Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil I/Arbeitsblatt 2

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Welche bijektiven Funktionen ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ (oder zwischen Teilmengen von ${}\mathbb {R}$) kennen Sie aus der Schule? Wie heißen die Umkehrabbildungen?

Aufgabe

Jedes Paket hat einen eindeutig bestimmten Absender und Empfänger. Modelliere diesen Sachverhalt mit Abbildungen bzw. Relationen. Welche Pfeildiagramme sind sinnvoll, um die Situation zu beschreiben?

Aufgabe

Wie kann man sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

und wie sich den Graphen einer Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

vorstellen?

Aufgabe

Erstelle eine Tabelle für die Inzidenzrelation zu einer ${}0,1,2$ und ${}3$-elementigen Menge.

Aufgabe

Beschreibe, wie sich die Eigenschaften reflexiv, symmetrisch und antisymmetrisch einer Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ in der Relationstabelle zu ${}R$ widerspiegeln.

Aufgabe

Ein Adventskranz hat vier Kerzen, wobei am ersten Advent genau eine Kerze, am zweiten Advent genau zwei Kerzen usw. brennen sollen. Wie viele Möglichkeiten gibt es, den Adventskranz „abzubrennen“? Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Kerzen, die zuvor schon angezündet waren, wieder angezündet werden sollen, und wie viele, wenn stets so viele neue Kerzen wie möglich angezündet werden?

Aufgabe

Auf den ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ lebe eine Kolonie von Flöhen, und jeder Flohsprung geht fünf Einheiten weit (in beide Richtungen). Wie viele Flohpopulationen gibt es? Wie kann man einfach charakterisieren, ob zwei Flöhe zur gleichen Population gehören oder nicht?

Aufgabe

Es sei ${}B$ ein Blatt Papier (oder ein Taschentuch). Man versuche, sich die folgenden Äquivalenzrelationen auf ${}B$ und die zugehörige Identifizierungsabbildungen vorzustellen (möglichst geometrisch).

1. Die vier Eckpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
2. Alle Randpunkte sind untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
3. Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
4. Jeder Punkt des linken Randes ist äquivalent zu seinem horizontal gegenüber liegenden Punkt am rechten Rand und jeder Punkt des oberen Randes ist äquivalent zu seinem vertikal gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
5. Jeder Punkt des Randes ist äquivalent zu seinem punktsymmetrisch (bezüglich des Mittelpunktes des Blattes) gegenüber liegenden Punkt, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
6. Es sei ${}K$ ein Kreis (d.h. eine Kreislinie) auf dem Blatt. Alle Kreispunkte seien untereinander äquivalent, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
7. Es gebe zwei Punkte ${}P\neq Q$, die untereinander äquivalent seien, ansonsten sind die Punkte nur zu sich selbst äquivalent.
8. Es sei ${}H$ die horizontale Halbierungsgerade des Blattes. Zwei Punkte sind genau dann äquivalent, wenn sie achsensymmetrisch zu ${}H$ sind.

Aufgabe

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann injektiv ist, wenn das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

surjektiv ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}F$ genau dann surjektiv ist, wenn das Urbildnehmen

${\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(L),\,T\longmapsto F^{-1}(T),$

injektiv ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Es sei

$G\colon M\longrightarrow L$

eine Abbildung, die

${}F\circ G=\operatorname {Id} _{M}\,$ und ${}G\circ F=\operatorname {Id} _{L}\,$ erfüllt. Zeige, dass dann ${}G$ die Umkehrabbildung von ${}F$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge. Bestimme die Anzahl der Elemente in der Inzidenzrelation zu ${}M$.

(In der Antwort dürfen keine Binomialkoeffizienten vorkommen.)

Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ und eine fixierte natürliche Zahl ${}a\geq 0$. Zeige, dass auf ${}\mathbb {Z}$ durch

$x\sim y,{\text{ wenn die Differenz }}x-y{\text{ ein Vielfaches von }}a{\text{ ist}},$

eine Äquivalenzrelation definiert wird. Wie viele Äquivalenzklassen gibt es?

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien ${}M_{1}$ und ${}M_{2}$ Mengen und ${}\sim _{1}$ sei eine Äquivalenzrelation auf ${}M_{1}$ und ${}\sim _{2}$ sei eine Äquivalenzrelation auf ${}M_{2}$. Betrachte die Relation ${}\sim$ auf der Produktmenge ${}M_{1}\times M_{2}$, die durch

$(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2}),{\text{ falls }}a_{1}\sim _{1}b_{1}{\text{ und }}a_{2}\sim _{2}b_{2}{\text{ gilt}},$

definiert ist. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.

Zeige ferner, dass auf ${}M_{1}\times M_{2}$ die durch

$(a_{1},a_{2})\sim (b_{1},b_{2}),{\text{ falls }}a_{1}\sim _{1}b_{1}{\text{ oder }}a_{2}\sim _{2}b_{2}{\text{ gilt}},$

definierte Relation keine Äquivalenzrelation ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Betrachte die Schachfiguren Turm, Läufer, Pferd und Esel zusammen mit ihren erlaubten Zügen auf einem ${}8\times 8$-Schachbrett. Ein Esel darf dabei pro Zug einen Doppelschritt nach vorne, nach hinten, nach rechts oder nach links machen. Jede dieser Figuren definiert eine Äquivalenzrelation auf den ${}64$ Feldern, indem zwei Felder als äquivalent angesehen werden, wenn das eine Feld von dem anderen Feld aus mit dieser Figur in endlich vielen Zügen erreichbar ist. Beschreibe für jede dieser Schachfiguren die zugehörige Äquivalenzrelation und ihre Äquivalenzklassen. Wie sieht es auf einem ${}3\times 3$-Schachbrett aus?

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Produktmenge ${}M=\mathbb {N} \times \mathbb {N}$. Wir fixieren die Sprünge

$\pm (2,1)\,\,{\text{ und }}\,\,\pm (1,3),$

und sagen, dass zwei Punkte ${}P=(a,b),\,Q=(c,d)\in M$ äquivalent sind, wenn man ausgehend von ${}P$ den Punkt ${}Q$ mit einer Folge von diesen Sprüngen aus erreichen kann (und dabei in ${}M$ bleibt). Dies ist eine Äquivalenzrelation. Man bestimme die Äquivalenzklassen dieser Äquivalenzrelation und für jede Äquivalenzklasse genau einen besonders einfachen Vertreter. Man gebe auch einen Algorithmus an, der zu einem ${}(a,b)\in M$ diesen äquivalenten Vertreter findet.

Lösungen zur nächsten Aufgabe sollen über Wikimedia Commons hochgeladen werden, damit sie hier ins Skript eingebunden werden können (siehe auch hier). Lösungen können so lange eingereicht werden, bis eine optimale Lösung vorliegt.

Aufgabe (5 Punkte)

Schreibe eine Computeranimation, die die wesentlichen Aspekte von Beispiel 2.10 sichtbar macht.