Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 55/latex

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\setcounter{section}{55}






\zwischenueberschrift{Lineare Differentialgleichungssysteme}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {offenes reelles Intervall}{}{.} Eine \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} {Mv }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & a_{ n 2 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} ist, deren Einträge allesamt \definitionsverweis {Funktionen}{}{} \maabbeledisp {a_{ij}} {I} {\R } {t} {a_{ij}(t) } {,} sind, heißt \definitionswort {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{} oder \definitionswort {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem}{.}

}

Es handelt sich also um die Differentialgleichung zum \definitionsverweis {Vektorfeld}{}{} \maabbeledisp {f} {I \times \R^n} {\R^n } {(t,v)} {f(t,v) = (M(t))v = \begin{pmatrix} a_{11}(t)v_1 + \cdots + a_{1n}(t)v_n \\\vdots\\ a_{n1}(t)v_1 + \cdots + a_{nn}(t)v_n \end{pmatrix} } {.}

Dieses Vektorfeld ist zu jedem fixierten Zeitpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {{\R}^n} {{\R}^n } {v} {M(t)v } {.} Ausgeschrieben liegt das Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v'_1 \\\vdots\\ v'_n \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11}(t)v_1 + \cdots + a_{1n}(t)v_n \\\vdots\\ a_{n1}(t)v_1 + \cdots + a_{nn}(t)v_n \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} vor. Es gibt immer die Nulllösung, also die konstante Abbildung mit dem Nullvektor als Wert, diese nennt man auch die triviale Lösung.

Für lineare Differentialgleichungssysteme gibt es wieder eine inhomogene Variante.


\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {offenes reelles Intervall}{}{.} Eine \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} { Mv+z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & a_{ n 2 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} ist, deren Einträge allesamt \definitionsverweis {Funktionen}{}{} \maabbeledisp {a_{ij}} {I} {\R } {t} {a_{ij}(t) } {,} sind und wobei \maabbeledisp {z} {I} {\R^n } {t} {z(t) = \begin{pmatrix} z_1(t) \\\vdots\\ z_n(t) \end{pmatrix} } {,} eine Abbildung ist, heißt \definitionswort {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{} oder \definitionswort {inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem}{.} Die Abbildung $z$ heißt dabei \definitionswort {Störabbildung}{.}

}

Insgesamt liegt das Differentialgleichungssystem
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \begin{pmatrix} v'_1 \\\vdots\\ v'_n \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11}(t)v_1 + \cdots + a_{1n}(t)v_n +z_1(t) \\\vdots\\ a_{n1}(t)v_1 + \cdots + a_{nn}(t)v_n +z_n(t) \end{pmatrix} }
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\\vdots\\ v_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z_1(t) \\\vdots\\ z_n(t) \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } {}
} {} {}{} vor.

Die explizite Lösbarkeit eines solchen Systems hängt natürlich von der Kompliziertheit der beteiligten Funktionen \mathkor {} {a_{ij}} {und} {z_i} {} ab. In der folgenden Situation kann man das System auf einzelne eindimensionale lineare inhomogene Differentialgleichungen zurückführen und dadurch sukzessive lösen.

\inputfaktbeweistrivial
{Lineares Differentialgleichungssystem/Trigonalgestalt/Sukzessive Lösbarkeit/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{} und es liege eine \definitionsverweis {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix}' }
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\v_2\\ \vdots\\v_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} z_1 \\z_2\\ \vdots\\z_n \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit \definitionsverweis {stetigen Funktionen}{}{} \maabb {a_{ij}} {I} {\R } {} und \maabb {z_i} {I} {\R } {} und den Anfangsbedingungen
\mathdisp {v_i(t_0) =w_i \in \R \text{ für } i=1 , \ldots , n \,\, (t_0 \in I)} { }
vor.}
\faktfolgerung {Dann lässt sich diese Gleichung lösen, indem man sukzessive unter Verwendung der zuvor gefundenen Lösungen die \definitionsverweis {inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen}{}{,} nämlich
\mathdisp {v_n'= a_{nn}(t)v_n + z_n(t) \text{ mit } v_n(t_0)=w_n} { , }

\mathdisp {v_{n-1}'= a_{n-1\, n-1}(t)v_{n-1} +a_{n-1 \, n}(t) v_n(t)+ z_{n-1}(t) \text{ mit } v_{n-1}(t_0)=w_{n-1}} { , }

\mathdisp {v_{n-2}'= a_{n-2\, n-2}(t)v_{n-2} + a_{n-2 \, n-1}(t) v_{n-1}(t)+ a_{n-2 \, n}(t) v_{n}(t) + z_{n-2}(t) \text{ mit } v_{n-2}(t_0)=w_{n-2}} { , }

\mathdisp {\vdots} { }

\mathdisp {v_{1}'= a_{1 1}(t)v_{1} + a_{1 2}(t) v_{2}(t) + \cdots + a_{1n}(t) v_{n}(t) + z_{1}(t) \text{ mit } v_{1}(t_0)=w_{1}} { , }
löst.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}


}


Die Lösungen eines solchen linearen Differentialgleichungssystems in oberer Dreiecksgestalt stehen also in Bijektion zu den Lösungen der $n$ linearen inhomogenen Differentialgleichungen in einer Ortsvariablen, wobei die Störfunktionen jeweils mit den anderen Lösungen in der beschriebenen Weise zusammenhängen. Insbesondere übertragen sich Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen.

Auch wenn man ein homogenes System lösen möchte, so muss man in den Einzelschritten inhomogene Differentialgleichungen lösen.






\zwischenueberschrift{Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten}

Falls die Funktionen
\mathl{a_{ij}}{} alle konstant sind, so spricht man von einem \stichwort {linearen Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten} {,} welche im Wesentlichen mit Mitteln der linearen Algebra gelöst werden können. Dazu ist es sinnvoll, von vornherein auch komplexe Koeffizienten zuzulassen




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} { Mv }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M }
{ =} { \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & a_{ n 2 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_{ij} }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, heißt \definitionswort {homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{} oder \definitionswort {homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{.}

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {offenes Intervall}{}{.} Eine \definitionsverweis {Differentialgleichung}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v' }
{ =} { Mv + z }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ = }{ \begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\ a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n 1 } & a_{ n 2 } & \ldots & a_{ n n } \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Matrix}{}{} mit Einträgen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a_{ij} }
{ \in }{ {\mathbb C} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist und \maabbdisp {z} {I} {{\mathbb C}^n } {} eine Abbildung, heißt \definitionswort {inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten}{} oder \definitionswort {inhomogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten}{.}

} Die Störfunktion muss also nicht konstant sein.






\zwischenueberschrift{Trigonalisierbare lineare Abbildungen}

Um die Lösungstheorie für Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten zu entwickeln, müssen wir über trigonalisierbare lineare Abbildungen sprechen, einem wichtigen Kapitel der linearen Algebra, das zur Eigenraumtheorie gehört.






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {149px-Animation_Drap_Allemagne_T.eps} }
\end{center}
\bildtext {Eine Fahne setzt sich aus dem Fußpunkt, der Fahnenstange, dem Fahnentuch und dem Raum, in dem das Tuch weht, zusammen.} }

\bildlizenz { 149px-Animation Drap Allemagne T.gif } {} {MG} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} der Dimension
\mathl{n=\operatorname{dim} (V)}{.} Dann heißt eine Kette von \definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {V_0 }
{ \subset} { V_1 }
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1} }
{ \subset} {V_n }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {V }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{} eine \definitionswort {Fahne}{} in $V$.

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann heißt ein \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionswortpraemath {\varphi}{ invariant }{,} wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(U) }
{ \subseteq} { U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} der \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$ und \maabbdisp {f} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Eine \definitionsverweis {Fahne}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} { V_0 }
{ \subset} { V_1 }
{ \subset \ldots \subset} { V_{n-1} }
{ \subset} { V_n }
} {}{}{} heißt \definitionswortpraemath {f}{ invariant }{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(V_i) }
{ \subseteq }{ V_i }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mathl{i=0,1 , \ldots , n-1,n}{} ist.

}




\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein endlich-dimensionaler $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und \maabbdisp {f} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Dann heißt$f$ \definitionswort {trigonalisierbar}{,} wenn $V$ eine $f$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{} besitzt.

}





\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildung/Trigonalisierbar/Charakterisierungen/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.} }{Die Abbildung $\varphi$ wird bezüglich einer geeigneten \definitionsverweis {Basis}{}{} durch eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} beschrieben. }{Das \definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} zerfällt in \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{.} }}
\faktzusatz {Wenn $\varphi$ trigonalisierbar ist und bezüglich einer Basis durch die Matrix $M$ beschrieben wird, so gibt es eine \definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
\mathl{B \in \operatorname{Mat}_{ n \times n } (K)}{} derart, dass
\mathl{BMB^{-1}}{} eine \definitionsverweis {obere Dreiecksmatrix}{}{} ist.}
\faktzusatz {}

}
{

$(1) \Rightarrow (2)$. Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_i }
{ =} { \langle v_1 , \ldots , v_i \rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Da es sich dabei um eine $\varphi$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{} handelt, gilt
\mathdisp {\varphi(v_i)= b_{1i} v_1 +b_{2i} v_2 + \cdots + b_{ii} v_i} { . }
Bezüglich dieser Basis besitzt die \definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{} zu $\varphi$ \definitionsverweis {obere Dreiecksgestalt}{}{.}
$(2) \Rightarrow (3)$. Das charakteristische Polynom von $\varphi$ ist gleich dem charakteristischen Polynom $\chi_{ M }$, wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis ist. Wir können also eine obere Dreiecksmatrix nehmen, und daher ist nach Lemma 14.8 das charakteristische Polynom das Produkt der Linearfaktoren zu den Diagonaleinträgen.
$(3) \Rightarrow (1)$. Induktion nach $n$, für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist nichts zu zeigen. Es sei nun
\mathl{n \geq 1}{} und sei die Aussage für alle Endomorphismen auf Vektorräumen der Dimension $< n$ schon bewiesen. Es sei $\lambda_1$ eine Nullstelle von
\mathl{P= \chi_{ \varphi }}{.} Dann gibt es nach Satz 17.8 einen \definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
\mathl{v_1 \in V}{} zum Eigenwert
\mathl{\lambda_1}{.} Es sei
\mathl{u_2 , \ldots , u_n}{} eine Ergänzung von $v_1$ zu einer Basis von $V$. Wir setzen
\mathl{U= \langle u_2 , \ldots , u_n \rangle}{,} dies ist ein
\mathl{(n-1)}{-}dimensionaler Untervektorraum. Es ist
\mathdisp {\varphi(u_i) = a_iv_1 + b_{2i} u_2 + \cdots + b_{ni} u_n} { . }
Durch die Festlegung
\mathdisp {g(u_i) = a_iv_1 \in V} { }
erhalten wir eine lineare Abbildung \maabbdisp {g} {U} {V } {,} und durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h(u_i) }
{ =} { b_{i2} u_2 + \cdots + b_{in} u_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} erhalten wir eine lineare Abbildung \maabbdisp {h} {U} {U } {.} Mit diesen Abbildungen gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(u) }
{ =} { g(u) + h(u) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{u \in U}{,} da dies für die Basis gilt. In der Basis
\mathl{v_1,u_2 , \ldots , u_n}{} besitzt $\varphi$ die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} \lambda_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ 0 & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ 0 & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & b_{n2} & \cdots & b_{nn} \end{pmatrix}} { . }
Die Teilmatrix $N$ rechts unten ist dabei die beschreibende Matrix von $h$. Für das charakteristische Polynom gilt die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M } }
{ =} {(X- \lambda_1) \chi_{ N } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass nach Lemma 17.4 auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ N } }
{ =} { \chi_{ h } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in \definitionsverweis {Linearfaktoren}{}{} zerfällt. Wir können also auf \maabb {h} {U} {U } {} die Induktionsvoraussetzung anwenden. D.h. es gibt eine $h$-\definitionsverweis {invariante Fahne}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ =} {U_0 }
{ \subset} { U_1 }
{ \subset \ldots \subset} {U_{n-2} }
{ \subset} { U_{n-1} }
} {
\vergleichskettefortsetzung
{ =} { U }
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{.} Damit definieren wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ V_{i+1} }
{ \defeq} {K v_1 + U_i }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für
\mathl{i=0 , \ldots , n-1}{} und erhalten die \definitionsverweis {Fahne}{}{}
\mathdisp {0= V_0 \subset V_1 \subset \ldots \subset V_{n-1} \subset V_n=V} { . }
Diese Fahne ist $f$-invariant. Dies ist für $V_1$ klar, da dies ein Eigenraum ist. Ansonsten gilt für
\mathl{v \in V_i}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v }
{ = }{cv_1+u }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mathl{u \in U_i}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi(c v_1 + u) }
{ =} { c \lambda v_1 + \varphi(u) }
{ =} { c \lambda v_1 + g(u) +h(u) }
{ =} { (c \lambda + a) v_1 + h(u) }
{ } { }
} {}{}{,} und dies gehört zu
\mathl{V_i}{.}


\teilbeweis {Der Zusatz ergibt sich wie folgt.\leerzeichen{}}{}{}
{Die trigonalisierbare Abbildung $\varphi$ werde bezüglich der Basis
\mathl{\mathfrak{ u }}{} durch die Matrix $M$ beschrieben, und bezüglich der Basis
\mathl{\mathfrak{ v }}{} durch die obere Dreiecksmatrix $D$. Dann gilt nach Korollar 13.11 die Beziehung
\mathl{T=BMB^{-1}}{,} wobei $B$ den Basiswechsel beschreibt.}
{}

}





\inputfaktbeweis
{Quadratische Matrizen/C/Trigonalisierbar/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \in }{\operatorname{Mat}_{ n \times n } ({\mathbb C}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine quadratische Matrix mit \definitionsverweis {komplexen}{}{} Einträgen.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ \definitionsverweis {trigonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Dies folgt aus Fakt ***** und dem Fundamentalsatz der Algebra.

}



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