Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Arbeitsblatt 55

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Welche linearen Vektorfelder

sind Gradientenfelder? Wie sehen die Potentialfunktionen dazu aus?


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige folgende Eigenschaften.

  1. Der Nullraum ist -invariant.
  2. ist -invariant.
  3. Eigenräume sind -invariant.
  4. Seien -invariante Unterräume. Dann sind auch und -invariant.
  5. Sei ein -invarianter Unterraum. Dann sind auch der Bildraum und der Urbildraum -invariant.


Aufgabe *

Es sei ein -dimensionaler -Vektorraum über einem Körper . Es sei

eine Fahne in . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

derart gibt, dass diese Fahne die einzige -invariante Fahne ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung und . Zeige, dass der kleinste -invariante Unterraum von , der enthält, gleich

ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und

eine lineare Abbildung. Zeige, dass die durch

definierte Teilmenge von ein -invarianter Unterraum

ist.


Aufgabe

Definiere: eine lineare Differentialgleichung höherer Ordnung (homogen/inhomogen; mit konstanten Koeffizienten). Zeige, dass eine solche lineare Differentialgleichung höherer Ordnung zu einem entsprechenden linearen Differentialgleichungssystem wie in Lemma 54.8 äquivalent ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die Matrix

über trigonalisierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine eigentliche Isometrie. Es sei vorausgesetzt, dass trigonalisierbar ist. Zeige, dass dann sogar diagonalisierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine reelle -Matrix, die über nicht trigonalisierbar ist. Zeige, dass über diagonalisierbar ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse die Differentialgleichung

(mit ) und der Anfangsbedingung und .


Die für , , und ein definierte lineare Differentialgleichung

heißt Legendresche Differentialgleichung zum Parameter .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass das -te Legendre-Polynom

eine Lösung der Legendreschen Differentialgleichung zum Parameter ist.



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