Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 40

Übungsaufgaben

Aufgabe

Berechne

$⟨\left(\begin{array}{c}-8\\ 3\\ -3\\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 7\\ -4\end{array}\right)⟩$

in einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum.

Aufgabe

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum.

a) Zeige, dass ein skalares Vielfaches eines zeitartigen (raumartigen, lichtartigen) Vektors wieder zeitartig (raumartig, lichtartig) ist.

b) Zeige, dass die Summe von zwei zeitartigen (raumartigen, lichtartigen) Vektoren im Allgemeinen nicht wieder zeitartig (raumartig, lichtartig) ist.

Aufgabe *

Ist die Einschränkung einer Minkowski-Form im ${ℝ}^n$ auf einen $n-1$-dimensionalen Untervektorraum wieder eine Minkowski-Form?

Aufgabe

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $⟨-,-⟩$. Zeige, dass es zu jedem Beobachtervektor  $v\in V$  eine direkte Summenzerlegung

$V=ℝv\oplus (ℝv{)}^{\perp }$

gibt, wobei die Einschränkung der Minkowski-Form auf $ℝv$ negativ definit und die Einschränkung der Minkowski-Form auf $(ℝv{)}^{\perp }$ positiv definit ist.

Aufgabe

Der ${ℝ}^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass $\left(\begin{array}{c}\frac{25}{24}\\ \frac{7}{24}\end{array}\right)$ der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.

Aufgabe *

Der ${ℝ}^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass $\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{5}}{2}\\ \frac{3}{2}\end{array}\right)$ ein Beobachtervektor ist und bestimme die Raumkomponente dazu.

Aufgabe *

Der ${ℝ}^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu jedem Beobachtervektor $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ die Raumkomponente des Beobachters die Spiegelung seiner Zeitkomponente an der Hauptdiagonalen ist.

Die Hyperbelfunktionen werden in Analysis 1 eingeführt.

Aufgabe

Der ${ℝ}^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu  $\alpha \in ℝ$  der Vektor $\left(\begin{array}{c}\sinh \alpha \\ \cosh \alpha \end{array}\right)$ der Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters ist. Bestimme die Raumkomponente zu diesem Vektor.

Aufgabe *

Der ${ℝ}^2$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu $z\in ℝ$, $z\ne 0$, die Vektoren

$\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}z-\frac{1}{z}\\ z+\frac{1}{z}\end{array}\right)\text{ und }\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}-z+\frac{1}{z}\\ z+\frac{1}{z}\end{array}\right)$

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $⟨-,-⟩$ und es seien $v,w$ gleichgerichtete Beobachtervektoren. Zeige

$⟨v,w⟩<0.$

Aufgabe

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum. Zeige, dass die Menge der Beobachtervektoren in zwei Wegzusammenhangskomponenten zerfallen. Zeige, dass zwei Beobachtervektoren $v,w$ genau dann zur gleichen Komponente gehören, wenn

$⟨v,w⟩<0$

ist.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein Minkowski-Raum mit der Minkowski-Form $⟨-,-⟩$ und es seien $v,w$ zeitartige Vektoren. Zeige die Abschätzung

${⟨v,w⟩}^2\ge ⟨v,v⟩\cdot ⟨w,w⟩.$

Aufgabe

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum besitze ein Ereignis die Koordinaten $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 1\\ 4\end{array}\right)$ bezüglich einer Minkowski-Basis. Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des Beobachtervektors $\left(\begin{array}{c}\frac{3}{4}\\ 0\\ 0\\ \frac{5}{4}\end{array}\right)$.

Aufgabe

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum seien zwei Beobachter $B$ und $C$ mit den zugehörigen Raumkomponenten $V_B$ und $V_C$ gegeben. Was kann man über $V_B\cap V_C$ sagen?

Aufgabe

Es sei $V$ ein zweidimensionaler Minkowski-Raum.

a) Zeige, dass es eine Basis von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $1$ sind.

b) Zeige, dass es eine Basis von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $-1$ sind.

c) Zeige, dass es eine Basis von $V$ derart gibt, dass die beiden Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $0$ sind.

Aufgabe

Bestimme den Geschwindigkeitsvektor eines Beobachters $B$ in einem Minkowski-Raum relativ zu sich selbst und die Relativgeschwindigkeit.

Aufgabe

Es seien $B$ und $C$ Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten

$v_B=\left(\begin{array}{c}2\\ 0\\ 0\\ \sqrt{5}\end{array}\right)$

und

$v_C=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ -1\\ \sqrt{2}\end{array}\right).$

a) Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $C$ relativ zu $B$.

b) Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $B$ relativ zu $C$.

c) Bestimme die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.

Aufgabe

Zeige, dass die Relativgeschwindigkeit von zwei Beobachtern in einem Minkowski-Raum zwischen $0$ und $1$ liegt. Kann $1$ erreicht werden? Was ist die physikalische Signifikanz dieser Aussage?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (1 Punkt)

Berechne

$⟨\left(\begin{array}{c}5\\ 8\\ -11\\ -13\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-4\\ -9\\ 17\\ 6\end{array}\right)⟩$

in einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum.

Aufgabe (4 Punkte)

Der ${ℝ}^3$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass $\left(\begin{array}{c}\frac{\sqrt{6}}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{4}{3}\end{array}\right)$ ein Beobachtervektor ist und bestimme eine Orthonormalbasis der Raumkomponente dazu.

Aufgabe (4 Punkte)

In einem vierdimensionalen Minkowski-Raum besitze ein Ereignis die Koordinaten $\left(\begin{array}{c}-1\\ 5\\ 2\\ -3\end{array}\right)$ bezüglich einer Minkowski-Basis. Bestimme die Zerlegung in Raum- und Zeitkomponente dieses Ereignisses bezüglich des Beobachtervektors $\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{5}{12}\\ 0\\ \frac{13}{12}\end{array}\right)$.

Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Der ${ℝ}^3$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.

a) Man gebe eine Basis des ${ℝ}^3$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $1$ sind.

b) Man gebe eine Basis des ${ℝ}^3$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $-1$ sind.

c) Man gebe eine Basis des ${ℝ}^3$ an mit der Eigenschaft, dass alle Diagonaleinträge in der Gramschen Matrix bezüglich dieser Basis gleich $0$ sind.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es seien $B$ und $C$ Beobachter mit den Vierergeschwindigkeiten

$v_B=\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\\ \sqrt{39}\end{array}\right)$

und

$v_C=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 2\end{array}\right).$

a) Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $C$ relativ zu $B$.

b) Bestimme den Geschwindigkeitsvektor von $B$ relativ zu $C$.

c) Bestimme die Relativgeschwindigkeit der beiden Beobachter.