Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 49

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Übungsaufgaben
DBP 1962 385 Wohlfahrt Schneewittchen.jpg

Aufgabe

Schaue in einen Spiegel. Vertauscht die Spiegelung links und rechts, oben und unten, vorne und hinten? Durch welche lineare Abbildung wird eine Spiegelung beschrieben?


Aufgabe

Gibt es Gründe, für Linkshänder andere Schrauben anzufertigen als für Rechtshänder?


Aufgabe

Gilt die Rechte-Hand-Regel auch für Linkshänder?


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Zeige, dass auf der Menge der (geordneten) Basen die Orientierungsgleichheit eine Äquivalenzrelation ist, die bei aus genau zwei Äquivalenzklassen besteht.


Aufgabe

Sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer Basis . Zeige, dass wenn man einen Vektor durch sein Negatives ersetzt, dass dann die neue Basis die entgegengesetzte Orientierung repräsentiert.


Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe *

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe *

Wir betrachten im die drei Vektoren

a) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des repräsentieren?

b) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?


Aufgabe *

Lucy Sonnenschein befindet sich in Position (die Koordinaten seien mit und bezeichnet) und schaut in die positive -Richtung. Alle folgenden Angaben beziehen sich auf ihre jeweilige Position und ihre Ausrichtung, der Uhrzeigersinn bezieht sich auf die Draufsicht. Lucy führt hintereinander folgende Bewegungen aus. Sie macht einen Schritt nach rechts, dann zwei Schritte nach hinten, sie dreht sich um Grad, macht drei Schritte nach links, macht eine Vierteldrehung im Uhrzeigersinn, macht vier Schritte nach rechts und zwei Schritte nach hinten, dreht sich um Grad und macht einen Schritt nach links.

Wo befindet sie sich nach der Gesamtbewegung und in welche Richtung schaut sie?


Aufgabe

Linie.png

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.


Aufgabe

Es seien und zwei endlichdimensionale orientierte reelle Vektorräume und sei

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann orientierungstreu ist, wenn es eine die Orientierung auf repräsentierende Basis gibt, deren Bildvektoren die Orientierung auf repräsentieren.


Aufgabe

Sei und sei eine Permutation auf und die zugehörige Permutationsmatrix. Zeige, dass genau dann orientierungstreu ist, wenn

ist


Aufgabe

Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und die Gruppe der bijektiven linearen Abbildungen auf . Zeige, dass die Menge der orientierungstreuen Abbildungen in einen Normalteiler bilden. Welche Beziehung besteht zum Betrag der Determinante?


Aufgabe *

Wikt puzzle favicon.svg

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere sei, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?


Aufgabe

Bestimme die Ordnung der ebenen Drehung um Grad.


Aufgabe *

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um Grad, von der Drehung um Grad und von der Zwölfteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ?


Aufgabe

Betrachte die Gruppe der Drehungen am Kreis um Vielfache des Winkels Grad. Welche Drehungen sind Erzeuger dieser Gruppe?


Aufgabe

Betrachte ein gleichseitiges Dreieck mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt und mit als einem Eckpunkt. Bestimme die (eigentlichen und uneigentlichen) Matrizen, die den Symmetrien an diesem Dreieck entsprechen.


Aufgabe *

Es sei das Quadrat im mit den Eckpunkten .

  1. Bestimme zu jeder eigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
  2. Bestimme zu jeder uneigentlichen Symmetrie dieses Quadrates die Matrix bezüglich der Standardbasis.
  3. Ist die Gruppe der eigentlichen und uneigentlichen Symmetrien an diesem Quadrat kommutativ?


Aufgabe

Bestimme sämtliche Matrizen, die den Symmetrien eines Quadrates mit den Eckpunkten entsprechen. Sehen diese Matrizen für jedes Quadrat (mit dem Nullpunkt als Mittelpunkt) gleich aus?


Aufgabe

Betrachte ein Rechteck in der Ebene, das kein Quadrat sei, und dessen Mittelpunkt der Nullpunkt sei und dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen mögen. Bestimme die Matrizen, die die (eigentlichen und uneigentlichen) Symmetrien des Rechteckes beschreiben. Erstelle eine Verknüpfungstafel für diese Symmetriegruppe.


Snijden kruisen evenwijdig.png

Aufgabe

Welche Zahlen treten als Ordnungen von eigentlichen Würfelsymmetrien auf? Beschreibe die Wirkungsweise der Symmetrie auf den Eckpunkten, den Kanten und den Seiten des Würfels sowie auf den Raumdiagonalachsen, den Seitenmittelpunktsachsen und den Kantenmittelpunktsachsen.


Aufgabe

Bestimme die vier Bewegungen an einem Würfel mit den Eckpunkten in Matrixschreibweise, die auf abbilden.


Aufgabe

Wie viele (wesentlich verschiedene) Möglichkeiten gibt es, die Seiten eines Würfels von bis zu nummerieren, so dass die Summe gegenüberliegender Seiten stets ergibt?

Wie viele Möglichkeiten gibt es überhaupt?

Aufgabe

Die Ecken eines Würfels seien mit (oder ähnlich) bezeichnet (Skizze!). Beschreibe durch Wertetabellen, wie die folgenden (eigentlichen oder uneigentlichen) Würfelsymmetrien die Eckpunkte permutieren:

  1. ,
  2. ,
  3. .

Was passiert mit den Kantenmittelpunkten unter diesen Bewegungen?

Aufgabe

Sei der Würfel mit den Eckpunkten . Fixiere eine Kantenmittelpunktachse (durch den Nullpunkt). Welche Bewegungen des Würfels lassen sich als Drehung um diese Achse beschreiben? Wie sehen diese Bewegungen in Matrixschreibweise aus, und was passiert dabei mit den Eckpunkten des Würfels?


Aufgabe

Bestimme die Koordinaten eines Tetraeders, bei dem der Nullpunkt der Mittelpunkt ist, die vier Eckpunkte des Tetraeders vom Nullpunkt den Abstand eins besitzen, der Punkt ein Eckpunkt ist und ein weiterer Eckpunkt Koordinaten der Form besitzt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die beiden Basen des ,

die gleiche Orientierung repräsentieren oder nicht.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum. Zeige, dass es auf , aufgefasst als reellen Vektorraum, eine natürliche Orientierung gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum der Dimension und sei das Produkt mit der Produkttopologie versehen. Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige Abbildung

mit der Eigenschaft, dass
für jedes eine

Basis von ist. Zeige, dass sämtliche Basen , , die gleiche Orientierung auf repräsentieren.


Aufgabe (2 Punkte)

Wie viele Elemente besitzt die von der Drehung um Grad, von der Drehung um Grad und von der Siebteldrehung erzeugte Untergruppe der Drehgruppe ?


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei der Würfel mit den Eckpunkten . Es sei eine Dritteldrehung um die Raumdiagonale durch und . Bestimme Ebenengleichungen für diejenigen Ebenen, auf denen je drei Eckpunkte liegen, die durch diese Drehung ineinander überführt werden.


Aufgabe (5 Punkte)

Symmetries of the tetrahedron.svg


Man gebe für die in den obigen Skizzen angedeuteten Symmetrien des Tetraeders eine geeignete Matrixdarstellung.



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