Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 44/latex

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen

\setcounter{section}{44}

In den folgenden Vorlesungen werden wir unsere Methoden um einige wesentliche Aspekte erweitern, indem wir insbesondere Äquivalenzrelationen in algebraischen Strukturen und Restklassenbildung besprechen. Diese Konstruktionen verlaufen für verschiedene algebraische Strukturen \zusatzklammer {Gruppen, Ringe, Vektorräume} {} {} nach dem gleichen Schema, so dass wir diese Konstruktion grundlegend für Gruppen besprechen.






\zwischenueberschrift{Gruppen}

Für ein Element
\mathl{g \in G}{} einer multiplikativ geschriebenen Gruppe $G$ und
\mathl{n \in \N}{} schreibt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g^n }
{ =} {g \cdots g }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {$n$ mal} {} {} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g^{n} }
{ =} {(g^{-1})^{-n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{n \in \Z_-}{.} Aufgrund der Potenzgesetze, siehe Aufgabe 44.2, passt dies zusammen. Für Permutationen und invertierbare Matrizen haben wir schon mehrfach über die Ordnung gesprochen.




\inputdefinition
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Element. Dann nennt man die kleinste positive Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g^n }
{ = }{e_G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionswort {Ordnung}{} von $g$. Man schreibt hierfür
\mathl{\operatorname{ord} \, (g)}{.} Wenn alle positiven Potenzen von $g$ vom neutralen Element verschieden sind, so setzt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{ord} \, (g) }
{ = }{ \infty }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} $G$ heißt \definitionswort {zyklisch}{,} wenn sie von einem Element erzeugt wird.

} Das bedeutet, dass es ein Element
\mathl{g\in G}{} \zusatzklammer {einen \stichwort {Erzeuger} {}} {} {} derart gibt, dass man jedes Element aus $G$ als
\mathl{g^n}{} mit einem
\mathl{n \in \Z}{} schreiben kann. Die Gruppe
\mathl{(\Z,+,0)}{} ist zyklisch, wobei man \mathkor {} {1} {oder} {-1} {} als Erzeuger nehmen kann. Auch die Untergruppen von $\Z$ sind selbst wieder zyklisch, wie die folgende Aussage zeigt.


\inputfaktbeweis
{Untergruppen von Z/Ein Erzeuger/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die \definitionsverweis {Untergruppen}{}{} von $\Z $ sind genau}
\faktfolgerung {die Teilmengen der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z d }
{ =} { { \left\{ kd \mid k \in \Z \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einer eindeutig bestimmten nichtnegativen Zahl $d$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 44.3. }





\inputbeispiel{}
{

Sei
\mathl{n \in \N_+}{} und betrachte auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(n) }
{ =} { \{0, 1 , \ldots , n-1 \} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\mathdisp {a + b := (a+b) \mod n = \begin{cases} a+b, \text{ falls } a+b <n\, , \\ a+b-n, \text{ falls } a+b \geq n \, . \end{cases}} { }
Mit dieser Verknüpfung liegt gemäß Aufgabe 44.15 eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} vor. Da man jedes Element als eine gewisse Summe der $1$ mit sich selbst schreiben kann, liegt eine \definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{} vor.


}






\zwischenueberschrift{Gruppenhomomorphismen}

Gruppenhomomorphismen haben wir schon in der 18ten Vorlesung in Zusammenhang mit dem Signum einer Permutation erwähnt.


\inputdefinition
{}
{

Seien \mathkor {} {(G, \circ, e_G)} {und} {(H, \circ, e_H)} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{.} Eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {G} {H } {} heißt \definitionswort {Gruppenhomomorphismus}{,} wenn die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi( g \circ g') }
{ =} { \psi (g) \circ \psi (g') }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g,g' }
{ \in }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}

Die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $H$ wird mit
\mathdisp {\operatorname{Hom} \, (G,H)} { }
bezeichnet. Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen sind insbesondere Gruppenhomomorphismen. Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.





\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Inverses auf Inverses/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und \maabb {\varphi} {G} {H } {} sei ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi (e_G) }
{ = }{ e_H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (\varphi(g))^{-1} }
{ = }{ \varphi { \left( g^{-1} \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für jedes
\mathl{g \in G}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(e_G) }
{ =} {\varphi(e_G e_G) }
{ =} {\varphi(e_G) \varphi(e_G) }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Durch Multiplikation mit
\mathl{\varphi(e_G)^{-1}}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e_H }
{ = }{ \varphi(e_G) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g^{-1} \right) } \varphi(g) }
{ =} { \varphi { \left( g^{-1} g \right) } }
{ =} { \varphi(e_G) }
{ =} { e_H }
{ } {}
} {}{}{.} Das heißt, dass
\mathl{\varphi { \left( g^{-1} \right) }}{} die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von
\mathl{\varphi(g)}{} charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Lemma 3.2 eindeutig bestimmt ist, muss
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g^{-1} \right) } }
{ = }{(\varphi(g))^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gelten.}
{}

}


\inputfaktbeweistrivial
{Gruppenhomomorphismus/Kategorielle Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es seien
\mathl{F,G,H}{} \definitionsverweis {Gruppen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {} \aufzaehlungvier{Die Identität \maabbdisp {\operatorname{Id}} { G} {G } {} ist ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} }{Sind \mathkor {} {\varphi:F \rightarrow G} {und} {\psi: G \rightarrow H} {} Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung \maabb {\psi \circ \varphi} { F} {H } {} ein Gruppenhomomorphismus. }{Ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \subseteq }{G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{,} so ist die Inklusion
\mathl{F \hookrightarrow G}{} ein Gruppenhomomorphismus. }{Sei $\{e\}$ die \definitionsverweis {triviale Gruppe}{}{.} Dann ist die Abbildung
\mathl{\{e\} \rightarrow G}{,} die $e$ auf $e_G$ schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die \zusatzklammer {konstante} {} {} Abbildung
\mathl{G \rightarrow \{e\}}{} ein Gruppenhomomorphismus. }


}





\inputbeispiel{}
{

Sei
\mathl{d \in \N}{} fixiert. Die Abbildung \maabbeledisp {} {\Z} {\Z } {n} {dn } {,} ist ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Dies folgt unmittelbar aus dem Distributivgesetz. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Abbildung \definitionsverweis {injektiv}{}{} und das Bild ist die \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z d }
{ \subseteq }{ \Z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} liegt die Nullabbildung vor. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Abbildung die \definitionsverweis {Identität}{}{,} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \geq }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist die Abbildung nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{.}


}




\inputbeispiel{}
{

Sei
\mathl{d \in \N_+}{.} Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(d) }
{ =} { \{0,1 , \ldots , d-1\} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit der in Aufgabe 44.15 beschriebenen Addition, die damit eine Gruppe ist. Die Abbildung \maabbdisp {\varphi} {\Z} { \Z/(d) } {,} die eine ganze Zahl $n$ auf ihren Rest bei Division durch $d$ abbildet, ist ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Sind nämlich \mathkor {} {m=ad+r} {und} {n=bd+s} {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0 }
{ \leq }{ r,s }
{ < }{d }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gegeben, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{m+n }
{ =} {(a+b)d +r+s }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei allerdings
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r+s }
{ \geq }{d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sein kann. In diesem Fall ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(m+n) }
{ =} { r+s-d }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und das stimmt mit der Addition von \mathkor {} {r} {und} {s} {} in
\mathl{\Z/(d)}{} überein. Diese Abbildungen sind surjektiv, aber nicht injektiv.


}




\inputbeispiel{}
{

Zu einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und
\mathl{n \in \N_+}{} ist die \definitionsverweis {Determinante}{}{} \maabbeledisp {\det} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }} {K^\times } {M} { \det M } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Dies beruht auf dem Determinantenmultiplikationssatz und Satz 16.11.


}




\inputbeispiel{}
{

Die Zuordnung \maabbeledisp {} {S_n} {\{1,-1\} } {\pi} {\operatorname{sgn}(\pi) } {,} wobei $S_n$ die \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} zu $n$ Elementen bezeichnet, ist nach Satz 18.13 ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}


}





\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Z nach Gruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente
\mathl{g \in G}{} und \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismen}{}{} $\varphi$ von $\Z$ nach $G$ über die Korrespondenz
\mathdisp {g \longmapsto ( n \mapsto g^n ) \text{ und } \varphi \longmapsto \varphi(1)} { . }
}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mathl{g \in G}{} fixiert. Dass die Abbildung \maabbeledisp {\varphi_g} { \Z} {G} {n} {g^n } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi_g(1) }
{ = }{ g^{1} }
{ = }{ g }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus \maabb {\varphi} {\Z} {G } {} durch
\mathl{\varphi(1)}{} eindeutig festgelegt, da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(n) }
{ = }{ (\varphi(1))^{n} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für $n$ positiv und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(n) }
{ = }{ { \left( (\varphi(1))^{-1} \right) }^{-n} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für $n$ negativ gelten muss.

}


Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G }
{ \cong }{ \operatorname{ Hom}_{ } ^{ } { \left( \Z,G \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe $G$ nach $\Z$ sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von $\Z$ nach $\Z$ sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl $a$, also \maabbeledisp {} {\Z} {\Z } {x} {ax } {.}






\zwischenueberschrift{Gruppenisomorphismen}




\inputdefinition
{}
{

Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{.} Einen bijektiven \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} nennt man einen \definitionswort {Isomorphismus}{} \zusatzklammer {oder eine \definitionswort {Isomorphie}{}} {} {.} Die beiden Gruppen heißen \definitionswort {isomorph}{,} wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.

}

Bijektive lineare Abbildungen sind insbesondere Gruppenisomorphismen.





\inputfaktbeweis
{Bijektiver Gruppenhomomorphismus/Umkehrabbildung ist homomorph/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch die Umkehrabbildung \maabbeledisp {\varphi^{-1}} {H} { G} {h} {\varphi^{-1}(h) } {,} ein Gruppenisomorphismus.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \varphi^{-1} (h_1h_2) }
{ =} { \varphi^{-1} { \left( \varphi (\varphi^{-1} (h_1)) \varphi (\varphi^{-1} ( h_2)) \right) } }
{ =} { \varphi^{-1} { \left( \varphi { \left( \varphi^{-1} (h_1) \varphi^{-1} ( h_2) \right) } \right) } }
{ =} { \varphi^{-1} (h_1) \varphi^{-1}(h_2) }
{ } {}
} {} {}{.}

}





\inputbeispiel{}
{

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also
\mathl{(\R, \! 0, \! +)}{,} und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also
\mathl{(\R_+,1,\cdot )}{.} Dann ist die Exponentialabbildung \maabbeledisp {\exp} {\R} {\R_+ } {x} { \exp(x) } {,} ein \definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.} Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\exp(x+y) }
{ =} {e^{x+y} }
{ =} {e^x e^y }
{ =} {\exp(x) \exp(y) }
{ } {}
} {}{}{.} Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.


} Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch
\definitionswortenp{Automorphismen}{.} Die Menge aller Automorphismen auf $G$ bildet mit der Hintereinanderschaltung eine Gruppe, die man mit
\mathl{\operatorname{Aut} \, G}{} bezeichnet und die die \stichwort {Automorphismengruppe} {} zu $G$ nennt. Wichtige Beispiele für Automorphismen sind die sogenannten inneren Automorphismen.




\inputdefinition
{}
{

Sei $G$ eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mathl{g \in G}{} fixiert. Die durch $g$ definierte Abbildung \maabbeledisp {\kappa_g} {G} {G } {x} {gxg^{-1} } {,} heißt \definitionswort {innerer Automorphismus}{.}

} Diese Abbildung $\kappa_g$ heißt auch die \stichwort {Konjugation} {} mit $g$. Wenn $G$ eine kommutative Gruppe ist, so ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ gxg^{-1} }
{ = }{ xgg^{-1} }
{ = }{ x }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Identität der einzige innere Automorphismus. Der Begriff ist also nur bei nicht kommutativen Gruppen von Interesse.





\inputfaktbeweis
{Innerer Automorphismus/Ist Automorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Ein \definitionsverweis {innerer Automorphismus}{}{} ist in der Tat}
\faktfolgerung {ein Automorphismus.}
\faktzusatz {Die Zuordnung \maabbeledisp {} {G} {\operatorname{Aut} \, G } {g} {\kappa_g } {,} ist ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}

}
{

Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\kappa_g(xy) }
{ =} {gxyg^{-1} }
{ =} {gxg^{-1}gyg^{-1} }
{ =} {\kappa_g(x) \kappa_g(y) }
{ } {}
} {}{}{,} so dass ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} vorliegt. Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\kappa_g (\kappa_h(x)) }
{ =} {\kappa_g (hxh^{-1}) }
{ =} {ghxh^{-1}g^{-1} }
{ =} {ghx (gh)^{-1} }
{ =} {\kappa_{gh} }
} {}{}{} ist einerseits
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \verknuepfung {\kappa_g} {\kappa_{g^{-1} } } }
{ =} {\kappa_{g^{-1} g} }
{ =} {\operatorname{id}_G }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{,} so dass $\kappa_g$ bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung $\kappa$ ein Gruppenhomomorphismus.

}





\inputbeispiel{}
{

Zu einer fixierten \definitionsverweis {invertierbaren Matrix}{}{}
\mathl{B \in \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} ist die \definitionsverweis {Konjugation}{}{} \maabbeledisp {\kappa_B} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }} { \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } } {M} {B M B^{-1} } {,} gerade diejenige Abbildung, die der beschreibenden Matrix $M$ zu einer linearen Abbildung bezüglich einer Basis die beschreibende Matrix bezüglich einer neuen Basis zuordnet.


}






\zwischenueberschrift{Der Kern eines Gruppenhomomorphismus}




\inputdefinition
{}
{

Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den \definitionswort {Kern}{} von $\varphi$, geschrieben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi }
{ =} { \varphi^{-1}(e_H) }
{ =} { { \left\{ g \in G \mid \varphi(g)=e_H \right\} } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Kern ist Untergruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabbdisp {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der \definitionsverweis {Kern}{}{} von $\varphi$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $G$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(e_G) }
{ = }{e_H }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathl{e_G \in \ker \varphi}{.} Seien
\mathl{g,g' \in \ker \varphi}{.} Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(g g') }
{ =} { \varphi(g) \varphi(g') }
{ =} { e_H e_H }
{ =} { e_H }
{ } { }
} {}{}{} und daher ist auch
\mathl{gg' \in \ker \varphi}{.} Der Kern ist also ein Untermonoid. Sei nun
\mathl{g \in \ker \varphi}{} und betrachte das inverse Element $g^{-1}$. Nach Lemma 44.6 ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g^{-1} \right) } }
{ =} { (\varphi (g))^{-1} }
{ =} { e_H^{-1} }
{ =} { e_H }
{ } { }
} {}{}{,} also auch
\mathl{g^{-1} \in \ker \varphi}{.}

}







\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Group_homomorphism.eps} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Group homomorphism.svg } {} {Cronholm 144} {Commons} {CC-by-Sa 2.5} {}

Wie für lineare Abbildungen gilt wieder das \stichwort {Kernkriterium für die Injektivität} {.}





\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Injektivität und Kern/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{.}}
\faktfolgerung {Ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\mathl{\varphi:G \rightarrow H}{} ist genau dann \definitionsverweis {injektiv}{}{,} wenn der \definitionsverweis {Kern}{}{} von $\varphi$ trivial ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Wenn $\varphi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element
\mathl{h \in H}{} höchstens ein Element aus $G$ gehen. Da $e_G$ auf $e_H$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf $e_H$ gehen, d.h.
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ker \varphi }
{ = }{ \{e_G\} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass
\mathl{g, \tilde{g} \in G}{} beide auf
\mathl{h \in H}{} geschickt werden. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( g \tilde{g}^{-1} \right) } }
{ =} {\varphi(g) \varphi (\tilde{g})^{-1} }
{ =} {h h^{-1} }
{ =} {e_H }
{ } { }
} {}{}{} und damit ist
\mathl{g \tilde{g}^{-1} \in \ker \varphi}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g \tilde{g}^{-1} }
{ = }{ e_G }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nach Voraussetzung und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g }
{ = }{\tilde{g} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}






\zwischenueberschrift{Das Bild eines Gruppenhomomorphismus}





\inputfaktbeweis
{Gruppenhomomorphismus/Bild ist Untergruppe/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Seien \mathkor {} {G} {und} {H} {} \definitionsverweis {Gruppen}{}{} und sei \maabb {\varphi} {G} {H } {} ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $\varphi$ eine \definitionsverweis {Untergruppe}{}{} von $H$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{B }
{ \defeq }{ \operatorname{bild} \, \varphi }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e_H }
{ = }{\varphi(e_G) }
{ \in }{ B }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Seien
\mathl{h_1,h_2 \in B}{.} Dann gibt es
\mathl{g_1,g_2 \in G}{} mit \mathkor {} {\varphi(g_1)=h_1} {und} {\varphi(g_2)=h_2} {.} Damit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h_1 \cdot h_2 }
{ = }{\varphi(g_1) \cdot \varphi(g_2) }
{ = }{\varphi(g_1 \cdot g_2) }
{ \in }{B }
{ }{}
} {}{}{.} Ebenso gibt es für
\mathl{h \in B}{} ein \mathkor {} {g \in G} {mit} {\varphi(g)=h} {.} Somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h^{-1} }
{ = }{ (\varphi(g))^{-1} }
{ = }{ \varphi(g^{-1}) }
{ \in }{B }
{ }{}
} {}{}{.}

}





\inputbeispiel{}
{

Betrachte die analytische Abbildung \maabbeledisp {} {\R} {{\mathbb C} } {t} {e^{ { \mathrm i} t}=\cos t + { \mathrm i} \sin t } {.} Aufgrund des Exponentialgesetzes \zusatzklammer {bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen} {} {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e^{ { \mathrm i} (t+s)} }
{ = }{e^{ { \mathrm i} t} e^{ { \mathrm i} s} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Daher liegt ein \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{} von der additiven Gruppe
\mathl{(\R,+,0)}{} in die multiplikative Gruppe
\mathl{({\mathbb C}^{\times}, \cdot, 1)}{} vor. Wir bestimmen den \definitionsverweis {Kern}{}{} und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen $t$ bestimmen, für die
\mathdisp {\cos t = 1 \text{ und } \sin t = 0} { }
ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn $t$ ein ganzzahliges Vielfaches von $2 \pi$ ist. Der Kern ist also die \definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
\mathl{2 \pi \Z}{.} Für einen Bildpunkt gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { e^{ { \mathrm i} t} } }
{ = }{\sin^2 t + \cos^2 t }
{ = }{1 }
{ }{}
{ }{}
} {}{}{,} so dass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, so dass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist.


}