Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 35/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {e^{2t}+e^{t}+1}{e^{2t}-1}}.$

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sinh t}}$

für ${}t>0$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {\ln 2x}{x\ln 4x}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sin ^{3}x}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {2-\cos {x}}{2+\cos {x}}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

$\cos {(2x)}\sin ^{2}{(x)}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die in Lemma 35.4 verwendeten Substitutionen ${}x=\cos t={\frac {1-s^{2}}{1+s^{2}}}$ und ${}y=\sin t={\frac {2s}{1+s^{2}}}$ die Kreisgleichung ${}x^{2}+y^{2}=1$ erfüllen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\sqrt {3x^{2}+4x-2}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-2x+2}}}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Erstelle ein Abbildungsdiagramm, das aufzeigt, wie sich eine rationale Funktion in den trigonometrischen Funktionen als eine zusammengesetze Funktion ergibt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Hintereinanderschaltung von zwei rationalen Funktionen wieder rational ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne die Hintereinanderschaltungen ${}f\circ g$ und ${}g\circ f$ der beiden rationalen Funktionen

$f(x)={\frac {2x^{2}-4x+3}{x-2}}\,\,{\text{ und }}\,\,g(x)={\frac {x+1}{x^{2}-4}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {e^{2t}+e^{3t}}{e^{4t}-1}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\cosh x+\sinh ^{2}x}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{9a^{x}+4a^{-x}}}$

mit ${}a>1$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{\sin {(3x)}\cos {(x)}}}.$

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {1}{x{\sqrt {-x^{2}+5x-6}}}}.$

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion

${\frac {({\sqrt {x^{2}+x+1}})^{2}+4x^{3}{\sqrt {x^{2}+x+1}}-3x}{x^{2}{\sqrt {x^{2}+x+1}}}}.$

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R} _{+}$

eine differenzierbare Funktion mit ${}f'(x)>0$ für alle ${}x>0$. Für welche Punkte ${}t\in [0,1]$ besitzt der Flächeninhalt der schraffierten Fläche ein lokales Extremum? Handelt es sich dabei um ein Minimum oder um ein Maximum?