Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/36/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	3	4	6	3	4	2	6	4	4	3	3	5	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

In Beweisen findet man häufig die Formulierung „Wir nehmen (jetzt, also) an“. Welche Bedeutungen im Beweis kann diese Formulierung haben?

Aufgabe * (2 (0.5+0.5+0.5+0.5) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Wertetabelle

${}i$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
${}a_{i}$	${}2$	${}5$	${}4$	${}-1$	${}3$	${}5$	${}-2$	${}2$

1. Berechne ${}a_{2}+a_{5}$.
2. Berechne ${}\sum _{k=3}^{6}a_{k}$.
3. Berechne ${}\prod _{i=0}^{3}a_{2i+1}$.
4. Berechne ${}\sum _{i=4}^{5}a_{i}^{2}$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige durch Induktion, dass jede natürliche Zahl ${}n\geq 2$ eine Zerlegung in Primzahlen besitzt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise

${}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}2^{i}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$ und sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom, das eine Zerlegung in Linearfaktoren besitze. Es sei ${}T$ ein Teiler von ${}P$. Zeige, dass ${}T$ ebenfalls eine Zerlegung in Linearfaktoren besitzt, wobei die Vielfachheit eines Linearfaktors ${}X-a$ in ${}T$ durch seine Vielfachheit in ${}P$ beschränkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und seien ${}a>b>0$ Elemente aus ${}K$. Zeige

${}{\frac {1}{a-b}}+{\frac {1}{a+b}}\geq {\frac {2}{a}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle konvergente Folge mit ${}x_{n}\neq 0$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\neq 0$. Zeige, dass ${}{\left({\frac {1}{x_{n}}}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ ebenfalls konvergent mit

${}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {1}{x}}\,$

ist.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Hans will sich ein Frühstücksei kochen. Im Moment, als er das Ei in das kochende Wasser eintaucht, zeigt seine Uhr ${}7:21$ (die Uhr läuft genau und hat keine Sekundenangabe). Als er das nächste Mal auf die Uhr schaut, zeigt sie ${}7:26$ an. Bestimme das Infimum, Minimum, Supremum, Maximum der Zeit, die das Ei zwischen den beiden Momenten im Wasser ist.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Zwischenwertsatz.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f(x)=ax^{2}+bx+c,\,a\neq 0,$

ein reelles Polynom vom Grad ${}2$. Zeige, dass der Durchschnitt des Graphen der Funktion mit jeder Tangenten an den Graphen aus genau einem Punkt besteht.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Definiere die Funktion

   $[-1,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

   deren Graph der obere Halbkreis mit Mittelpunkt ${}(0,0)$ und Radius ${}1$ ist.

2. Bestimme das Taylorpolynom vom Grad ${}3$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}0$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt[{3}]{5x+1}}}dx.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in zwei Variablen über ${}\mathbb {Q}$ gegeben. Die Lösungsmengen der einzelnen Gleichungen seien Geraden. Skizziere die drei Möglichkeiten, wie die Lösungsmenge des Systems aussehen kann.

Aufgabe * (5 (2+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen.

1. Zeige, dass die Polynomfunktionen

   $\varphi _{d}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto x^{d},$

   mit ${}0\leq d<q$ linear unabhängig sind.

2. Zeige, dass die Exponentialfunktionen

   $\psi _{b}\colon K\longrightarrow K,\,x\longmapsto b^{x},$

   mit ${}0\leq b<q$ linear unabhängig sind.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Aussage: Es sei ${}\lambda$ ein Eigenwert zur oberen Dreiecksmatrix

${}M={\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Dann ist

${}\lambda =d_{n}\,.$

Beweis: Es sei

${}x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,$

ein Eigenvektor der Matrix zum Eigenwert ${}\lambda$. Dies bedeutet die Gleichheit

${}{\begin{pmatrix}d_{1}&\ast &\cdots &\cdots &\ast \\0&d_{2}&\ast &\cdots &\ast \\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&\ast \\0&\cdots &\cdots &0&d_{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=\lambda {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\,.$

Diese Gleichheit bedeutet die entsprechende Gleichheit in jeder Zeile. Speziell ergibt sich für die letzte Zeile die Bedingung

${}d_{n}x_{n}=\lambda x_{n}\,.$

Da ${}x$ als Eigenvektor von ${}0$ verschiedenen sein muss, kann man durch ${}x_{n}$ dividieren und erhält ${}d_{n}=\lambda$. “

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}.$