Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/46/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	1	3	3	1	2	2	5	3	3	5	3	5	3	3	2	4	1	9	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von ${}20$ Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
3. Linda engagiert sich bei Attac.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

$\{1,2,\ldots ,9\}\times \{1,2,\ldots ,9\}\longrightarrow \{1,2,\ldots ,9\},\,(i,j)\longmapsto a_{i,j},$

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.

Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Skizziere die Funktion

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q} ,\,x\longmapsto -\left\lfloor -x\right\rfloor .$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestätige die Gleichung

${}(-2+{\mathrm {i} })^{3}+(-2-{\mathrm {i} })^{3}=(1+{\mathrm {i} })^{4}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Symmetrieachse für den Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2}-7x+5.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

${\left(x-{\frac {{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}{\left(x-{\frac {-{\sqrt {3}}+1}{4}}\right)}^{2}-{\frac {1}{8}}x-{\frac {1}{64}}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Erläutere das Konzept „Approximation“ anhand typischer Beispiele.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob die Folge

${}x_{n}={\frac {7n^{4}-2n^{2}+5}{4n^{4}-5n^{3}+n-6}}\,$

in ${}\mathbb {Q}$ konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}x\in T$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}f$ ist stetig im Punkt ${}x$.
2. Für jede konvergente Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$ mit ${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x$ ist auch die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergent.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Produktregel für differenzierbare Funktionen unter Verwendung der Regel

${}{\left(f^{2}\right)}'=2f\cdot f'\,$

mit Hilfe von

${}fg={\frac {1}{4}}{\left((f+g)^{2}-(f-g)^{2}\right)}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den zweiten Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom vom Grad ${}n$ und ${}a\in \mathbb {R}$. Zeige unter Verwendung der Taylor-Formel, dass das Taylor-Polynom vom Grad ${}n$ zu ${}f$ im Entwicklungspunkt ${}a$ mit ${}f$ übereinstimmt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme eine Stammfunktion von

${}f(x)=-e^{\sin x}\cos x-e^{x}\sin \left(e^{x}\right)+{\frac {7x}{x^{2}+3}}\,.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}\lambda &1\\0&\lambda \end{pmatrix}}\,$

mit ${}\lambda \in K$. Zeige durch Induktion, dass

${}M^{n}={\begin{pmatrix}\lambda ^{n}&n\lambda ^{n-1}\\0&\lambda ^{n}\end{pmatrix}}\,$

ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen. Bestimme die Anzahl der nicht invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen über ${}K$.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die Determinante zur Matrix

${\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\1&1&1&0&0\\0&1&1&1&0\\0&0&1&1&1\\0&0&0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (9 (2+3+4) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme

$M^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

für ${}n=1,2,3,4$.

b) Sei

${}{\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}}:=M^{n}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,.$

Erstelle eine Beziehung zwischen den Folgen ${}x_{n}$ und ${}y_{n}$ und Rekursionsformeln für diese Folgen.

c) Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren zu ${}M$.