Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 32

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass für ${}u,v\in V$ die Gleichheit ${}\Vert {v+u}\Vert =\Vert {v-u}\Vert$ genau dann gilt, wenn ${}\left\langle v,u\right\rangle =0$ ist.

Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{3}$ zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.

${\begin{pmatrix}6\\1\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}3\\-8\\-2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\-1\\4\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-5\\4\\-1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Bestimme, welche der folgenden Vektoren im ${}{\mathbb {C} }^{2}$ zueinander orthogonal bezüglich des Standardskalarproduktes sind.

${\begin{pmatrix}6-3{\mathrm {i} }\\-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4-7{\mathrm {i} }\\-9-5{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}{\mathrm {i} }\\2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\-1-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}\\-1+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Es sei ${}v\in V$ ein fixierter Vektor und ${}a\in {\mathbb {K} }$. Zeige, dass

${\left\{u\in V\mid \left\langle u,v\right\rangle =a\right\}}$

ein affiner Unterraum von ${}V$ ist.

Aufgabe

Diskutiere den Satz des Pythagoras im Sinne von Satz 32.3 im Vergleich zu der elementargeometrischen Version.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Zeige, dass das orthogonale Komplement ebenfalls ein Untervektorraum von ${}V$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Es sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}U$. Zeige, dass ein Vektor ${}v\in V$ genau dann zum orthogonalen Komplement ${}U^{\perp }$ gehört, wenn

${}\left\langle v,u_{i}\right\rangle =0\,$

für alle ${}i\in I$ ist.

Aufgabe *

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${}{\begin{pmatrix}-2\\8\\9\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${}{\begin{pmatrix}5\\8\\-3\\9\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}6\\2\\0\\3\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im ${}\mathbb {R} ^{4}$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Orthogonalbasis von ${}V$. Zu jeder Teilmenge ${}J\subseteq I$ sei der von ${}v_{i}$, ${}i\in J$, erzeugte Untervektorraum mit ${}U_{J}$ bezeichnet. Zeige, dass das orthogonale Komplement von ${}U_{J}$ gleich ${}U_{I\setminus J}$ ist.

Aufgabe

Betrachte eine Ecke in einem (rechtwinkligen) Zimmer. Bilden die drei Diagonalvektoren in den beiden anliegenden Wänden und dem Boden der Länge ${}1$ eine Orthonormalbasis?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$. Zeige, dass

$u_{1},{\mathrm {i} }u_{1},u_{2},{\mathrm {i} }u_{2},\ldots ,u_{n},{\mathrm {i} }u_{n}$

eine Orthonormalbasis des reellen Vektorraums ${}V$ bezüglich des zugehörigen reellen Skalarprodukts ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und sei ${}u_{i}$, ${}i\in I$, eine Orthonormalbasis von ${}V$. Zeige, dass für Vektoren ${}v=\sum _{i\in I}a_{i}u_{i}$ und ${}w=\sum _{i\in I}b_{i}u_{i}$ die Gleichheit

${}\left\langle v,w\right\rangle =\sum _{i\in I}a_{i}b_{i}\,$

gilt.

Die folgende Aufgabe ist die Grundlage der sogenannten Fourier-Analysis, bei der es darum geht, Schwingungen als Limes von trigonometrischen Schwingungen darzustellen.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktionen

$f_{m}\colon [0,1]\longrightarrow {\mathbb {C} }$

mit

${}f_{m}(x):=e^{2\pi {\mathrm {i} }mx}\,$

zu ${}m\in \mathbb {Z}$ im Raum der stetigen Funktionen von ${}[0,1]$ nach ${}{\mathbb {C} }$ ein Orthonormalsystem bezüglich des durch

${}\left\langle f,g\right\rangle :=\int _{0}^{1}f{\overline {g}}dx\,$

gegebenen Skalarproduktes bilden. Man verwende dabei Grundtatsachen über die komplexe Exponentialfunktion.

Aufgabe *

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe *

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$ an.

Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}-1\\2\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\-4\\5\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}7\\3\\1\end{pmatrix}}$

des ${}\mathbb {R} ^{3}$, versehen mit dem Standardskalarprodukt, an.

Aufgabe

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}4-{\mathrm {i} }\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}{\mathrm {i} }\\2-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

des ${}{\mathbb {C} }^{2}$ an.

Aufgabe

Erstelle eine Orthonormalbasis des ${}\mathbb {R} ^{3}$, die ein Vielfaches von ${}{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$ enthält.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{3}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ der Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 3x+y+7z,$

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für ${}U$.

Aufgabe

Der ${}\mathbb {R} ^{4}$ sei mit dem Standardskalarprodukt versehen. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{4}$ der Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z,w)\longmapsto 4x-3y+2z-5w,$

versehen mit dem eingeschränkten Skalarprodukt. Man bestimme eine Orthonormalbasis für ${}U$.

Aufgabe

Formuliere und beweise den „orthonormalen Basisergänzungssatz“.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und seien ${}U_{1},U_{2}\subseteq V$ Untervektorräume. Zeige, dass für die orthogonalen Komplemente die Gleichheit

${}{\left(U_{1}\cap U_{2}\right)}^{\perp }=U_{1}^{\perp }+U_{2}^{\perp }\,$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Zu Untervektorräumen ${}U\subseteq U'\subseteq V$ ist

   ${}U^{\perp }\supseteq U'^{\perp }\,.$

2. Es ist ${}0^{\perp }=V$ und ${}V^{\perp }=0$.
3. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}{\left(U^{\perp }\right)}^{\perp }=U\,.$

4. Es sei ${}V$ endlichdimensional. Dann ist

   ${}\dim _{K}{\left(U^{\perp }\right)}=\dim _{K}{\left(V\right)}-\dim _{K}{\left(U\right)}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Zeige, dass durch

$V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto {\left(w\mapsto \left\langle v,w\right\rangle \right)},$

eine Isomorphie zwischen ${}V$ und seinem Dualraum ${}{V}^{*}$ gestiftet wird.

Aufgabe

Beweise Korollar 32.13 mit Hilfe von Aufgabe 32.25 und Lemma 15.6.

Aufgabe

Bestimme den Wert des Vektors ${}{\begin{pmatrix}3\\-5\\-3\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ unter der orthogonalen Projektion auf die von ${}{\begin{pmatrix}2\\4\\9\end{pmatrix}}$ erzeugte Gerade.

Aufgabe

Bestimme den Wert des Vektors ${}{\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ unter der orthogonalen Projektion auf den von ${}{\begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}1\\7\\1\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es seien

${}U\subseteq W\subseteq V\,$

Untervektorräume. Es bezeichne ${}p_{U}^{V}$ die orthogonale Projektion von ${}U$ auf ${}V$. Zeige

${}p_{U}^{V}=p_{U}^{W}\circ p_{W}^{V}\,.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von ${}{\begin{pmatrix}8\\3\\-6\\-4\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}4\\-2\\7\\5\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum im ${}\mathbb {R} ^{4}$.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Die komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ seien mit dem Standardskalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ versehen.

1. Bestimme zu dem von ${}4+7{\mathrm {i} }$ erzeugten komplexen Untervektorraum von ${}{\mathbb {C} }$ das orthogonale Komplement bezüglich ${}\left\langle -,-\right\rangle$.
2. Bestimme zu dem von ${}4+7{\mathrm {i} }$ erzeugten komplexen Untervektorraum von ${}{\mathbb {C} }$ das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$ (also dem zugehörigen reellen Skalarprodukt).
3. Bestimme zu dem von ${}4+7{\mathrm {i} }$ erzeugten reellen Untervektorraum von ${}{\mathbb {C} }$ das orthogonale Komplement bezüglich des Realteils zu ${}\left\langle -,-\right\rangle$.

Aufgabe (5 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die linear unabhängigen polynomialen Funktionen

$1,x,x^{2},x^{3}\in V={\left\{f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} \mid f{\text{ stetig}}\right\}}$

mit dem in Beispiel 31.6 beschriebenen Skalarprodukt an.

Aufgabe (2 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

${\begin{pmatrix}5-2{\mathrm {i} }\\3-3{\mathrm {i} }\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}6-{\mathrm {i} }\\-2+4{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

des ${}{\mathbb {C} }^{2}$ an.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Wert des Vektors ${}{\begin{pmatrix}7\\6\\8\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}$ unter der orthogonalen Projektion auf den von ${}{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}4\\-1\\3\end{pmatrix}}$ erzeugten Untervektorraum.