Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 56

Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten

Es sei eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gegeben, d.h.

$v^{\prime }=Mv$

mit einer konstanten Matrix

$M=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \dots & a_{nn}\end{array}\right)\text{ mit }{a}_{ij}\in 𝕂.$

Wir lassen hier also auch den Fall zu, dass die Einträge komplexe Zahlen sind. Beim Auffinden der Lösungen zu einer reellen Matrix ist es nämlich hilfreich, die reellen Zahlen als komplexe Zahlen aufzufassen, um dort Umformungen durchzuführen, die im Reellen nicht möglich sind. Die Lösungen werden aber nach wie vor auf reellen Intervallen definiert sein.

Ausgeschrieben liegt also das Differentialgleichungssystem

$\left(\begin{array}{c}v{\text{'}}_1\\ ⋮\\ v{\text{'}}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_{11}{v}_1+\cdots +a_{1n}{v}_n\\ ⋮\\ a_{n1}{v}_1+\cdots +a_{nn}{v}_n\end{array}\right)$

vor. Solche Systeme lassen sich mit Hilfe der linearen Algebra auf eine Folge von inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen zurückführen und damit sukzessive lösen. Das folgende einfache Lemma gibt bereits einen deutlichen Hinweis darauf, dass lineare Eigenschaften der Matrix $M$ eng mit den Lösungen des Differentialgleichungssystems zusammenhängen.

Lemma

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

mit  $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(𝕂)$  eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei  $u\in {𝕂}^n$  ein Eigenvektor zu $M$ zum Eigenwert  $\lambda \in 𝕂$. 

Dann ist die Abbildung

$v:ℝ⟶{𝕂}^n,t⟼c{e}^{\lambda t}u=c\left(\begin{array}{c}{e}^{\lambda t}{u}_1\\ ⋮\\ e^{\lambda t}{u}_n\end{array}\right),$

($c\in 𝕂$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.

Beweis

Dies folgt direkt aus

$\begin{array}{cc}{v}^{\prime }(t)& ={\left(\begin{array}{c}c{e}^{\lambda t}{u}_1\\ ⋮\\ c{e}^{\lambda t}{u}_n\end{array}\right)}^{\prime }\\ & =\left(\begin{array}{c}(c{e}^{\lambda t}{u}_1{)}^{\prime }\\ ⋮\\ (c{e}^{\lambda t}{u}_n{)}^{\prime }\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}\lambda c{e}^{\lambda t}{u}_1\\ ⋮\\ \lambda c{e}^{\lambda t}{u}_n\end{array}\right)\\ & =\lambda c{e}^{\lambda t}\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right)\\ & =M\left(c{e}^{\lambda t}\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right)\right)\\ & =M\left(\begin{array}{c}c{e}^{\lambda t}{u}_1\\ ⋮\\ c{e}^{\lambda t}{u}_n\end{array}\right).\end{array}$

$◻$

Nun untersuchen wir systematisch, wie man Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten löst.

Lemma

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

mit  $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(𝕂)$  eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei  $B\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(𝕂)$  eine invertierbare Matrix und es sei

$N=BM{B}^{-1}.$

Dann ist

$v:ℝ⟶{𝕂}^n,t⟼v(t),$

genau dann eine Lösung von  $v^{\prime }=Mv$,  wenn  $w=Bv$  eine Lösung der Differentialgleichung  $w^{\prime }=Nw$  ist.

Beweis

Es sei vorausgesetzt, dass

$v^{\prime }=Mv$

ist. Dann gelten für  $w=Bv$  mit  $B=(b_{ij}{)}_{ij}$  die Gleichungen

$\begin{array}{cc}{w}^{\prime }(t)& =\left(\begin{array}{c}{w_1}^{\prime }(t)\\ ⋮\\ {w_n}^{\prime }(t)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}(b_{11}{v}_1(t)+\cdots +b_{1n}{v}_n(t){)}^{\prime }\\ ⋮\\ (b_{n1}{v}_1(t)+\cdots +b_{nn}{v}_n(t){)}^{\prime }\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}{b}_{11}v{\text{'}}_1(t)+\cdots +b_{1n}v{\text{'}}_n(t)\\ ⋮\\ b_{n1}v{\text{'}}_1(t)+\cdots +b_{nn}v{\text{'}}_n(t)\end{array}\right)\\ & =B\left(\begin{array}{c}{v_1}^{\prime }(t)\\ ⋮\\ {v_n}^{\prime }(t)\end{array}\right)\\ & =BM\left(\begin{array}{c}{v}_1(t)\\ ⋮\\ v_n(t)\end{array}\right)\\ & =BM{B}^{-1}\left(\begin{array}{c}{w}_1(t)\\ ⋮\\ w_n(t)\end{array}\right),\end{array}$

sodass $w$ die Differentialgleichung

$w^{\prime }=Nw$

löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von  $w^{\prime }=Nw$  die Abbildung $B^{-1}w$ eine Lösung für  $v^{\prime }=Mv$  ist.

$◻$

Satz

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

mit  $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(ℂ)$  ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann gibt es eine invertierbare Matrix  $B\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(ℂ)$  derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem

$w^{\prime }=Nw\text{ mit }N=BM{B}^{-1}$

obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form

$\left(\begin{array}{c}w{\text{'}}_1\\ w{\text{'}}_2\\ ⋮\\ w{\text{'}}_{n-1}\\ {w_n}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{c}_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n}\\ 0& c_{22}& \cdots & c_{2n}\\ ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& c_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\\ ⋮\\ w_{n-1}\\ w_n\end{array}\right)$

(mit $c_{ij}\in ℂ$) ist.

Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen  $v_i(t_0)=a_i$  für  $i=1,\dots ,n$  gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.

Beweis

Aufgrund von Korollar 55.11 ist die Matrix $M$ trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix  $B\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(ℂ)$  derart, dass

$N=BM{B}^{-1}$

obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem  $w^{\prime }=Nw$  besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Lemma 56.2 äquivalent zum ursprünglichen System. Die letzte Zeile des neuen Systems, also

${w_n}^{\prime }=c_{nn}{w}_n,$

ist eine lineare Differentialgleichung in einer Variablen, ihre Lösungen sind  $w_n(t)=a{e}^{c_{nn}t}$.  Die zweitletzte Zeile ist

$w_{n^{\prime }-1}=c_{n-1n-1}{w}_{n-1}+c_{n-1n}{w}_n,$

worin man die Lösung für $w_n$ einsetzen kann. Dann erhält man eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung in der einen Variablen $w_{n-1}$, die man mit dem angegebenen Lösungsverfahren lösen kann. Für die drittletzte Zeile sind dann $w_{n-1}$ und $w_n$ schon bekannt und dies führt wieder zu einer inhomogenen linearen Differentialgleichung für $w_{n-2}$. So erhält man sukzessive eine Gesamtlösung $(w_1,\dots ,w_n)$. Eine Anfangsbedingung für  $v^{\prime }=Mv$  übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für  $w^{\prime }=Nw$.  In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils eindeutig sind.

$◻$

Satz

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

mit  $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(ℝ)$  eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung $v(t_0)=u\in {ℝ}^n$, $t_0\in ℝ$.

Dann gibt es genau eine auf $ℝ$ definierte Lösung

$v:ℝ⟶{ℝ}^n$

für dieses Anfangswertproblem.

Beweis

Aufgrund von Satz 56.3 gibt es eine eindeutige komplexwertige Lösung

$v:ℝ⟶{ℂ}^n$

für dieses Differentialgleichungssystem. Da eine reellwertige Lösung insbesondere eine komplexwertige Lösung ist, liegt Eindeutigkeit vor. Der Realteil der komplexen Lösung, also

$\mathrm{Re}\left(v\right):ℝ⟶{ℝ}^n,t⟼\mathrm{Re}(v(t)),$

ist ebenfalls eine Lösung dieses Systems. Wegen der Eindeutigkeit muss  $v=\mathrm{Re}\left(v\right)$  sein.

$◻$

Korollar

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

mit  $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(𝕂)$  ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann ist die Menge der Lösungen

$\phi :ℝ⟶{𝕂}^n$

ein $n$-dimensionaler $𝕂$-Vektorraum.

Beweis

Dass der Lösungsraum ein $𝕂$-Vektorraum ist, kann man direkt nachrechnen. Aufgrund von Satz 56.3 bzw. Satz 56.4 gibt es zu jedem Vektor  $w\in {𝕂}^n$  genau eine Lösung

$\phi :ℝ⟶{𝕂}^n$

mit

$\phi (0)=w.$

Die Zuordnung, die eine Lösung $\phi$ der Differentialgleichung auf den Ortspunkt $\phi (0)$ abbildet, ist linear, sodass eine lineare Isomorphie zwischen dem Lösungsraum und ${𝕂}^n$ vorliegt.

$◻$

Definition

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

mit  $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(𝕂)$  ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.

Korollar

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

mit  $M\in {\mathrm{Mat}}_{n\times n}(𝕂)$  eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix $M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren $u_1,\dots ,u_n$.

Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

$\{c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}\cdot u_1+\cdots +c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}\cdot u_n\mid c_i\in 𝕂\},$

wobei ${\lambda }_i$ der Eigenwert zu $u_i$ ist.

Beweis

Dies folgt direkt aus Lemma 56.1 und aus Korollar 56.5.

$◻$

Beispiel

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

${\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right)}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}\lambda & \gamma \\ 0& \mu \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right).$

Für

$v_2(t)=0$

(also die konstante Nullfunktion in der zweiten Komponente) ergibt sich aus der ersten Zeile (bis auf skalare Vielfache) sofort  $v_1=e^{\lambda t}$,  was insgesamt der Lösung (der ersten Fundamentallösung)

$\left(\begin{array}{c}{e}^{\lambda t}\\ 0\end{array}\right)$

zum Eigenvektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ gemäß Lemma 56.1 entspricht.

Es sei nun  $v_2\ne 0$.  Dann führt die zweite Zeile zu  $v_2=e^{\mu t}$,  was wir Satz 56.3 entsprechend zu einer Gesamtlösung fortsetzen. Die erste Zeile lautet somit

${v_1}^{\prime }=\lambda v_1+\gamma e^{\mu t}.$

Die Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung ist $c\cdot e^{\lambda t}$, sodass sich mit der Variation der Konstanten der Ansatz  $v_1(t)=c(t)\cdot e^{\lambda t}$  mit

$c^{\prime }(t)=\gamma \cdot e^{\mu t}\cdot e^{-\lambda t}=\gamma \cdot e^{(\mu -\lambda )t}$

ergibt.

Bei  $\mu =\lambda$  ergibt sich  $c(t)=\gamma t$  und damit die zweite Fundamentallösung

$v(t)=\left(\begin{array}{c}\gamma t{e}^{\lambda t}\\ e^{\lambda t}\end{array}\right).$

Bei  $\gamma \ne 0$  gehört diese zweite Lösung nicht zu einem Eigenvektor.

Bei  $\mu \ne \lambda$  ergibt sich  $c(t)=\frac{\gamma }{\mu -\lambda }{e}^{(\mu -\lambda )t}$  und damit die zweite Fundamentallösung

$v(t)=\left(\begin{array}{c}\frac{\gamma }{\mu -\lambda }{e}^{\mu t}\\ e^{\mu t}\end{array}\right)=e^{\mu t}\left(\begin{array}{c}\frac{\gamma }{\mu -\lambda }\\ 1\end{array}\right).$

Dies ist wieder eine Lösung, die zu einem Eigenvektor gehört.

Beispiel

Wir betrachten die Bewegung eines Punktes auf der Geraden, wobei die Lage des Punktes proportional zur auf ihn wirkenden Kraft (bzw. Beschleunigung) in Richtung des Nullpunkts sein soll. Wenn der Punkt sich in ${ℝ}_{+}$ befindet und sich in die positive Richtung bewegt, so wirkt diese Kraft bremsend, wenn er sich in die negative Richtung bewegt, so wirkt die Kraft beschleunigend. Mit der Proportionalitätskonstante $1$ gelangt man zur linearen Differentialgleichung (zweiter Ordnung)

$y^{\prime \prime }=-y,$

die diesen Bewegungsvorgang beschreibt. Als Anfangsbedingung wählen wir $y(0)=0$ und $y^{\prime }(0)=v$, zum Zeitpunkt $0$ soll die Bewegung also durch den Nullpunkt gehen und dort die Geschwindigkeit $v$ besitzen. Man kann sofort die Lösung

$y(t)=v\cdot \sin t$

angeben. Wir werden diese Lösung mit den Lösungsmethoden für lineare Differentialgleichungen herleiten. Die Differentialgleichung führt zum linearen Differentialgleichungssystem

$\left(\begin{array}{c}{y_0}^{\prime }\\ {y_1}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ -y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_0\\ y_1\end{array}\right).$

Das charakteristische Polynom ist

$x^2+1=(x-\mathrm{i})(x+\mathrm{i}),$

und Eigenvektoren sind $\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{i}\end{array}\right)$ (zum Eigenwert $\mathrm{i}$) und $\left(\begin{array}{c}1\\ -\mathrm{i}\end{array}\right)$ (zum Eigenwert $-\mathrm{i}$). Die allgemeine komplexe Lösung ist also nach Korollar 56.7 gleich

$\left(\begin{array}{c}{y}_0(t)\\ y_1(t)\end{array}\right)=c_1{e}^{\mathrm{i}t}\left(\begin{array}{c}1\\ \mathrm{i}\end{array}\right)+c_2{e}^{-\mathrm{i}t}\left(\begin{array}{c}1\\ -\mathrm{i}\end{array}\right),$

wobei letztlich nur der Realteil der ersten Zeile interessiert. Die Anfangsbedingung führt zu

$c_1+c_2=0\text{ und }{c}_1\mathrm{i}-c_2\mathrm{i}=v.$

Also ist $c_2=-c_1$ und $c_1=\frac{v}{2\mathrm{i}}$. Daher ist die Lösung

$\frac{v}{2\mathrm{i}}{e}^{\mathrm{i}t}-\frac{v}{2\mathrm{i}}{e}^{-\mathrm{i}t}=v\cdot \sin t$

nach Satz 25.11.

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