Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Liste der Hauptsätze/Zufallsabfrage

???: Eindeutige Existenz des Inversen

Es sei ${}(G,e,\circ )$ eine Gruppe.

Dann ist zu jedem ${}x\in G$ das Element ${}y\in G$ mit

${}x\circ y=y\circ x=e\,$

eindeutig bestimmt.

???: Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper

Es sei ${}K$ ein Körper. Aus ${}a\cdot b=0$

folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$ .

???: Eliminationslemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}S$ ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem über ${}K$ in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ . Es sei ${}x$ eine Variable, die in mindestens einer Gleichung ${}G$ mit einem von ${}0$ verschiedenen Koeffizienten ${}a$ vorkommt.

Dann lässt sich jede von ${}G$ verschiedene Gleichung ${}H$ durch eine Gleichung ${}H'$ ersetzen, in der ${}x$ nicht mehr vorkommt, und zwar so, dass das neue Gleichungssystem ${}S'$ , das aus ${}G$ und den Gleichungen ${}H'$ besteht, äquivalent zum Ausgangssystem ${}S$ ist.

???: Elimination auf Dreiecksgestalt

Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper ${}K$

lässt sich durch die in Lemma 5.3 beschriebenen elementaren Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform

${\begin{matrix}b_{1s_{1}}x_{s_{1}}&+b_{1s_{1}+1}x_{s_{1}+1}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+b_{1n}x_{n}&=&d_{1}\\0&\ldots &0&b_{2s_{2}}x_{s_{2}}&\ldots &\ldots &\ldots &+b_{2n}x_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&b_{m{s_{m}}}x_{s_{m}}&\ldots &+b_{mn}x_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}$

überführen, bei dem alle Startkoeffizienten ${}b_{1s_{1}},b_{2s_{2}},\ldots ,b_{ms_{m}}$ von ${}0$ verschieden sind.

Dabei ist (bei ${}d_{m+1}=0$ ) die letzte Zeile überflüssig oder aber (bei ${}d_{m+1}\neq 0$ ) das System besitzt keine Lösung.

Durch Variablenumbenennungen erhält man ein äquivalentes System der Form

{\begin{matrix}c_{11}y_{1}&+c_{12}y_{2}&\ldots &+c_{1m}y_{m}&+c_{1m+1}y_{m+1}&\ldots &+c_{1n}y_{n}&=&d_{1}\\0&c_{22}y_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &+c_{2n}y_{n}&=&d_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&c_{mm}y_{m}&+c_{mm+1}y_{m+1}&\ldots &+c_{mn}y_{n}&=&d_{m}\\(0&\ldots &\ldots &0&0&\ldots &0&=&d_{m+1})\end{matrix}}

mit Diagonalelementen ${}c_{ii}\neq 0$ .

???: Lösungsmenge zu linearem Gleichungssystem in Dreiecksgestalt

Es sei ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper ${}K$ in Dreiecksgestalt

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}&+a_{12}x_{2}&\ldots &+a_{1m}x_{m}&\ldots &+a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\0&a_{22}x_{2}&\ldots &\ldots &\ldots &+a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &=&\vdots \\0&\ldots &0&a_{mm}x_{m}&\ldots &+a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\\\end{matrix}}

mit ${}m\leq n$ gegeben, wobei vorne die Diagonalelemente ${}a_{ii}$ alle ungleich ${}0$ seien.

Dann stehen die Lösungen ${}(x_{1},\ldots ,x_{m},x_{m+1},\ldots ,x_{n})$ in Bijektion zu den Tupeln ${}(x_{m+1},\ldots ,x_{n})\in K^{n-m}$ . D.h. die hinteren ${}n-m$ Einträge sind frei wählbar und legen eine eindeutige Lösung fest, und jede Lösung wird dabei erfasst.

???: Das Superpositionsprinzip

Es sei ${}K$ ein Körper und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$ und es sei

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}

das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn ${}{\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems und ${}{\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}$ eine Lösung des homogenen Systems ist,

so ist ${}{\left(y_{1}+z_{1},\ldots ,y_{n}+z_{n}\right)}$ eine Lösung des inhomogenen Systems.

???: Lösungsmenge zu homogenem linearen Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}

ein homogenes lineares Gleichungssystem über ${}K$ .

Dann ist die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein Untervektorraum des ${}K^{n}$ (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).

???: Charakterisierungen von Basis

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

Die Familie ist eine Basis von ${}V$ .

Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.

Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung
${}u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}\,.$

Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

???: Existenz von Basen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzt ${}V$ eine endliche Basis.

???: Basisaustauschlemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ . Es sei ${}w\in V$ ein Vektor mit einer Darstellung

{}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,,

wobei ${}s_{k}\neq 0$ sei für ein bestimmtes ${}k$ .

Dann ist auch die Familie

$v_{1},\ldots ,v_{k-1},w,v_{k+1},\ldots ,v_{n}$

eine Basis von ${}V$ .

???: Basisaustauschsatz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einer Basis

b_{1},\ldots ,b_{n}.

Ferner sei

u_{1},\ldots ,u_{k}

eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in ${}V$ .

Dann gibt es eine Teilmenge

${}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I\,$

derart, dass die Familie

$u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$

eine Basis von ${}V$ ist.

Insbesondere ist ${}k\leq n$ .

???: Anzahl von Basiselementen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzen je zwei Basen von ${}V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.

???: Dimension des Standardraums

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$ .

Dann besitzt der Standardraum ${}K^{n}$ die Dimension ${}n$ .

???: Dimension von Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist ${}U$ ebenfalls endlichdimensional und es gilt

${}\operatorname {dim} _{}\left(U\right)\leq \operatorname {dim} _{}\left(V\right)\,.$

???: n Vektoren in n-dimensionalem Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit endlicher Dimension ${}n=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)$ . Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben.

Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$ .

${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$ .

${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

???: Basisergänzungssatz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$ . Es seien

u_{1},\ldots ,u_{k}

linear unabhängige Vektoren in ${}V$ .

Dann gibt es Vektoren

$u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

derart, dass

$u_{1},\ldots ,u_{k},u_{k+1},\ldots ,u_{n}$

eine Basis von ${}V$ bilden.

???: Basiswechsel

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n$ . Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ . Es sei

{}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$ , die wir zur ${}n\times n$ - Matrix

{}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}={\left(c_{ij}\right)}_{ij}\,

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor ${}u$ , der bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {v}}$ die Koordinaten ${}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$ besitzt, bezüglich der Basis ${}{\mathfrak {w}}$ die Koordinaten

${}{\begin{pmatrix}t_{1}\\\vdots \\t_{n}\end{pmatrix}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\ldots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\ldots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\ldots &c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}\,.$

???: Übergangsmatrizen bei drei Basen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n$ . Es seien ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ Basen von ${}V$ .

Dann stehen die Übergangsmatrizen zueinander in der Beziehung

${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\,.$

Insbesondere ist

{}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}\circ M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}=E_{n}\,.

???: Dimension von Untervektorräumen (Durchschnitt und Summe)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume.

Dann ist

${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(U_{2}\right)=\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\cap U_{2}\right)+\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}+U_{2}\right)\,.$

???: Dimensionsabschätzung für den Durchschnitt von Untervektorräumen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum der Dimension ${}n$ und es seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume der Dimension ${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\right)=n-k_{1}$ bzw. ${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{2}\right)=n-k_{2}$ .

Dann ist

${}\operatorname {dim} _{}\left(U_{1}\cap U_{2}\right)\geq n-k_{1}-k_{2}\,.$

???: Dimensionsabschätzung für den Lösungsraum eines linearen Gleicungssystems

Es sei ein homogenes lineares Gleichungssystem aus ${}k$ Gleichungen in ${}n$ Variablen gegeben.

Dann ist die Dimension des Lösungsraumes des Systems mindestens gleich ${}n-k$ .

???: Direktes Komplement

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann gibt es einen Untervektorraum ${}W\subseteq V$ derart, dass eine direkte Summenzerlegung

${}V=U\oplus W\,$

vorliegt.

???: Verknüpfung linearer Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$ . Es seien

\varphi :U\longrightarrow V\,\,{\text{  und }}\,\,\psi :V\longrightarrow W

lineare Abbildungen.

Dann ist auch die Verknüpfung

$\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung.

???: Umkehrabbildung einer linearen Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$ - Vektorräume. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine bijektive lineare Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear.

???: Festlegungssatz für lineare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Es sei ${}v_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Basis von ${}V$ und es seien ${}w_{i}$ , ${}i\in I$ , Elemente in ${}W$ .

Dann gibt es genau eine lineare Abbildung

$f\colon V\longrightarrow W$
mit
$f(v_{i})=w_{i}{\text{ für alle }}i\in I.$

???: Korresponendenz von Matrizen und linearen Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ .

Dann sind die in Definition 10.12 festgelegten Abbildungen

$\varphi \longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ){\text{ und }}M\longmapsto \varphi _{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(M)$

invers zueinander.

???: Isomorphe Vektorräume

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume.

Dann sind ${}V$ und ${}W$ genau dann zueinander isomorph, wenn ihre Dimension übereinstimmt.

Insbesondere ist ein ${}n$ -dimensionaler ${}K$ -Vektorraum isomorph zum ${}K^{n}$ .

???: Injektivitätskriterium

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$ ist.

???: Dimensionsformel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und

\varphi \colon V\longrightarrow W

sei eine ${}K$ - lineare Abbildung und ${}V$ sei endlichdimensional.

Dann gilt

${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)=\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {kern} \varphi \right)+\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {bild} \varphi \right)\,.$

???: Lineare Abbildung zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der gleichen Dimension ${}n$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\varphi$ surjektiv ist.

???: Verknüpfung linearer Abbildungen und Matrizenmultiplikation

Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.

Damit ist folgendes gemeint: es seien ${}U,V,W$ Vektorräume über einem Körper ${}K$ mit Basen

{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{p},\,{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}.

Es seien

\psi :U\longrightarrow V{\text{ und }}\varphi :V\longrightarrow W

lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von ${}\psi ,\,\varphi$ und der Hintereinanderschaltung ${}\varphi \circ \psi$ die Beziehung

{}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {u}}(\varphi \circ \psi )=(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}(\psi ))\,.

???: Basiswechsel bei linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume. Es seien ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {u}}$ Basen von ${}V$ und ${}{\mathfrak {w}}$ und ${}{\mathfrak {z}}$ Basen von ${}W$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen ${}{\mathfrak {v}}$ und ${}{\mathfrak {w}}$ durch die Matrix ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ beschrieben werde.

Dann wird ${}\varphi$ bezüglich der Basen ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {z}}$ durch die Matrix

$M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}\circ (M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi ))\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}$

beschrieben, wobei ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ und ${}M_{\mathfrak {z}}^{\mathfrak {w}}$ die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {u}}$ und von ${}{\mathfrak {w}}$ nach ${}{\mathfrak {z}}$ beschreiben.

???: Basiswechsel für Endomorphismen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es seien ${}{\mathfrak {u}}$ und ${}{\mathfrak {v}}$ Basen von ${}V$ .

Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich ${}{\mathfrak {u}}$ bzw. ${}{\mathfrak {v}}$ (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}(\varphi )=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}\circ M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\circ (M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}})^{-1}\,.$

???: Zeilenumformungen und Elementarmatrizen

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix mit Einträgen in ${}K$ . Dann hat die Multiplikation mit den ${}m\times m$ - Elementarmatrizen von links mit ${}M$ folgende Wirkung.

${}V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der ${}i$ -ten und der ${}j$ -ten Zeile von ${}M$ .

${}(S_{k}(s))\circ M=$ Multiplikation der ${}k$ -ten Zeile von ${}M$ mit ${}s$ .

${}(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des ${}a$ -fachen der ${}j$ -ten Zeile von ${}M$ zur ${}i$ -ten Zeile ( $i\neq j$ ).

???: Rang von Matrix und linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$ . Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde.

Dann gilt

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,.$

???: Zeilenrang und Spaltenrang

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$ - Matrix über ${}K$ .

Dann stimmt der Spaltenrang mit dem Zeilenrang überein.

Der Rang ist gleich der in Satz 12.9 verwendeten Zahl ${}r$ .

???: Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit Rang und linearer Unabhängigkeit

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}M$ ist invertierbar.

Der Rang von ${}M$ ist ${}n$ .

Die Zeilen von ${}M$ sind linear unabhängig.

Die Spalten von ${}M$ sind linear unabhängig.

???: Funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Eine lineare Abbildung
$\varphi \colon U\longrightarrow V$

mit einem weiteren Vektorraum ${}U$ induziert eine lineare Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(U,W\right)},\,f\longmapsto f\circ \varphi .$

Eine lineare Abbildung
$\psi \colon W\longrightarrow T$

mit einem weiteren Vektorraum ${}T$ induziert eine lineare Abbildung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{K}{\left(V,T\right)},\,f\longmapsto \psi \circ f.$

???: Homomorphismenraum und Matrizenraum

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume. Es sei ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ eine Basis von ${}W$ .

Dann ist die Zuordnung

$\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{m\times n}(K),\,f\longmapsto M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(f),$

ein Isomorphismus von ${}K$ -Vektorräumen.

???: Dimension des Homomorphismenraumes

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$ - Vektorräume mit den Dimensionen ${}n$ bzw. ${}m$ .

Dann ist

${}\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,W\right)}\right)=nm\,.$

???: Nulltest mit Linearformen

Es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und es sei ${}v\in V$ ein von ${}0$ verschiedener Vektor.

Dann gibt es eine Linearform ${}f\colon V\rightarrow K$ mit ${}f(v)\neq 0$ .

???: Dualbasis

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ .

Dann bildet die Dualbasis

${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\in {V}^{*}\,$

eine Basis des Dualraums.

???: Basiswechsel für Dualbasen

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$ mit der Dualbasis ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ . Es sei ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ eine weitere Basis mit

{}w_{r}=\sum _{k=1}^{n}a_{kr}v_{k}\,.

Dann ist

${}w_{j}^{*}=\sum _{i=1}^{n}b_{ij}v_{i}^{*}\,,$

wobei ${}{\left(b_{ij}\right)}_{ij}={{\left(A^{-1}\right)}^{\text{tr}}}$ die Transponierte der inversen Matrix von ${}A={\left(a_{kr}\right)}_{kr}$ ist.

???: Zweifach orthogonaler Raum und Dimension des orthogonalen Raumes

Es sei ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum mit Dualraum ${}{V}^{*}$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Zu Untervektorräumen ${}U\subseteq U'\subseteq V$ ist
${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

Zu Untervektorräumen ${}F\subseteq F'\subseteq {V}^{*}$ ist
${}F^{\perp }\supseteq F'^{\perp }\,.$

Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist
${}\left(U^{\perp }\right)^{\perp }=U\,$

und

${}\left(F^{\perp }\right)^{\perp }=F\,.$

Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist
${}\operatorname {dim} _{}\left(U^{\perp }\right)=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)-\operatorname {dim} _{}\left(U\right)\,$

und

${}\operatorname {dim} _{}\left(F^{\perp }\right)=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)-\operatorname {dim} _{}\left(F\right)\,.$

???: Untervektorraum als Kern

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann gibt es Linearformen ${}L_{1},\ldots ,L_{r}$ auf ${}V$ mit

${}U=\bigcap _{i=1}^{r}\operatorname {kern} L_{i}\,.$

Jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ ist der Kern einer linearen Abbildung und jeder Untervektorraum des ${}K^{n}$ ist der Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

???: Beschreibung einer linearen Abbildung mit Linearformen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ , wobei ${}W$ endlichdimensional sei. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung.

Dann gibt es Vektoren ${}w_{1},\ldots ,w_{n}\in W$ und Linearformen ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ auf ${}V$ mit

${}\varphi =f_{1}w_{1}+f_{2}w_{2}+\cdots +f_{n}w_{n}\,.$

???: Matrixbeschreibung für die duale Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler ${}K$ - Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und sei ${}W$ ein ${}m$ -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ . Es seien ${}v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}$ bzw. ${}w_{1}^{*},\ldots ,w_{m}^{*}$ die zugehörigen Dualbasen. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow W

eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die ${}m\times n$ - Matrix

{}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )=(a_{ij})_{ij}\,

beschrieben werde.

Dann wird die duale Abbildung

\varphi ^{*}\colon {W}^{*}\longrightarrow {V}^{*}

bezüglich der Dualbasen von ${}{V}^{*}$ bzw. ${}{W}^{*}$ durch die transponierte Matrix ${}{{\left(M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )\right)}^{\text{tr}}}$ beschrieben.

???: Natürliche Abbildung ins Bidual

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum.

Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung

$\Psi \colon V\longrightarrow {({V}^{*})}^{*},\,v\longmapsto {\left(f\mapsto f(v)\right)}.$

Wenn ${}V$ endlichdimensional ist, so ist ${}\Psi$ ein Isomorphismus.

???: Determinante für obere Dreiecksmatrizen

Für eine obere Dreiecksmatrix

{}M={\begin{pmatrix}b_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&b_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&b_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&b_{n}\end{pmatrix}}\,

ist

${}\det M=b_{1}b_{2}{\cdots }b_{n-1}b_{n}\,.$

Insbesondere ist für die Einheitsmatrix ${}\det E_{n}=1$ .

???: Vertauschungseigenschaft bei alternierender Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ und ${}W$ seien ${}K$ - Vektorräume und sei ${}n\in \mathbb {N}$ . Es sei

\Phi \colon V^{n}=\underbrace {V\times \cdots \times V} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow W

eine alternierende Abbildung.

Dann gilt

$\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{r},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{s},v_{s+1},\ldots ,v_{n})=-\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r-1},v_{s},v_{r+1},\ldots ,v_{s-1},v_{r},v_{s+1},\ldots ,v_{n})\,.$

D.h. wenn man zwei Vektoren vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen.

???: Multilinearität der Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

multilinear.

D.h., dass für jedes ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ , für je ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$ und für ${}u,w\in K^{n}$ die Gleichheit

{}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u+w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}+\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\w\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,

und für ${}s\in K$ die Gleichheit

{}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,

gilt.

???: Strukturelle Eigenschaften der Determinante II

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann ist die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

alternierend.

???: Charakterisierung von invertierbar mit Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

Es ist ${}\det M\neq 0$ .

Die Zeilen von ${}M$ sind linear unabhängig.

${}M$ ist invertierbar.

Es ist ${}\operatorname {rang} \,M=n$ .

???: Satz über die universelle Eigenschaft der Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion

$\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K$

mit

$\triangle (e_{1},\,e_{2},\ldots ,e_{n})=1,$

wobei ${}e_{i}$ die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.

???: Multiplikationssatz für die Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann gilt für Matrizen ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ die Beziehung

${}\det \left(A\circ B\right)=\det A\cdot \det B\,.$

???: Determinante der transponierten Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ -Matrix über ${}K$ .

Dann ist

${}\det M=\det {M^{\text{tr}}}\,.$

???: Entwicklungssatz für Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M=(a_{ij})_{ij}$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Zu ${}i,j\in {\{1,\ldots ,n\}}$ sei ${}M_{ij}$ diejenige Matrix, die entsteht, wenn man in ${}M$ die ${}i$ -te Zeile und die ${}j$ -te Spalte weglässt.

Dann ist (bei ${}n\geq 2$ für jedes feste ${}i$ bzw. ${}j$ )

${}\det M=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det M_{ij}\,.$

???: Adjungierte Matrix und Determinante

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ .

Dann ist

${}(M^{\operatorname {adj} })\cdot M=M\cdot (M^{\operatorname {adj} })=(\det M)E_{n}\,$

Wenn ${}M$ invertierbar ist, so ist

{}M^{-1}={\frac {1}{\det M}}\cdot M^{\operatorname {adj} }\,.

???: Die Cramersche Regel

Es sei ${}K$ ein Körper und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&c_{n}\end{matrix}}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ invertierbar sei.

Dann erhält man die eindeutige Lösung für ${}x_{j}$ durch ${}x_{j}={\frac {\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&c_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&c_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}{\det M}}$ .

???: Ordnung der Permutationsgruppe

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}n$ Elementen.

Dann besitzt die Permutationsgruppe ${}\operatorname {Perm} \,(M)\cong S_{n}$ genau ${}n!$ Elemente.

???: Permutationen und Transpositionen

Jede Permutation auf einer endlichen Menge ${}M$

kann man als Produkt von Transpositionen schreiben.

???: Signum und Fehlstände

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$ . Es sei ${}k={\#\left(F\right)}$ die Anzahl der Fehlstände von ${}\pi$ .

Dann ist das Signum von ${}\pi$ gleich

${}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{k}\,.$

???: Signum als Abbildung

Die durch das Signum gegebene Zuordnung

$S_{n}\longrightarrow \{1,-1\},\,\pi \longmapsto \operatorname {sgn} (\pi ),$

ist ein Gruppenhomomorphismus.

???: Signum und Transpositionen

Es sei ${}M={\{1,\ldots ,n\}}$ und sei ${}\pi$ eine Permutation auf ${}M$ . Es sei

{}\pi =\tau _{1}\cdots \tau _{r}\,

als ein Produkt von ${}r$ Transpositionen geschrieben.

Dann gilt für das Signum die Darstellung

${}\operatorname {sgn} (\pi )=(-1)^{r}\,.$

???: Leibniz-Formel für die Determinante

Für die Determinante einer ${}n\times n$ - Matrix

{}M=(a_{ij})_{ij}\,

gilt

${}\det M=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )a_{1\pi (1)}\cdots a_{n\pi (n)}\,.$

???: Division mit Rest (Polynomring)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es seien ${}P,T\in K[X]$ Polynome mit ${}T\neq 0$ .

Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

$P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

???: Linearer Faktor und Nullstelle eines Polynoms

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$ .

Dann ist ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ , wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

???: Anzahl von Nullstellen eines Polynoms

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ . Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom ( $\neq 0$ ) vom Grad ${}d$ .

Dann besitzt ${}P$ maximal ${}d$ Nullstellen.

???: Der Fundamentalsatz der Algebra

Jedes nichtkonstante Polynom ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ über den komplexen Zahlen

besitzt eine Nullstelle.

???: Interpolationssatz für Polynome

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben.

Dann gibt es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P{\left(a_{i}\right)}=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

???: Ideale im Polynomring sind ...

In einem Polynomring über einem Körper

ist jedes Ideal ein Hauptideal.

???: Eigenwerte zu Endomorphismus und Matrix

Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und es sei ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Basis von ${}V$ . Es sei ${}M=M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {u}}$ die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis.

Dann ist ${}v\in V$ genau dann ein Eigenvektor zu ${}\varphi$ zum Eigenwert ${}a$ , wenn das Koordinatentupel zu ${}v$ bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}a$ ist.

Insbesondere besitzen ${}\varphi$ und ${}M$ die gleichen Eigenwerte.

???: Eigenraum als Kern

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es sei ${}\lambda \in K$ .

Dann ist

${}\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}=\operatorname {kern} {\left(\lambda \cdot \operatorname {Id} _{V}-\varphi \right)}\,.$

???: Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$ - Vektorraum und

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Es seien ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ Eigenvektoren zu (paarweise) verschiedenen Eigenwerten ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in K$ .

Dann sind ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig.

???: Eigenwerte bei endlichdimensionalem Vektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann gibt es maximal ${}\operatorname {dim} _{}\left(V\right)$ viele Eigenwerte zu ${}\varphi$ .

???: Diagonalisierbare Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist diagonalisierbar.

Es gibt eine Basis ${}{\mathfrak {v}}$ von ${}V$ derart, dass die beschreibende Matrix ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {v}}(\varphi )$ eine Diagonalmatrix ist.

Für jede beschreibende Matrix ${}M=M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {w}}(\varphi )$ bezüglich einer Basis ${}{\mathfrak {w}}$ gibt es eine invertierbare Matrix ${}B$ derart, dass
$BMB^{-1}$

eine Diagonalmatrix ist.

???: Diagonalisierbarkeit und Eigenräume

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn ${}V$ die direkte Summe der Eigenräume ist.

???: Satz über Eigenwerte und charakteristisches Polynom

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein ${}n$ - dimensionaler Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\lambda \in K$ genau dann ein Eigenwert von ${}\varphi$ , wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ${}\chi _{\varphi }$ ist.

???: Geometrische und algebraische Vielfachheit

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung und ${}\lambda \in K$ .

Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

${}\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)\leq \mu _{\lambda }(\varphi )\,.$

???: Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann ist ${}\varphi$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle ${}\lambda$ mit der algebraischen Vielfachheit ${}\mu _{\lambda }$ die Gleichheit

${}\mu _{\lambda }=\operatorname {dim} _{}\left(\operatorname {Eig} _{\lambda }{\left(\varphi \right)}\right)\,$

gilt.

???: Der Satz von Cayley-Hamilton

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ - Matrix über ${}K$ . Es sei

{}\chi _{M}=X^{n}+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots +c_{1}X+c_{0}\,

das charakteristische Polynom zu ${}M$ .

Dann gilt

${}\chi _{M}\,(M)=M^{n}+c_{n-1}M^{n-1}+\cdots +c_{1}M+c_{0}=0\,.$

Das heißt, dass die Matrix das charakteristische Polynom annulliert.

???: Nullstellen von Minimalpolynom und charakteristischem Polynom

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$ und es sei

f\colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung.

Dann besitzen das charakteristische Polynom ${}\chi _{f}$ und das Minimalpolynom ${}\mu _{f}$ die gleichen Nullstellen.

???: Charakterisierung von trigonalisierbaren Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

${}\varphi$ ist trigonalisierbar.

Es gibt eine ${}\varphi$ - invariante Fahne.

Das charakteristische Polynom ${}\chi _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Das Minimalpolynom ${}\mu _{\varphi }$ zerfällt in Linearfaktoren.

Wenn ${}\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix ${}M$ beschrieben wird, so gibt es eine invertierbare Matrix (es sei ${}n=\operatorname {dim} _{}\left(V\right)$ ) ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(K)$ derart, dass ${}BMB^{-1}$ eine obere Dreiecksmatrix ist.

???: Das Lemma von Bezout

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}P_{1},\ldots ,P_{n}$ Polynome über ${}K$ . Es sei ${}G$ ein größter gemeinsamer Teiler der ${}P_{i}$ .

Dann gibt es eine Darstellung

${}G=Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\,$

mit ${}Q_{1},\ldots ,Q_{n}\in K[X]$ .

???: Dimension der Haupträume

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ und sei ${}\lambda \in K$ .

Dann ist die Dimension des Hauptraumes ${}\operatorname {Haupt} _{\lambda }(\varphi )$ gleich der algebraischen Vielfachheit von ${}\lambda$ .

???: Direkte Summe der Haupträume

Sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

ein trigonalisierbarer ${}K$ - Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ .

Dann ist ${}V$ die direkte Summe der Haupträume, also

${}V=\operatorname {Haupt} _{\lambda _{1}}(\varphi )\oplus \cdots \oplus \operatorname {Haupt} _{\lambda _{m}}(\varphi )\,,$

wobei ${}\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{m}$ die verschiedenen Eigenwerte zu ${}\varphi$ durchläuft, und ${}\varphi$ ist die direkte Summe der Einschränkungen

$\varphi _{i}=\varphi {|}_{H_{i}}\colon H_{i}\longrightarrow H_{i}$

auf den Haupträumen.

???: Satz von der kanonischen additiven Zerlegung

Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

ein trigonalisierbarer ${}K$ - Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$ .

Dann gibt es eine Zerlegung

${}\varphi =\varphi _{\rm {diag}}+\varphi _{\rm {nil}}\,,$

wobei ${}\varphi _{\rm {diag}}$ diagonalisierbar und ${}\varphi _{\rm {nil}}$ nilpotent ist, und zusätzlich

${}\varphi _{\rm {diag}}\circ \varphi _{\rm {nil}}=\varphi _{\rm {nil}}\circ \varphi _{\rm {diag}}\,$

gilt.

???: Jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$ - Vektorraum. Es sei

\varphi \colon V\longrightarrow V

eine nilpotente lineare Abbildung.

Dann gibt es eine Basis von ${}V$ , bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}0&c_{1}&0&\cdots &\cdots &0\\0&0&c_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&0&c_{n-2}&0\\0&\cdots &\cdots &0&0&c_{n-1}\\0&\cdots &\cdots &\cdots &0&0\end{pmatrix}}$

besitzt, wobei die ${}c_{i}$ gleich ${}0$ oder gleich ${}1$ sind.

D.h., dass ${}\varphi$ auf jordansche Normalform gebracht werden kann.

???: Jordansche Normalform

Zu jedem trigonalisierbaren Endomorphismus

\varphi \colon V\longrightarrow V

auf einem endlichdimensionalen ${}K$ - Vektorraum ${}V$

gibt es eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix jordansche Normalform besitzt.

???: Satz über baryzentrische Koordinaten

Es sei ${}P_{i}$ , ${}i\in I$ , eine affine Basis in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ .

Dann gibt es für jeden Punkt ${}P\in E$ eine eindeutige baryzentrische Darstellung

${}P=\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\,.$

???: Charakterisierung einer affinen Abbildung mit baryzentrischen Kombinationen

Es seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über einem Körper ${}K$ und sei

\psi \colon E\longrightarrow F

eine Abbildung.

Dann ist ${}\psi$ genau dann affin-linear, wenn für jede baryzentrische Kombination ${}\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}$ mit ${}P_{i}\in E$ die Gleichheit

${}\psi {\left(\sum _{i\in I}a_{i}P_{i}\right)}=\sum _{i\in I}a_{i}\psi (P_{i})\,$

gilt.

???: Festlegungssatz für affine Abbildungen

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$ . Es sei ${}P_{i}$ , ${}i\in I$ , eine affine Basis von ${}E$ und ${}Q_{i}$ , ${}i\in I$ , eine Familie von Punkten in ${}F$ .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte affin-lineare Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F$

mit

${}\psi (P_{i})=Q_{i}\,$

für alle ${}i\in I$ .