Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Vorlesung 35/latex
\setcounter{section}{35}
\zwischenueberschrift{Winkeltreue Abbildungen}
\inputdefinition
{}
{
Eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen
\definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
heißt
\definitionswort {winkeltreu}{,}
wenn für je zwei Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u, v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (\varphi(u), \varphi(v))
}
{ =} {\angle (u,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
Da Winkel nur für von $0$ verschiedene Vektoren definiert sind, müssen winkeltreue Abbildungen injektiv sein. Eine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist insbesondere winkeltreu, da ja sowohl die Norm als auch der Winkel unter Bezug auf das Skalarprodukt definiert werden und dieses sich bei einer Isometrie nicht ändert. Weitere Beispiele für winkeltreue Abbildungen sind \definitionsverweis {Streckungen}{}{} um einen von $0$ verschiedenen Streckungsfaktor, siehe Aufgabe 35.1. Bei einer winkeltreuen Abbildung werden insbesondere zueinander orthogonale Vektoren auf orthogonale Vektoren abgebildet.
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {}
eine
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die durch die Multiplikation mit der komplexen Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{w
}
{ =} {a+b { \mathrm i}
}
{ \neq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gestiftet wird. Bezüglich der reellen Basis
\mathl{1, { \mathrm i}}{} von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{{\mathbb C}
}
{ = }{\R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird diese Abbildung durch die reelle
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}} { }
beschrieben. Diese schreiben wir als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \sqrt{a^2+b^2} & 0 \\ 0 & \sqrt{a^2+b^2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} { \frac{ a }{ \sqrt{a^2+b^2} } } & - { \frac{ b }{ \sqrt{a^2+b^2} } } \\ { \frac{ b }{ \sqrt{a^2+b^2} } } & { \frac{ a }{ \sqrt{a^2+b^2} } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit liegt die Hintereinanderschaltung von einer Isometrie
\zusatzklammer {einer
\definitionsverweis {Drehung}{}{}} {} {}
und einer
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
mit dem Streckungsfaktor
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { w }
}
{ =} {\sqrt{a^2+b^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und insbesondere eine
\definitionsverweis {winkeltreue Abbildung}{}{}
vor.
}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Vektorraum/Lineare Abbildung/Winkeltreu/Struktur/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {winkeltreue}{}{} \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
\maabbdisp {\psi} {V} {V
} {}
und eine
\definitionsverweis {Streckung}{}{}
\maabbdisp {\sigma} {V} {V
} {}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \sigma \circ \psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{r
}
{ =} { \det \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ \defeq} { \sqrt[n]{ \betrag { r } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $n$ die Dimension von $V$ sei. Es sei $\sigma$ die Streckung mit dem Faktor $s$ und wir betrachten die Abbildung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi
}
{ \defeq} { \sigma^{-1} \circ \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Diese Abbildung ist nach wie vor winkeltreu und ihre Determinante ist
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {.}
Nach
Aufgabe 33.18
ist $\psi$ eine Isometrie.
\inputbemerkung
{}
{
Bei einer
\definitionsverweis {winkeltreuen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
zwischen
\definitionsverweis {euklidischen Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
werden nicht nur die Winkel am Nullpunkt, sondern überhaupt alle Winkel erhalten. Für Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q,R
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stimmt ja der Winkel des Dreiecks an $Q$ wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (P,Q,R)
}
{ =} { \angle (\overrightarrow{ Q P } , \overrightarrow{ Q R } )
}
{ =} { \angle ( \varphi ( \overrightarrow{ Q P } ), \varphi( \overrightarrow{ Q R } ))
}
{ =} { \angle ( \overrightarrow{ \varphi (Q) \varphi( P) } ), \overrightarrow{ \varphi( Q) \varphi(R) } )
}
{ =} { \angle (\varphi(P),\varphi(Q), \varphi(R))
}
}
{}{}{}
mit dem Winkel an
\mathl{\varphi(Q)}{} des Bilddreiecks
\mathl{\varphi(P), \varphi(Q), \varphi(R)}{} überein.
}
\zwischenueberschrift{Abstände zwischen Mengen}
\inputdefinition
{}
{
Zu zwei nichtleeren Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A,B
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {metrischen Raum}{}{}
$M$ nennt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(A,B)
}
{ \defeq} { \inf { \left( d(P,Q), \, P \in A ,\, Q \in B \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
den
\definitionswort {Abstand der Teilmengen}{}
\mathkor {} {A} {und} {B} {.}
}
Speziell werden wir dieses Konzept auf normierte Vektorräume und auf euklidische Vektorräume anwenden. Zu zwei Punkten
\mathl{P,Q \in V}{} ist der Abstand zwischen den Mengen
\mathl{\{ P\}}{} und
\mathl{\{Q\}}{} natürlich gleich
\mathl{d(P,Q)}{.}
Wir werden uns hauptsächlich mit Situationen beschäftigen, in denen das \definitionsverweis {Infimum}{}{} angenommen wird, also ein Minimum ist. Für lineare Objekte ist dieses Verhalten typisch.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Orthogonale Projektion/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{p_U(v)}{} derjenige Punkt auf $U$, der unter allen Punkten auf $U$ zu $v$ den minimalen Abstand besitzt.}
\faktzusatz {Insbesondere ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(v,U)
}
{ =} { d(v, p_U(v))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist nach
dem Satz des Pythagoras
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(v,u)^2
}
{ =} { d(v,p_U(v))^2 +d(p_U(v), u)^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
da ja
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p_U(v) - u
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v-p_U(v)
}
{ \in }{ U^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
aufeinander senkrecht stehen. Der Ausdruck wird minimal genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(p_U(v), u)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, was genau bei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_U(v)
}
{ =} { u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Fall ist.
In diesem Zusammenhang nennt man
\mathl{p_U(v)}{} auch den \stichwort {Lotfußpunkt} {} von $v$ auf $U$.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Abstand zu Unterraum/Skalarprodukt/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_m}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $U$. Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(v,U)^2
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 - \sum_{i = 1}^m \left\langle v , u_i \right\rangle^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Lemma 35.6
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(v,U)
}
{ =} { d(v, p_U(v))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach
Lemma 32.14
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_U(v)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^m \left\langle v , u_i \right\rangle u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir ergänzen die Orthonormalbasis zu einer Orthonormalbasis
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$. Also ist unter Verwendung
des Satzes des Pythagoras
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ d(v,U)^2
}
{ =} { d { \left( v, \sum_{i = 1}^m \left\langle v , u_i \right\rangle u_i \right) }^2
}
{ =} { d { \left( \sum_{i = 1}^n \left\langle v , u_i \right\rangle u_i , \sum_{i = 1}^m \left\langle v , u_i \right\rangle u_i \right) }^2
}
{ =} { \Vert { \sum_{i = m+1}^n \left\langle v , u_i \right\rangle u_i } \Vert^2
}
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 - \Vert { \sum_{i = 1}^m \left\langle v , u_i \right\rangle u_i } \Vert^2
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \Vert {v} \Vert^2 - \sum_{i = 1}^m \left\langle v , u_i \right\rangle^2
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ \subseteq }{{ \{ 1 , \ldots , n \} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ = }{ \langle e_i ,\, i \in J \rangle
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der von dieser Auswahl an
\definitionsverweis {Standardvektoren}{}{}
aufgespannte Achsenunterraum. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist der
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
von $v$ zu $U$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(v,U)
}
{ =} { \sqrt{ \sum_{i \not\in J} v_i^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Lotfußpunkt von $v$ auf $U$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_U(v)
}
{ =} { \begin{pmatrix} w_1 \\\vdots\\ w_n \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w_i
}
{ =} { \begin{cases} v_i,\, \text{ falls } i \in J ,\,\\ 0,\, \text{ falls } i \not\in J \, .\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Abstand zu Hyperfläche/Linearform/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Vektor mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Vert {a} \Vert
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U
}
{ =} { { \left\{ x \in \R^n \mid a_1x_1 + \cdots + a_nx_n = 0 \right\} }
}
{ =} { (\R a)^{ { \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der durch $a$ als
\definitionsverweis {Normalenvektor}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist für einen Vektor
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
zu $U$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(U,v)
}
{ =} { \betrag { \left\langle a , v \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{a,u_2 , \ldots , u_n}{} eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $\R^n$ und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v
}
{ =} { \lambda a + \sum_{i = 2}^n c_i u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ p_U(v)
}
{ =} { \sum_{i = 2}^n c_i u_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und nach
Lemma 35.6
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(U,v)
}
{ =} { \Vert {v-p_U(v) } \Vert
}
{ =} { \Vert { \lambda a} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda } \Vert {a} \Vert
}
{ =} { \betrag { \lambda }
}
}
{}{}{,}
was in Verbindung mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle a , v \right\rangle
}
{ =} { \left\langle a , \lambda a + \sum_{i = 2}^n c_i u_i \right\rangle
}
{ =} { \left\langle a , \lambda a \right\rangle
}
{ =} { \lambda
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Resultat liefert.
Die bisherigen Überlegungen übertragen sich direkt auf affine Unterräume.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $E$ ein reeller
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \subseteq }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{.}
Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist der Abstand von $P$ zu $F$ gleich $0$. Im Allgemeinen schreibt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} { Q+U
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem Aufpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit einem
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bestimmt das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ W
}
{ = }{ U^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
von $U$ in $V$. Wenn
\mathl{u_1 , \ldots , u_m}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $U$ und
\mathl{w_1 , \ldots , w_k}{} eine Basis von $W$ ist, so gibt es eine eindeutige Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \overrightarrow{ P Q }
}
{ =} { \sum_{i =1 }^m a_i u_i + \sum_{j = 1 }^k b_j w_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L
}
{ =} { P + \sum_{j = 1 }^k b_j w_j
}
{ =} { Q - \sum_{ i = 1}^m a_iu_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Lotfußpunkt von $P$ auf $F$ und der Abstand von $P$ zu $L$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d { \left( P, F \right) }
}
{ =} { d { \left( P, L \right) }
}
{ =} { \Vert {\sum_{j = 1 }^k b_j w_j } \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn die $w_j$ eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
von $U$ bilden, so ist dies gleich
\mathl{\sqrt{ \sum_{j=1}^k b_j^2}}{.}
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen in der euklidischen Ebene den Abstand des Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 4 \\5 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu der Geraden $G$, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2x-3y
}
{ = }{ 7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben ist, berechnen. Die Gerade hat die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} { \frac{ 7 }{ 2 } } \\0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{\begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}}{} ist ein zu $G$ orthogonaler Vektor. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} { \frac{ 7 }{ 2 } } \\0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\5 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} - { \frac{ 1 }{ 2 } } \\- 5 \end{pmatrix}
}
{ =} { - { \frac{ 23 }{ 26 } } \begin{pmatrix} 3 \\2 \end{pmatrix} + { \frac{ 14 }{ 13 } } \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist der Lotfußpunkt gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 4 \\5 \end{pmatrix} + { \frac{ 14 }{ 13 } } \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 80 }{ 13 } } \\ { \frac{ 23 }{ 13 } } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und der Abstand ist
\mathdisp {{ \frac{ 14 }{ 13 } } \sqrt{13}} { . }
}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Affine Unterräume/Senkrecht/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{}
und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_1
}
{ = }{P_1+U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E_2
}
{ = }{P_2+U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nichtleere
\definitionsverweis {affine Unterräume}{}{}
mit den
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U_1,U_2
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_1-P_2
}
{ =} { u_1+u_2+u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ \in }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_2
}
{ \in }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ { \left( U_1 + U_2 \right) } ^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Abstand}{}{}
\mathl{d(E_1,E_2)}{} gleich
\mathl{\Vert {u} \Vert}{} und wird in den Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1-u_1
}
{ \in }{ E_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_2 + u_2
}
{ \in }{ E_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
angenommen.}
\faktzusatz {Insbesondere steht der Verbindungsvektor zu Punkten, in denen der minimale Abstand angenommen wird, sowohl auf $E$ als auch auf $F$
\definitionsverweis {senkrecht}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P-Q
}
{ = }{ u_1+u_2+u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_1
}
{ \in }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u_2
}
{ \in }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ { \left( U_1 + U_2 \right) } ^{ { \perp } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei es eine solche Zerlegung immer gibt, und wobei $u_1, u_2$ nicht eindeutig bestimmt sein müssen
\zusatzklammer {falls
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ U_1 \cap U_2
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {} {,}
aber $u$ eindeutig bestimmt ist. Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_1-u_1
}
{ =} {P_2+u_2+u
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q_1
}
{ \defeq }{P_1-u_1
}
{ \in }{E_1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q_2
}
{ \defeq }{P_2+u_2
}
{ \in }{E_2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der Abstand zwischen
\mathkor {} {Q_1} {und} {Q_2} {}
ist
\mathl{\Vert {u} \Vert}{.} Für beliebige Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_1
}
{ = }{Q_1+v_1
}
{ \in }{E_1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R_2
}
{ = }{Q_2+v_2
}
{ \in }{E_2
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1
}
{ \in }{ U_1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_2
}
{ \in }{ U_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ d(R_1,R_2)^2
}
{ =} { \Vert {R_1-R_2} \Vert^2
}
{ =} { \Vert {v_1-v_2+u} \Vert^2
}
{ =} { \left\langle v_1-v_2+u , v_1-v_2+u \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v_1-v_2 , v_1-v_2 \right\rangle + \left\langle u , u \right\rangle
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ \geq} { \left\langle u , u \right\rangle
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{,}
d.h.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(R_1,R_2)
}
{ \geq} { \Vert {u} \Vert
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Windschiefe Geraden.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Windschiefe Geraden.svg } {} {Kdkeller} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
In der vorstehenden Aussage sind die Punkte, in denen das Minimum angenommen wird, nicht eindeutig bestimmt, man denke beispielsweise an zwei parallele Geraden in der Ebene. Eindeutigkeit liegt vor, wenn der Durchschnitt der zu $E,F$ gehörenden Untervektorräume gleich $0$ ist. Dies ist bei windschiefen Geraden der Fall.
\inputbeispiel{}
{
Zwei
\zusatzklammer {affine} {} {}
Geraden
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G,H
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißen \stichwort {windschief} {,} wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein
\zusatzklammer {bis auf Streckung eindeutiger} {} {}
Vektor $u$
\definitionsverweis {senkrecht}{}{.}
Einen solchen Vektor, den \stichwort {Normalenvektor} {,} kann man mit dem
\definitionsverweis {Kreuzprodukt}{}{}
berechnen. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { P + \R v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} { Q+ \R w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das lineare Gleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P-Q
}
{ =} { av+bw+cu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt eine eindeutige Lösung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (a,b,c)
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dabei sind
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P- av
}
{ \in }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q+bw
}
{ \in }{ H
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Lotfußpunkte, in denen nach
Lemma 35.12
der Abstand der Geraden angenommen wird. Dieser Abstand ist
\mathl{\Vert {cu} \Vert}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Windschiefe Geraden/Abstand/Determinante und Kreuzprodukt/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {P+ \R v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} {Q+ \R w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
windschiefe Geraden im $\R^3$ mit Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei $u$ ein normierter Vektor, der zu
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
senkrecht sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ d(G,H)
}
{ =} { \betrag { \left\langle P-Q , u \right\rangle }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir gehen von
Beispiel 35.13
aus und betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P-Q
}
{ =} { av+bw+cu
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
der Cramerschen Regel
erhalten wir unter Verwendung von
Lemma 33.3 (5)
und da $u$ ein lineares Vielfaches von
\mathl{v \times w}{} ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{c
}
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix} v_1 & w_1 & P_1-Q_1 \\ v_2 & w_2 & P_2-Q_2 \\v_3 & w_3 & P_3-Q_3 \end{pmatrix} }{ \det \begin{pmatrix} v_1 & w_1 & u_1 \\ v_2 & w_2 & u_2 \\v_3 & w_3 & u_3 \end{pmatrix} } }
}
{ =} { { \frac{ \left\langle v \times w , P-Q \right\rangle }{ \left\langle v \times w , u \right\rangle } }
}
{ =} { { \frac{ \left\langle u , P-Q \right\rangle }{ \left\langle u , u \right\rangle } }
}
{ =} { \left\langle u , P-Q \right\rangle
}
}
{}
{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es seien
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} {P+ \R v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{H
}
{ =} {Q+ \R w
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
windschiefe Geraden. Wir wollen das Abstandsproblem zwischen den beiden Geraden als Extremalproblem im Sinne der höherdimensionalen Analysis verstehen. Sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\ a_3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q
}
{ =} { \begin{pmatrix} b_1 \\b_2\\ b_3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P'
}
{ =} { \begin{pmatrix} a_1 \\a_2\\ a_3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ v_3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q'
}
{ =} { \begin{pmatrix} b_1 \\b_2\\ b_3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} w_1 \\w_2\\ w_3 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist
\zusatzklammer {mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c_i
}
{ = }{a_i-b_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{d(P',Q')^2
}
{ =} { { \left( c_1 +sv_1 -tw_1 \right) }^2 + { \left( c_2 +sv_2 -tw_2 \right) }^2 + { \left( c_3 +sv_3 -tw_3 \right) }^2
}
{ =} { c_1^2 + s^2v_1^2 + t^2w_1^2 + 2sc_1v_1 -2tc_1w_1 -2stv_1w_1 + c_2^2 + s^2v_2^2 + t^2w_2^2 + 2sa_2v_2 -2tc_2w_2-2stv_2w_2 + c_3^2 + s^2v_3^2 + t^2w_3^2 + 2sc_3v_3 -2tc_3w_3 -2stv_3w_3
}
{ =} { c_1^2+c_2^2+c_3^2 + 2s { \left( c_1v_1 + c_2v_2 +c_3v_3 \right) } - 2t { \left( c_1 w_1 + c_2w_2 +c_3w_3 \right) } +s^2 { \left( v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 \right) } +t^2 { \left( w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 \right) } -2st { \left( v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 \right) }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, sodass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck
\mathl{f(s,t)}{} in den beiden reellen Variablen
\mathkor {} {s} {und} {t} {}
vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
sind
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \frac{ \partial f }{ \partial s } }
}
{ =} { 2 { \left( c_1v_1 +c_2v_2 +c_3v_3 \right) } + 2s { \left( v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 \right) } -2t { \left( v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ { \frac{ \partial f }{ \partial t } }
}
{ =} { 2 { \left( c_1w_1 + c_2w_2 +c_3w_3 \right) } + 2t { \left( w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 \right) } -2s { \left( v_1w_1 + v_2w_2 +v_3w_3 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn wir diese gleich $0$ setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen
\mathkor {} {s} {und} {t} {.}
Mit
der Cramerschen Regel
erhält man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix} - c_1v_1 - c_2v_2 -c_3v_3 & -v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3 \\ - c_1 w_1 - c_2 w_2 -c_3 w_3 & w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 \end{pmatrix} }{ \det \begin{pmatrix} v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 & -v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3 \\ - v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 & w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 \end{pmatrix} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} { { \frac{ \det \begin{pmatrix} v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 & - c_1v_1 - c_2v_2 -c_3v_3 \\ - v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 & -c_1w_1 -c_2w_2 -c_3w_3 \end{pmatrix} }{ \det \begin{pmatrix} v_1^2 +v_2^2 +v_3^2 & -v_1w_1 -v_2w_2 -v_3w_3 \\ - v_1w_1 - v_2w_2 -v_3w_3 & w_1^2 +w_2^2 +w_3^2 \end{pmatrix} } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
normiert sind, so vereinfachen sich diese Ausdrücke zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{s
}
{ =} { { \frac{ - \left\langle P-Q , v \right\rangle - \left\langle P-Q , w \right\rangle \left\langle v , w \right\rangle }{ 1- \left\langle v , w \right\rangle^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} { { \frac{ - \left\langle P-Q , w \right\rangle - \left\langle P-Q , v \right\rangle \left\langle v , w \right\rangle }{ 1- \left\langle v , w \right\rangle^2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}