Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 32/latex
\setcounter{section}{32}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v+u} \Vert
}
{ = }{ \Vert {v-u} \Vert
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle v , u \right\rangle
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, welche der folgenden Vektoren im $\R^3$ zueinander
\definitionsverweis {orthogonal}{}{}
bezüglich des
\definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{}
sind.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 \\1\\ 5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 3 \\-8\\ -2 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 0 \\-1\\ 4 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -5 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, welche der folgenden Vektoren im ${\mathbb C}^2$ zueinander
\definitionsverweis {orthogonal}{}{}
bezüglich des
\definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{}
sind.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6-3 { \mathrm i} \\- { \mathrm i} \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 4-7 { \mathrm i} \\-9-5 { \mathrm i} \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } { \mathrm i} \\2 + { \mathrm i} \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } \\-1-2 { \mathrm i} \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} { \frac{ 1 }{ 3 } } \\-1+2 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein fixierter Vektor und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mathdisp {{ \left\{ u \in V \mid \left\langle u , v \right\rangle = a \right\} }} { }
ein
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{}
von $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Diskutiere den Satz des Pythagoras im Sinne von Satz 32.3 im Vergleich zu der elementargeometrischen Version.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
ebenfalls ein Untervektorraum von $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}
Es sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $U$. Zeige, dass ein Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann zum
\definitionsverweis {orthogonalen Komplement}{}{}
$U^{ { \perp } }$ gehört, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , u_i \right\rangle
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
zu dem von
\mathl{\begin{pmatrix} -2 \\8\\ 9 \end{pmatrix}}{}
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{}
im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 5 \\8\\ -3\\9 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 6 \\2\\ 0\\3 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
$\left\langle - , - \right\rangle$ und sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{}
von $V$. Zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei der von
\mathbed {v_i} {}
{i \in J} {}
{} {} {} {,}
\definitionsverweis {erzeugte Untervektorraum}{}{}
mit $U_J$ bezeichnet. Zeige, dass das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
von $U_J$ gleich
\mathl{U_{I \setminus J}}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte eine Ecke in einem \zusatzklammer {rechtwinkligen} {} {} Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge $1$ eine \definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {komplexer Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$. Zeige, dass
\mathdisp {u_1, { \mathrm i} u_1,u_2, { \mathrm i} u_2 , \ldots , u_n, { \mathrm i} u_n} { }
eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums $V$ bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein reeller
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} und sei
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$. Zeige, dass für Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ = }{ \sum_{i \in I} a_i u_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ = }{ \sum_{i \in I} b_i u_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \sum_{i \in I} a_ib_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
Die folgende Aufgabe ist die Grundlage der sogenannten \stichwort {Fourier-Analysis} {,} bei der es darum geht, Schwingungen als Limes von trigonometrischen Schwingungen darzustellen.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die Funktionen
\maabbdisp {f_m} { [0,1]} {{\mathbb C}
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f_m(x)
}
{ \defeq} { e^{2 \pi { \mathrm i} m x }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ m
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Raum der stetigen Funktionen von $[0,1]$ nach ${\mathbb C}$ ein
\definitionsverweis {Orthonormalsystem}{}{}
bezüglich des durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle f , g \right\rangle
}
{ \defeq} { \int_0^1 f \overline{ g } dx
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen
\definitionsverweis {Skalarproduktes}{}{}
bilden. Man verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$ an.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wende das
\definitionsverweis {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren}{}{}
auf die
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ -1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 3 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wende das
Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
auf die Basis
\mathdisp {\begin{pmatrix} -1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\-4\\ 5 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 7 \\3\\ 1 \end{pmatrix}} { }
des $\R^3$, versehen mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{,}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wende das
\definitionsverweis {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren}{}{}
auf die
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 4- { \mathrm i} \\3 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} { \mathrm i} \\2- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
des ${\mathbb C}^2$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Erstelle eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
des $\R^3$, die ein Vielfaches von
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}}{} enthält.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^3$ sei mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
versehen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} { \R^3 } { \R
} { (x,y,z) } { 3x+y+7z
} {,}
versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
für $U$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Der $\R^4$ sei mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{} versehen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {\R^4} {\R
} { (x,y,z,w) } { 4x-3y+2z-5w
} {,}
versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
für $U$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Formuliere und beweise den \anfuehrung{orthonormalen Basisergän\-zungssatz}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U_1,U_2
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Zeige, dass für die
\definitionsverweis {orthogonalen Komplemente}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U_1 \cap U_2 \right) } ^{ { \perp } }
}
{ =} { U_1^{ { \perp } } + U_2^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.} Zeige die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungvier{Zu
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{U'
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ { \perp } }
}
{ \supseteq} { U'^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0^{ { \perp } }
}
{ = }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V^{ { \perp } }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $V$
\definitionsverweis {endlichdimensional}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( U^{ { \perp } } \right) } ^{ { \perp } }
}
{ =} { U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es sei $V$ endlichdimensional. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( U^{ { \perp } } \right) }
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) } - \dim_{ K } { \left( U \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Zeige, dass durch \maabbeledisp {} {V} { { V }^{ * } } {v} { { \left( w \mapsto \left\langle v , w \right\rangle \right) } } {,} eine \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} zwischen $V$ und seinem \definitionsverweis {Dualraum}{}{} ${ V }^{ * }$ gestiftet wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise Korollar 32.13 mit Hilfe von Aufgabe 32.25 und Lemma 15.6.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Wert des Vektors
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 \\-5\\ -3 \end{pmatrix}
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter der
\definitionsverweis {orthogonalen Projektion}{}{}
auf die von
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\4\\ 9 \end{pmatrix}}{}
\definitionsverweis {erzeugte Gerade}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Wert des Vektors
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 3 \\4\\ -2 \end{pmatrix}
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter der
\definitionsverweis {orthogonalen Projektion}{}{}
auf den von
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 3 \\0\\ 6 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 1 \\7\\ 1 \end{pmatrix}} {}
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein endlichdimensionaler
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq} { W
}
{ \subseteq} {V
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Es bezeichne
\mathl{p^V_U}{} die
\definitionsverweis {orthogonale Projektion}{}{}
von $U$ auf $V$. Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{p^V_U
}
{ =} { p_U^W \circ p_W^V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{} zu dem von \mathkor {} {\begin{pmatrix} 8 \\3\\ -6\\-4 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 4 \\-2\\ 7\\5 \end{pmatrix}} {} \definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{} im $\R^4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3 (1+1+1)}
{
Die komplexen Zahlen ${\mathbb C}$ seien mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} versehen.
\aufzaehlungdrei{Bestimme zu dem von
\mathl{4+7 { \mathrm i}}{} erzeugten komplexen Untervektorraum von ${\mathbb C}$ das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
bezüglich
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}
}{Bestimme zu dem von
\mathl{4+7 { \mathrm i}}{} erzeugten komplexen Untervektorraum von ${\mathbb C}$ das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
bezüglich des Realteils zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{}
\zusatzklammer {also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt} {} {.}
}{Bestimme zu dem von
\mathl{4+7 { \mathrm i}}{} erzeugten reellen Untervektorraum von ${\mathbb C}$ das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
bezüglich des Realteils zu
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Wende das
\definitionsverweis {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren}{}{}
auf die
\definitionsverweis {linear unabhängigen}{}{}
polynomialen Funktionen
\mathdisp {1,x,x^2,x^3 \in V= { \left\{ f :[0,1] \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} }} { }
mit dem in
Beispiel 31.6
beschriebenen
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Wende das
\definitionsverweis {Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren}{}{}
auf die
\definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5-2{ \mathrm i} \\3-3{ \mathrm i} \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 6-{ \mathrm i} \\-2+4 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
des ${\mathbb C}^2$ an.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme den Wert des Vektors
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 7 \\6\\ 8 \end{pmatrix}
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
unter der
\definitionsverweis {orthogonalen Projektion}{}{}
auf den von
\mathkor {} {\begin{pmatrix} 2 \\2\\ 5 \end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix} 4 \\-1\\ 3 \end{pmatrix}} {}
\definitionsverweis {erzeugten Untervektorraum}{}{.}
}
{} {}