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Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Formelsammlung

Aus Wikiversity



Symbole und Konventionen

die natürlichen Zahlen mit .

die positiven natürlichen Zahlen (ohne ).




Einige Stammfunktionen
Funktion Stammfunktion Bemerkung Link
,
,
oder
oder


Danke für die Hilfe. Leider weiß ich nicht, warum es bei zwei Termen nicht funktioniert.


Bitte so einsetzen, dann kann man einfach einen Latexfile produzieren.

 
 
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left }
 
 
   
   
   
   


Rekursionsformeln

34.2 Es sei x2 + bx + c (mit b,c in R) ein quadratisches Polynom ohne reelle Nullstelle (d.h. dass

 
ist).


Dann ist[3]

     

und für gilt die Rekursionsformel


Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \int \frac{ 1 }{ (x^2+bx+c)^{n+1 }

dx = \frac{ 1 }{ n (4c-b^2) } \left( \frac{ 2u+b }{ (u^2+bu+c)^n } + (4n-2) \int \frac{ 1 }{ (x^2+bx+c)^n } dx \right) \,

|SZ= }}

34.3 Mit Lemma 34.2 kann man auch rationale Funktionen der Form

     

(mit r,s ) integrieren, wo also das Zählerpolynom linear ist und das Nennerpolynom eine Potenz eines quadratischen Polynoms ist. Bei n = 1 ist

      .

D.h. dass die Differenz zwischen dieser Ableitung und der zu integrierenden Funktion vom Typ

      

ist, was wir aufgrund von Lemma 34.2 integrieren können. Bei ist

     

und wieder ist das Integral auf eine schon behandelte Situation zurückgeführt.


Kommt nicht dran:


Summenformeln

 Arithmetische Reihen [Bearbeiten]
   \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2} (Summe der ersten n natürlichen Zahlen, Der kleine Gauß)
   \sum_{i=m}^n i = \frac{n(n+1)-(m-1)m}{2} = \frac{(n+m)(n-m+1)}{2} (Summe eines Bereiches von m bis n natürlichen oder ganzen Zahlen)
   \sum_{i=1}^n (2i-1) = n^2 (Summe der ersten n ungeraden Zahlen)

Potenzsummen [Bearbeiten]

   \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} (Summe der ersten n Quadratzahlen)
   \sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 (Summe der ersten n Kubikzahlen)
   \sum_{i=1}^n i^4 = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30} (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 4)
   \sum_{i=1}^n i^5 = \frac {1}{12} n^2 \left(n + 1\right)^2 \left(2n^2 + 2n -1\right) (Summe der ersten n Potenzen mit Exponenten 5)
   \sum_{i=1}^n k^i = \frac{k^{n+1} -k}{k-1} (Summe der Potenzen von k mit bis zu n aufsteigendem Exponenten)