Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/10/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	3	7	8	6	2	2	2	4	5	4	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Die Weihnachtsferien begannen am 22.12.2015 (erster Ferientag) und endeten am 6.1.2016 (letzter Ferientag). Wie lange dauerten die Ferien?

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Illustriere die dritte binomische Formel durch eine geeignete geometrische Figur.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise durch Induktion, dass die Summe von aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen (beginnend bei ${}1$ ) stets eine Quadratzahl ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, ausgehend von den Axiomen für einen angeordneten Körper, dass ${}1>0$ gilt.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel ${}(a,b,c,d)$ nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Aufgabe * (8 (2+1+2+1+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}a\in \mathbb {R}$ . Zu einem Startwert ${}x_{0}\in \mathbb {R}$ sei eine reelle Folge rekursiv durch

{}x_{n+1}={\frac {x_{n}+a}{2}}\,

definiert. Zeige die folgenden Aussagen.

(a) Bei ${}x_{0}>a$ ist ${}x_{n}>a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng fallend.

(b) Bei ${}x_{0}=a$ ist die Folge konstant.

(c) Bei ${}x_{0}<a$ ist ${}x_{n}<a$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und die Folge ist streng wachsend.

(d) Die Folge konvergiert.

(e) Der Grenzwert ist ${}a$ .

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},

gilt ${}f(-1)=-1$ und ${}f(1)=1$ . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen ${}-1$ und ${}1$ geben, also eine Zahl ${}x\in [-1,1]$ mit ${}f(x)=0$ . Es ist doch aber stets ${}{\frac {1}{x}}\neq 0$ .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

eine stetig differenzierbare Funktion, die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte ${}P\neq Q$ besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung ${}f'$ einen Schnittpunkt mit der durch ${}y=1$ definierten Geraden besitzt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Ableitung der Exponentialfunktionen zu einer Basis ${}a>0$ .

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien

f_{1},f_{2}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}

periodische Funktionen mit den Periodenlängen ${}L_{1}$ bzw. ${}L_{2}$ . Der Quotient ${}L_{1}/L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch ${}f_{1}+f_{2}$ eine periodische Funktion ist.