Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/10/Klausur/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 3 3 3 7 8 6 2 2 2 4 5 4 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen


Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 (erster Ferientag) und endeten am 6.1.2016 (letzter Ferientag). Wie lange dauerten die Ferien?


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ) stets eine Quadratzahl ist.


Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass gilt.


Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

die einem Vierertupel das Vierertupel

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.


Aufgabe * (8 (2+1+2+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei . Zu einem Startwert sei eine reelle Folge rekursiv durch

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ist für alle und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ist die Folge konstant.

(c) Bei ist für alle und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist .


Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad derart gibt, dass für alle ist.


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung einen Schnittpunkt mit der durch definierten Geraden besitzt.


Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis .


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu


Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Kern der durch die Matrix

gegebenen linearen Abbildung


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

  1. Bestimme die invertierbaren - Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen.
  2. Welche davon sind zu sich selbst invers?


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

  1. Bestimme das charakteristische Polynom zu .
  2. Bestimme die Eigenwerte mit Vielfachheiten von über .
  3. Bestimme die Eigenräume von über .





Anhang

Eine Stammfunktion von ist