Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 33/latex
\setcounter{section}{33}
\zwischenueberschrift{Das Kreuzprodukt}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cross product parallelogram.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Cross product parallelogram.svg } {} {Acdx} {Commons} {gemeinfrei} {}
Eine Besonderheit im $\R^3$ ist das sogenannte \stichwort {Kreuzprodukt} {,} das zu zwei gegebenen Vektoren einen dazu senkrechten Vektor berechnet.
\inputdefinition
{}
{
Zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ ist auf dem $K^3$ durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x \times y
}
{ =} { \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3 \end{pmatrix}
}
{ \defeq} { \begin{pmatrix} x_2y_3-x_3y_2 \\-x_1y_3 + x_3y_1 \\ x_1y_2-x_2y_1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
erklärt, die das
\definitionswort {Kreuzprodukt}{}
heißt.
}
Statt Kreuzprodukt sagt man auch \stichwort {Vektorprodukt} {.} Als Merkregel kann man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \times y
}
{ =} { \det \begin{pmatrix} e_1 & x_1 & y_1 \\ e_2 & x_2 & y_2 \\e_3 & x_3 & y_3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
verwenden, wobei $e_1,e_2,e_3$ die Standardvektoren sind und formal nach der ersten Spalte zu entwickeln ist. So wie es dasteht, ist das Kreuzprodukt unter Bezug auf die Standardbasis definiert.
\inputbeispiel{}
{
Das
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
der beiden Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 \\8\\ -2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 3 \\4\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 5 \\8\\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\4\\ 1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 8 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) \\ -5 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \\ 5 \cdot 4 - 8 \cdot 3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 16 \\-11\\ -4 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{K^3/Kreuzprodukt/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Das Kreuzprodukt auf dem $K^3$ erfüllt die folgenden Eigenschaften
\zusatzklammer {dabei sind
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x,y,z
}
{ \in }{ K^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x \times y
}
{ =} { - (y \times x)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (ax+by ) \times z
}
{ =} { a (x \times z) + b (y \times z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z \times (ax+by )
}
{ =} { a (z \times x) + b (z \times y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x \times y
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
\definitionsverweis {linear abhängig}{}{}
sind.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \times (y \times z) + y \times (z \times x) + z \times (x \times y)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle x \times y , z \right\rangle
}
{ =} { \det (x \, , y \, , z)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
wobei hier mit
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} die formale Auswertung\zusatzfussnote {Diese Formulierung ist gewählt, da es ein Skalarprodukt im Sinne der Definition nur über $\R$ und $\C$ gibt. Die Formel, die im reellen Fall das Standardskalarprodukt festlegt, gibt es aber über jedem Körper} {.} {}
im Sinne des
\definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{}
gemeint ist.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle x , x \times y \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ =} { \left\langle y , x \times y \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei hier mit
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} die formale Auswertung im Sinne des Standardskalarproduktes gemeint ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) ist klar von der Definition her.
(2). Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( a \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3 \end{pmatrix} +b \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3 \end{pmatrix} \right) } \times \begin{pmatrix} z_1 \\z_2\\ z_3 \end{pmatrix} \!\! \!
}
{ =} { \!\! \begin{pmatrix} ax_1 +by_1 \\ax_2+ by_2\\ ax_3+b y_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} z_1 \\z_2\\ z_3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \!\! \begin{pmatrix} (ax_2+ by_2)z_3 - (ax_3+ by_3)z_2 \\ -(ax_1+ by_1)z_3 + (ax_3 + by_3)z_1 \\ (ax_1+ by_1)z_2 - (ax_2+ by_2)z_1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \!\! \begin{pmatrix} ax_2 z_3 - ax_3z_2 \\ -ax_1z_3 +ax_3 z_1\\ ax_1z_2 - ax_2z_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} by_2z_3 - by_3z_2 \\ - by_1z_3 + by_1z_3 \\ by_1z_2 - by_2z_1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \!\! a \begin{pmatrix} x_2 z_3 - x_3z_2 \\ -x_1z_3 +x_3 z_1\\ x_1z_2 - x_2z_1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} y_2z_3 - y_3z_2 \\ - y_1z_3 + y_1z_3 \\ y_1z_2 - y_2z_1 \end{pmatrix}
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \!\! a (x \times z) + b (y \times z)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Die zweite Gleichung folgt daraus und aus (1).
(3). Wenn
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
linear abhängig sind, so kann man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{cy
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {oder umgekehrt} {} {}
schreiben. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} cy_1 \\cy_2\\ cy_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} y_1 \\y_2\\ y_3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} cy_2 y_3 - c y_2 y_3 \\ -cy_1y_3+ cy_3y_1 \\ cy_1y_2 -cy_2y_1 \end{pmatrix}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn umgekehrt das Kreuzprodukt $0$ ist, so sind alle Einträge des Vektors
\mathl{\begin{pmatrix} x_2y_3-x_3y_2 \\-x_1y_3 + x_3y_1 \\ x_1y_2-x_2y_1 \end{pmatrix}}{} gleich $0$. Es sei beispielsweise
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_1
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so folgt direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_2
}
{ =} {x_3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $x$ wäre der Nullvektor. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_2
}
{ = }{ { \frac{ y_1 }{ x_1 } } x_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y_3
}
{ = }{ { \frac{ y_1 }{ x_1 } } x_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ y_1 }{ x_1 } } x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
(4). Siehe Aufgabe 33.6.
(5). Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \left\langle x \times y , z \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \begin{pmatrix} x_2y_3-x_3y_2 \\-x_1y_3 + x_3y_1 \\ x_1y_2-x_2y_1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} z_1 \\z_2\\ z_3 \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} { z_1x_2y_3 -z_1x_3y_2 -z_2x_1y_3 +z_2x_3y_1 +z_3x_1 y_2 -z_3x_2y_1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
was mit der Determinante
wegen der Regel von Sarrus
übereinstimmt.
(6) folgt aus (5).
Der uns in (5) begegnende Ausdruck
\mathl{\left\langle x \times y , z \right\rangle}{,} also die Determinante der drei Vektoren, wenn man diese als Spaltenvektoren auffasst, heißt auch \stichwort {Spatprodukt} {.}
\inputfaktbeweis
{R^3/Kreuzprodukt/Orientierte Orthonormalbasis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mathl{u_1,u_2,u_3}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
des $\R^3$ mit\zusatzfussnote {Eine solche Basis nennt man auch eine die Standardorientierung repräsentierende Orthonormalbasis} {. Orientierungen werden wir später besprechen.} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \left( u_1, \, u_2, \, u_3 \right)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann kann man das
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
\mathl{x \times y}{} mit den Koordinaten von
\mathkor {} {x} {und} {y} {}
zu dieser Basis
\zusatzklammer {und den Formeln aus
Definition 33.1} {} {}
ausrechnen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x
}
{ =} { c_1u_1 + c_2u_2+c_3u_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y
}
{ =} { d_1u_1 + d_2u_2+d_3u_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 33.3 (2)
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x \times y
}
{ =} { { \left( c_1u_1 + c_2u_2+c_3u_3 \right) } \times { \left( d_1u_1 + d_2u_2+d_3u_3 \right) }
}
{ =} { \sum_{1 \leq i,j \leq 3} c_id_j { \left( u_i \times u_j \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 33.3 (3)
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_i \times u_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach
Lemma 33.3 (1)
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_i \times u_j
}
{ =} { - u_j \times u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 33.3 (6)
steht
\mathl{u_1 \times u_2}{} senkrecht auf $u_1$ und $u_2$, daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_1 \times u_2
}
{ =} { \lambda u_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da diese Orthogonalitätsbedingung eine Gerade definiert. Wegen
Lemma 33.3 (5)
und der Voraussetzung ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ =} { \left\langle \lambda u_3 , u_3 \right\rangle
}
{ =} { \left\langle u_1 \times u_2 , u_3 \right\rangle
}
{ =} { \det \left( u_1, \, u_2, \, u_3 \right)
}
{ =} { 1
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ u_1 \times u_2
}
{ =} { u_3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Ebenso ergibt sich, unter Verwendung von
Lemma 17.2 (3),
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1 \times u_3
}
{ = }{- u_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_2 \times u_3
}
{ = }{ u_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist insgesamt
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ x \times y
}
{ =} { \sum_{1 \leq i,j \leq 3} c_id_j { \left( u_i \times u_j \right) }
}
{ =} { \sum_{i < j} (c_id_j -c_jd_i) { \left( u_i \times u_j \right) }
}
{ =} { (c_1d_2 -c_2d_1) u_3 - (c_1d_3 -c_3d_1) u_2 + (c_2d_3 - c_3d_2) u_1
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und dies ist die Behauptung.
\zwischenueberschrift{Isometrien}
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathl{V,W}{}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über ${\mathbb K}$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukten}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
Dann heißt $\varphi$ eine \definitionswort {Isometrie}{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v) , \varphi(w) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , w \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Eine Isometrie ist stets
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
spricht man auch von \stichwort {unitären Abbildungen} {.} In Abgrenzung zu affinen Isometrien
\zusatzklammer {die wir später behandeln werden} {} {}, spricht man auch von \stichwort {linearen Isometrien} {.}
\inputfaktbeweis
{Vektorräume/K/Skalarprodukt/Lineare Isometrie/Charakterisierung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über ${\mathbb K}$, die mit einem
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
versehen seien, und sei
\maabb {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$\varphi$ ist eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u,v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(\varphi(u),\varphi(v))
}
{ = }{ d(u,v)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v) } \Vert
}
{ = }{ \Vert {v} \Vert
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi(v)} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Richtungen $(1) \Rightarrow (2)$, $(2) \Rightarrow (3)$ und $(3) \Rightarrow (4)$ sind Einschränkungen. $(4) \Rightarrow (3)$. Für den Nullvektor ist die Aussage $(3)$ klar, sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann besitzt
\mathl{{ \frac{ v }{ \Vert {v} \Vert } }}{} die Norm $1$ und wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ =} { \varphi { \left( \Vert {v} \Vert { \frac{ v }{ \Vert {v} \Vert } } \right) }
}
{ =} { \Vert {v} \Vert \varphi { \left( { \frac{ v }{ \Vert {v} \Vert } } \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\varphi (v) } \Vert
}
{ =} { \Vert {v} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
$(3) \Rightarrow (1)$ folgt aus
Lemma 31.10.
Eine Isometrie ist also einfach eine \stichwort {abstandserhaltende} {}
\zusatzklammer {lineare} {} {}
Abbildung. Die Menge der Vektoren mit Norm $1$ in einem euklidischen Vektorraum nennt man auch die
\definitionsverweis {Sphäre}{}{.}
Eine Isometrie lässt sich also dadurch charakterisieren, dass unter ihr die Sphäre in die Sphäre abgebildet wird.
{Isometrie/Verschiedene Charakterisierungen mit Orthonormalbasis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $V$ und $W$
\definitionsverweis {euklidische Vektorräume}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
}{Für jede
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
\mathl{u_i, i = 1 , \ldots , n}{,} von $V$ ist
\mathl{\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n}{,} Teil einer Orthonormalbasis von $W$.
}{Es gibt eine Orthonormalbasis
\mathl{u_i, i = 1 , \ldots , n}{,} von $V$ derart, dass
\mathl{\varphi(u_i), i = 1 , \ldots , n}{,} Teil einer Orthonormalbasis von $W$ ist.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
{ Siehe Aufgabe 33.16. }
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Vektorraum/Isometrie zum Standardraum/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Zu jedem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$}
\faktfolgerung {gibt es eine bijektive
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {V
} {,}
wobei $\R^n$ mit dem
\definitionsverweis {Standardskalarprodukt}{}{}
versehen sei.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$ und sei
\maabbdisp {\varphi} { \R^n } { V
} {}
die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(e_i)
}
{ =} { u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
festgelegte lineare Abbildung. Nach
Lemma 33.7 (3)
ist dies eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}
\zwischenueberschrift{Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum}
Wir besprechen nun Isometrien von einem euklidischen Vektorraum in sich selbst. Diese sind stets bijektiv. Bezüglich einer jeden Orthonormalbasis von $V$ werden sie folgendermaßen beschrieben.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Vektorraum/Isometrie/Orthogonal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $V$. Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und $M$ die
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
zu $\varphi$ bezüglich der gegebenen Basis.}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ genau dann eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { M^{ \text{tr} } } M
}
{ =} { E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei zunächst $\varphi$ eine Isometrie. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_i
}
{ = }{ \varphi(u_i)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Orthonormalbasis nach
Lemma 33.7,
und deren Koordinaten bezüglich $u_i$ bilden die Spalten der beschreibenden Matrix $M$. Daher ist unter Verwendung von
Aufgabe 32.13
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { v_i^{ \text{tr} } } v_j
}
{ =} { \left\langle v_i , v_j \right\rangle
}
{ =} { \delta_{ij}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Als Matrixgleichung bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { M^{ \text{tr} } } M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Argument rückwärts gelesen ergibt die Umkehrung.
Die Menge der Isometrien auf einem euklidischen Vektorraum bildet eine Gruppe, und zwar eine Untergruppe der Gruppe aller bijektiven linearen Abbildungen. Wir erinnern kurz an die allgemeine und die spezielle lineare Gruppe.
Zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die Menge aller
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
mit Einträgen in $K$ die
\definitionswort {allgemeine lineare Gruppe}{}
über $K$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} bezeichnet.
Zu einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nennt man die Menge aller
\definitionsverweis {invertierbaren}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionswort {spezielle lineare Gruppe}{}
über $K$. Sie wird mit
\mathl{\operatorname{SL}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} bezeichnet.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $E_n$ die
\definitionsverweis {Einheitsmatrix}{}{}
der Länge $n$. Eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { M^{ \text{tr} } } M
}
{ =} { E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {orthogonale Matrix}{.}
Die Menge aller orthogonalen Matrizen heißt
\definitionswort {orthogonale Gruppe}{,}
sie wird mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{O}_{ n } \! { \left( K \right) }
}
{ =} { { \left\{ M \in \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( K \right) } \mid { M^{ \text{tr} } } M = E_n \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezeichnet.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \overline{ M } ^{ \text{tr} } } M
}
{ =} { E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {unitäre Matrix}{.}
Die Menge aller unitären Matrizen heißt
\definitionswort {unitäre Gruppe}{,}
sie wird mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{U}_{ n } \!
}
{ =} { { \left\{ M \in \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) } \mid { \overline{ M }^{ \text{tr} } } M = E_n \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bezeichnet.
}
\zwischenueberschrift{Eigenwerte bei Isometrien}
\inputfaktbeweis
{Unitärer Vektorraum/Isometrie/Eigenwerte/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt jeder
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ den Betrag $1$.}
\faktzusatz {Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb K}
}
{ = }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind nur die Eigenwerte
\mathkor {} {1} {und} {-1} {}
möglich.}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(v)
}
{ = }{ \lambda v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h. $v$ ist ein
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zum Eigenwert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ {\mathbb K}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wegen der Isometrieeigenschaft gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ =} { \Vert {\varphi(v)} \Vert
}
{ =} { \Vert {\lambda v} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \cdot \Vert {v} \Vert
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {v} \Vert
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt daraus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { \lambda }
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im Reellen bedeutet dies
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Im Allgemeinen muss eine Isometrie keine Eigenwerte besitzen, bei ungerader Dimension allerdings schon, siehe dazu die nächste Vorlesung.
\inputfaktbeweis
{Lineare Isometrie/Determinante ist 1 oder -1/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
einer
\definitionsverweis {linearen Isometrie}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
auf einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$}
\faktfolgerung {ist
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 33.9
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{ M^{ \text{tr} } } M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit folgt die Aussage aus
dem Determinantenmultiplikationssatz
und aus
Satz 17.5.
\zwischenueberschrift{Eigentliche Isometrien}
\inputdefinition
{}
{
Eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} auf einem \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} heißt \definitionswort {eigentlich}{,} wenn ihre \definitionsverweis {Determinante}{}{} gleich $1$ ist.
}
Bei nichteigentlichen Isometrien, also solchen mit Determinante $-1$, spricht man von \stichwort {uneigentlichen Isometrien} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Eine
\definitionsverweis {orthogonale}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$M$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {spezielle orthogonale Matrix}{.}
Die Menge aller speziellen orthogonalen Matrizen heißt
\definitionswort {spezielle orthogonale Gruppe}{,}
sie wird mit
\mathl{\operatorname{SO}_{ n } \! { \left( K \right) }}{} bezeichnet.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {unitäre}{}{}
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det M
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {spezielle unitäre Matrix}{.}
Die Menge aller speziellen unitären Matrizen heißt
\definitionswort {spezielle unitäre Gruppe}{,}
sie wird mit
\mathl{\operatorname{SU}_{n}}{} bezeichnet.
}