden durch und .

Dann ist

Beweis

Siehe Aufgabe 36.16.


Der folgende Satz heißt Kosinussatz.


Satz

In einem Dreieck mit den Seitenlängen und dem Winkel an

gilt

Beweis

Siehe Aufgabe 36.22.




Der Satz des Thales
Triangle-thales-circle.svg



Satz  

Es sei ein Punkt in der euklidischen Ebene , der Kreis mit Radius und Mittelpunkt und es sei eine Gerade durch , die den Kreis in den Punkten und trifft.

Dann ist für jeden Punkt das Dreieck rechtwinklig an .

Beweis  

Ohne Einschränkung sei und . Wir schreiben „vektoriell“ , , somit ist . Der Verbindungsvektor von nach ist dann und der Verbindungsvektor von nach ist dann . Somit ist

also sind diese Seiten senkrecht zueinander.




Die Strahlensätze

Wir formulieren in der Sprache der linearen Algebra die Strahlensätze. Dabei legen wir einen zweidimensionalen euklidischen Vektorraum zugrunde, der die Längenmessung von Strecken erlaubt. Zwei affine Geraden heißen parallel, wenn sie von dem gleichen Vektor aufgespannt werden. Wir formulieren die Strahlensätze so, dass der Schnittpunkt der Strahlen der Nullpunkt ist. Dies kann man stets erreichen, indem man den Schnittpunkt in den Nullpunkt verschiebt, wobei sich die Längen nicht verändern.

Thales theorem.svg



Satz  

Es sei ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien von verschiedene Vektoren und sei sowohl zu als auch zu linear unabhängig sei. Es seien und die durch und definierten Geraden (die Strahlen) und es seien und Punkte in mit den zugehörigen parallelen Geraden und . Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig existieren) seien

und es seien .

Dann ist

Beweis  

Ohne Einschränkung sei , und , da dies die beteiligten Geraden nicht ändert. Wir schreiben . Es ist und somit ist

Dieser Punkt gehört sowohl zu als auch zu , was bedeutet, dass es sich um den Punkt handelt. Es ist also und daher


Der vorstehende Satz besagt insbesondere, dass sich in der beschriebenen Situation entsprechende Seitenlängen der beiden Dreiecke und zueinander in der gleichen Weise verhalten. Die Dreiecke sind ähnlich, und zwar geht das Dreieck aus dem Dreieck durch eine Streckung mit dem Streckungsfaktor hervor. Dieser Streckungsfaktor tritt bei sämtlichen Streckenverhältnissen wieder auf.

Eine Anwendung des Strahlensatzes. Man kann den Abstand über den Fluss berechnen, ohne ihn zu überqueren.


Auch der Daumensprung beruht auf dem Strahlensatz.



Korollar  

Es sei ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien von verschiedene Vektoren und sei sowohl zu als auch zu linear unabhängig sei. Es seien und die durch und definierten Geraden (die Strahlen) und es seien und Punkte in mit den zugehörigen parallelen Geraden und . Die Schnittpunkte der Geraden seien

und es seien .

Dann ist

Beweis  

Dies folgt direkt aus Satz 36.16.


Die in der vorstehenden Aussage mitbewiesene Gleichung

heißt auch Erster Strahlensatz. Er nimmt nur Bezug auf Längenverhältnisse auf den Strahlen.

Intercept2.svg


In der letzten Varianten des Strahlensatzes gibt es drei Strahlen, wir sprechen vom Dreistrahlensatz.



Satz  

Es sei ein zweidimensionaler euklidischer Vektorraum und es seien von verschiedene Vektoren und es sei linear unabhängig zu jedem dieser Vektoren. Es seien , , die durch die definierten Geraden (die Strahlen) und es seien und Punkte in mit den zugehörigen parallelen Geraden und . Die Schnittpunkte der Geraden (die aufgrund der Voraussetzungen eindeutig bestimmt sind) seien

und es seien .

Dann ist

Beweis  

Durch doppelte Anwendung von Korollar 36.17 auf die beiden durch bzw. gegebenen zweistrahligen Situationen erhält man


<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II | >>

PDF-Version dieser Vorlesung

Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF)