Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 48/latex

\setcounter{section}{48}

\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mathl{r,s \in \R \setminus\{0\}}{} zwei reelle Zahlen $\neq 0$. Zeige, dass diese genau dann äquivalent bezüglich der durch die Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\Q^{\times} ,1, \cdot) }
{ \subseteq }{ ( \R^{\times} ,1,\cdot) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegebenen \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} sind, wenn es eine reelle Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ganze Zahlen
\mathl{a,b \in \Z}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ = }{bt }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s }
{ = }{at }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten $\R$ als $\Q$-Vektorraum. Man mache sich klar, dass in
\mathl{\R/\Q}{} die Gleichheit
\mathl{[r]=[s]}{} für zwei reelle Zahlen
\mathl{r,s}{} genau dann gilt, wenn die Differenz
\mathl{r-s}{} eine rationale Zahl ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Für reelle Zahlen $r,s$ setzen wir
\mathl{r \sim s}{,} wenn es \definitionsverweis {rationale Zahlen}{}{} $u,v \in \Q$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r }
{ =} {us+v }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass dies eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} auf $\R$ ist. }{Bestimme die Äquivalenzklasse zu
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 7 } }}{.} }{Man gebe ein Beispiel für zwei reelle Zahlen, die nicht \definitionsverweis {kommensurabel}{}{} sind, die aber unter $\sim$ äquivalent sind. }

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $U$ und
\mathbed {v_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in
\mathl{V}{.} Zeige, dass die Gesamtfamilie
\mathl{u_i, i \in I, v_j, j \in J}{,} genau dann eine Basis von $V$ ist, wenn
\mathbed {[v_j]} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,} eine Basis des \definitionsverweis {Restklassenraumes}{}{} $V/U$ ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {V_0 }
{ \subset} { V_1 }
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1} }
{ \subset} {V_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} eine \definitionsverweis {Fahne}{}{} in einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_{i+1}/V_{i} }
{ \cong} { K }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{i=0 , \ldots , n-1}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Der $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ sei die \definitionsverweis {direkte Summe}{}{} der \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} \mathkor {} {V_1} {und} {V_2} {} und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1 }
{ \subseteq }{V_1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_2 }
{ \subseteq }{V_2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Untervektorräume. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_1 \oplus V_2/ { \left( U_1 \oplus U_2 \right) } }
{ \cong} { V_1/U_1 \oplus V_2/U_2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Man interpretiere die Aussage der folgenden Aufgabe im Kontext des Faktorisierungssatzes.


\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $M$ eine $m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ mit dem \definitionsverweis {Rang}{}{} $r$. Zeige, dass es eine
\mathl{r \times n}{-}Matrix $A$ und eine
\mathl{m \times r}{-}Matrix $B$, beide mit dem Rang $r$, mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{B \circ A }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Zeige, dass dies eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi_{V/U}} {V/U} {V/U } {} auf dem \definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
\mathl{V/U}{} mit der Eigenschaft \definitionsverweis {induziert}{}{,} dass das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} V & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & V & \\ \!\!\!\!\! \pi \downarrow & & \downarrow \pi \!\!\!\!\! & \\ V/U & \stackrel{ \varphi_{V/U} }{\longrightarrow} & V/U & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
kommutiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_s}{} eine \definitionsverweis {Basis}{}{} von $U$ und
\mathl{u_1 , \ldots , u_r ,v_1 , \ldots , v_s}{} eine Basis von $V$, bezüglich der $\varphi$ durch die Matrix $M$ beschrieben werde. Durch welche Matrix wird die in Aufgabe 48.8 definierte lineare Abbildung \maabbdisp {\varphi_{V/U}} {V/U } {V/U } {} bezüglich der Basis
\mathl{[v_1] , \ldots , [v_s]}{} von
\mathl{V/U}{} beschrieben?

}
{} {}

Zur folgenden Aufgabe vergleiche man Aufgabe 16.23.


\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{\varphi_U}{} die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $\varphi$ auf $U$ und \maabbdisp {\varphi_{V/U}} {V/U } {V/U } {} die in Aufgabe 48.8 definierte lineare Abbildung. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \varphi }
{ =} { \det \varphi_U \cdot \det \varphi_{V/U} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein $\varphi$-\definitionsverweis {invarianter}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Es sei
\mathl{\varphi_U}{} die \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} von $\varphi$ auf $U$ und \maabbdisp {\varphi_{V/U}} {V/U } {V/U } {} die in Aufgabe 48.8 definierte lineare Abbildung. Zeige, dass für das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ \varphi } }
{ =} { \chi_{ \varphi_U } \cdot \chi_{ \varphi_{V/U} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{\R^{\N_+}}{} der \definitionsverweis {reelle Vektorraum}{}{} aller \definitionsverweis {Folgen}{}{.} Zeige, dass die folgenden Teilmengen \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{} sind. \aufzaehlungsechs{Die Menge der konstanten Folgen. }{Die Menge $\R^{(\N_+)}$ der Folgen, für die nur endlich viele Folgenglieder von $0$ verschieden sind. }{Die Menge $F$ der Folgen, die bis auf endlich viele Folgenglieder konstant sind. }{Die Menge $E$ der Folgen, die nur endlich viele verschiedene Werte haben. }{Die Menge der \definitionsverweis {konvergenten Folgen}{}{.} }{Die Menge $N$ der \definitionsverweis {Nullfolgen}{}{.} } Welche Beziehungen gelten zwischen diesen Untervektorräumen?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die beiden reellen Folgen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n }
{ =} {\begin{cases} 1\, , \text{ wenn } n \text{ gerade}\, , \\ 0\, , \text{ sonst}\, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y_n }
{ =} {\begin{cases} 1\, , \text{ wenn } n \text{ ungerade}\, , \\ 0\, , \text{ sonst}\, , \end{cases} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und wir verwenden einige Bezeichnungen aus Aufgabe 48.12. \aufzaehlungdrei{Zeige, dass die beiden Folgen \mathkor {} {x_n} {und} {y_n} {} in
\mathl{\R^{\N_+}/ \R^{(\N_+)}}{} \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind. }{Zeige, dass die beiden Folgen \mathkor {} {x_n} {und} {y_n} {} in
\mathl{\R^{\N_+}/ F}{} linear abhängig sind. }{Wie sieht es in
\mathl{\R^{\N_+}/ N}{} aus? }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{W \subseteq \R^{\N_+}}{} der \definitionsverweis {reelle Vektorraum}{}{} aller \definitionsverweis {konvergenten Folgen}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq} {W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Nullfolgen}{}{.} Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W/U }
{ \cong} {\R }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass durch die Abbildung \maabbeledisp {} {S^1 \times \R} { {\mathbb C} \setminus \{0\} } {(u,t)} { u e^t } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{} gegeben ist. Wie ist jeweils die Gruppenstruktur gegeben? Skizziere, welche markanten Teilmengen des Zylinders und der gelochten Ebene sich unter diesem Isomorphismus entsprechen.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{2}
{

Wir betrachten ${\mathbb C}$ als $\R$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und den \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\R }
{ =} {\R \cdot 1 }
{ \subset} { {\mathbb C} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass im \definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
\mathl{{\mathbb C}/\R}{} zwei \definitionsverweis {komplexe Zahlen}{}{} genau dann gleich werden, wenn ihre \definitionsverweis {Imaginärteile}{}{} übereinstimmen.

}
{} {}

\inputaufgabe
{3}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und $U_1,U_2,U$ seien \definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V/U } {} die \definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Für die \definitionsverweis {Bildräume}{}{} gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(U_1) \cap \varphi(U_2) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U_1 \cap (U_2 + U) }
{ \subseteq} { U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (U_1+U) \cap (U_2 + U) }
{ \subseteq} { U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{4}
{

Es sei $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} zusammen mit einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und es sei
\mathl{T \subseteq V}{} der \definitionsverweis {Ausartungsraum}{}{.} Zeige, dass auf dem \definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
\mathl{V/T}{} ein nichtausgeartete symmetrische Bilinearform
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle'}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle [v] , [w] \right\rangle' }
{ =} { \left\langle v , w \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mathl{v,w \in V}{} existiert.

}
{} {}

\inputaufgabe
{6 (1+3+2)}
{

Es sei $E$ ein \definitionsverweis {affiner Raum}{}{} über dem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.} Wir definieren auf $E$ eine Relation $\sim$ durch
\mathdisp {P \sim Q \text{ genau dann, wenn } \exists v \in U \text{ mit } P = Q+v} { . }
\aufzaehlungdrei{Zeige, dass $\sim$ eine \definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{} ist. }{Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \defeq }{E/\sim }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein affiner Raum über dem \definitionsverweis {Restklassenraum}{}{}
\mathl{V/U}{} ist. }{Zeige, dass die kanonische Projektion \maabbdisp {} {E} {E/\sim } {} eine \definitionsverweis {affine Abbildung}{}{} ist. }

}
{} {}