Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/58/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 2 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 2 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 8 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 2 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 1 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 4 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabelleeinundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {injektive} {} Abbildung \maabbdisp {f} {L} {M } {.}
}{Die \stichwort {komplexe Konjugation} {.}
}{Der \stichwort {Tangens hyperbolicus} {.}
}{Das \stichwort {Unterintegral} {} einer nach unten beschränkten Funktion \maabbdisp {f} {[a,b]} {\R } {.}
}{Die \stichwort {Dimension} {} eines $K$-Vektorraums $V$ \zusatzklammer {$V$ besitze ein endliches Erzeugendensystem} {} {.}
}{Das \stichwort {charakteristische Polynom} {} zu einer
\mathl{n \times n}{-}Matrix $M$ mit Einträgen in einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$.
}
}
{
\aufzaehlungsechs{Die Abbildung
\maabbdisp {f} {L} {M
} {}
ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
\mathl{x,y \in L}{} auch
\mathl{f(x)}{} und
\mathl{f(y)}{} verschieden sind.
}{Die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z = a+b { \mathrm i} } { \overline{ z } = a-b { \mathrm i}
} {,}
heißt komplexe Konjugation.
}{Die durch
\maabbeledisp {} {\R} {\R
} {x} { \tanh x = { \frac{ \sinh x }{ \cosh x } } = { \frac{ e^x - e^{-x} }{ e^x + e^{-x } }}
} {,}
definierte
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
heißt Tangens hyperbolicus.
}{Das
\definitionsverweis {Supremum}{}{}
von sämtlichen
\definitionsverweis {Treppenintegralen}{}{}
zu
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktionen}{}{}
von $f$ heißt das Unterintegral von $f$.
}{Unter der Dimension eines Vektorraums $V$ versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von $V$.
}{Das
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }
}
{ \defeq} {\det \left( X \cdot E_n - M \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
heißt charakteristisches Polynom von $M$.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {Zwischenwertsatz} {.}}{Die Ableitung der reellen Exponentialfunktion.}{Der Satz über die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Dreiecksgestalt.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Es seien
\mathl{a \leq b}{} reelle Zahlen und sei
\maabb {f} {[a,b]} { \R
} {}
eine stetige Funktion. Es sei
\mathl{y \in \R}{} eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {f(a)} {und} {f(b)} {.}
Dann gibt es ein
\mathl{x \in [a,b]}{} mit
\mathl{f(x)=y}{.}}{Die Exponentialfunktion
\maabbeledisp {} { \R} {\R
} {x} { \exp x
} {,}
ist differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \!'( x )
}
{ =} { \exp x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}{Jedes
\zusatzklammer {inhomogene} {} {}
lineare Gleichungssystem über einem Körper $K$ lässt sich durch elementare Umformungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
\mathdisp {\begin{matrix}
b_{1s_1} x_{s_1} & + b_{1 s_1 +1} x_{s_1+1} & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & +b_{1 n} x_{n} & = & d_1 \\
0 & \ldots & 0 & b_{2 s_2} x_{s_2} & \ldots & \ldots & \ldots & + b_{2 n} x_{n} & = & d_2 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & = & \vdots \\
0 & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & b_{m {s_m} } x_{s_m} & \ldots & +b_{m n} x_n & = & d_m \\
( 0 & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & 0 & = & d_{m+1} )
\end{matrix}} { }
überführen, bei dem alle Startkoeffizienten
\mathl{b_{1s_1}, b_{2 s_2} , \ldots , b_{m s_m}}{} von $0$ verschieden sind.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es seien
\mathl{p,q,r,s,t,u}{} Aussagenvariablen. Zeige, dass die Aussage
\mathdisp {p \vee { \left( p \rightarrow { \left( r \wedge \neg s \wedge { \left( { \left( u \rightarrow p \right) } \vee { \left( q \rightarrow \neg s \right) } \right) } \right) } \right) }} { }
eine Tautologie ist. Ist eine Wahrheitstabelle hier sinnvoll?
}
{
Die Aussage ist von der Form
\mathdisp {p \vee { \left( p \rightarrow \alpha \right) }} { . }
Wenn $p$ wahr ist, so ist die linke Alternative wahr. Wenn $p$ falsch ist, so ist der Vordersatz der rechten Implikation falsch und damit diese Implikation wahr. In diesem Fall ist also auch die Gesamtaussage wahr.
Eine Wahrheitstabelle ist hier nicht sinnvoll, da dort
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2^6
}
{ = }{ 64
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Kombinationen durchprobiert werden müssten, die entscheidende Fallunterscheidung aber nur von $p$ abhängt.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Heidi Gonzales macht Karate und isst gerne Schokolade. Um eine Schokolade schneller in ihre Teilstücke zerlegen zu können, hat sie einen speziellen Karateschlag entwickelt, mit dem sie beliebig viele Schokoladenstücke gleichzeitig längs einer Rille zerteilen kann, die Stücke müssen dabei nur derart übereinander liegen, dass die Rillen übereinander liegen. Heide hat nun eine Schokolade mit
\mathl{4 \times 6}{} Teilstücken. Mit wie vielen Karateschlägen kann sie minimal die Schokolade vollständig zerlegen?
}
{
Sie kann es mit fünf Karateschlägen schaffen. Mit dem ersten Schlag macht sie zwei
\mathl{2 \times 6}{-}Schokoladen, legt diese übereinander und macht daraus vier
\mathl{1 \times 6}{-}Schokoladen. Dann legt sie diese übereinander, haut in der Mitte durch und macht daraus acht
\mathl{1 \times 3}{-}Schokoladen. Dann legt sie diese acht Stück übereinander und haut das linke Drittel ab, wobei acht $1 \times 1$-Stücke und acht $1 \times 2$-Stücke entstehen. Zuletzt halbiert sie noch diese acht Stücke mit einem Schlag.
Mit vier Karateschlägen kann sie es nicht schaffen. Da mit jedem Schlag aus jeder Teilschokolade höchstens zwei Teilschokoladen entstehen, kann es nach vier Schlägen höchstens
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{2^4
}
{ = }{ 16
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Stücke geben, aber keine $24$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Biclique K 3 3.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Biclique K 3 3.svg } {} {Koko90} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.
}
{Wasser/Gas/Elektrizität/Eine Überschneidung/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise die Formel
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^n
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
durch Induktion nach $n$.
}
{
Für
\mathl{n=0}{} steht einerseits
\mathl{2^0=1}{} und andererseits
\mathl{1^0 \cdot 1^0=1}{.} Es sei die Aussage bereits für $n$ bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und von
[[Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Binomialkoeffizient/Summe in Pascaldreieck/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ 2^{n+1}
}
{ =} {2 \cdot 2^n
}
{ =} { (1+1) \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k }
}
{ =} { \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k } + \sum_{k = 0}^n \binom { n } { k }
}
{ =} {\sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \binom { n } { k-1 } + \sum_{ k=0 } ^{ n+1 } \binom { n } { k }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \sum_{ k= 1 } ^{ n+1 } \left( \binom { n } { k-1 } + \binom { n } { k } \right) + 1
}
{ =} { \sum_{ k=1 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k } + 1
}
{ =} { \sum_{ k= 0 } ^{ n +1} \binom { n+1 } { k }
}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Berechne das Quadrat des Polynoms
\mathdisp {1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } x- { \frac{ 1 }{ 8 } } x^2} { . }
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } x- { \frac{ 1 }{ 8 } } x^2 \right) }^2
}
{ =} { { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } x- { \frac{ 1 }{ 8 } } x^2 \right) } \cdot { \left( 1 + { \frac{ 1 }{ 2 } } x- { \frac{ 1 }{ 8 } } x^2 \right) }
}
{ =} { 1 + { \frac{ 1 }{ 4 } } x^2 + { \frac{ 1 }{ 64 } } x^4 +x - { \frac{ 1 }{ 4 } } x^2 - { \frac{ 1 }{ 8 } } x^3
}
{ =} { 1 +x - { \frac{ 1 }{ 8 } } x^3 + { \frac{ 1 }{ 64 } } x^4
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und $x,y>0$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \geq }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann gilt, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x/y
}
{ \geq 1} {
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{
Wegen
\mathl{y>0}{} ist nach
Aufgabe 5.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
auch
\mathl{y^{-1} >0}{.} Aus
\mathl{x \geq y}{} folgt daher durch Multiplikation mit
\mathl{y^{-1}}{} die Beziehung
\mathl{x y^{-1} \geq y y^{-1} =1}{.} Wenn umgekehrt
\mathl{x/y \geq 1}{} gilt, so folgt durch Multiplikation mit
\mathl{y>0}{} die Beziehung
\mathl{x= y \cdot x/y \geq y \cdot 1 =y}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Drücke
\mathdisp {\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[5]{7}} { }
mit einer einzigen Wurzel aus.
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[5]{7}
}
{ =} { 4^{ { \frac{ 1 }{ 3 } } } \cdot 7^{ { \frac{ 1 }{ 5 } } }
}
{ =} { { \left( 4^5 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 15 } } } \cdot { \left( 7^3 \right) }^{ { \frac{ 1 }{ 15 } } }
}
{ =} { 1024^{ \frac{ 1 }{ 15 } } \cdot 343^{ \frac{ 1 }{ 15 } }
}
{ =} { 351232^{ \frac{ 1 }{ 15 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\sqrt[15]{351232 }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zu jeder natürlichen Zahl $n$ sei ein normiertes Polynom $P_n$ vom Grad $n$ und ein normiertes Polynom $Q_n$ vom Grad $n+1$ gegeben. Ist die Folge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x_n
}
{ =} { { \frac{ P_n(n) }{ Q_n(n) } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {es sei zusätzlich stets
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{Q_n(n)
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
eine
\definitionsverweis {Nullfolge}{}{?}
}
{
Die Folge $x_n$ muss keine Nullfolge sein. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_n
}
{ =} { X^n -nX^{n-1} +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q_n
}
{ =} { X^{n+1} - nX^{n} +1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P_n(n)
}
{ =} { n^n - n \cdot n^{n-1} +1
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ebenso
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q_n(n)
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist $x_n$ die konstante Folge mit dem Wert $1$ und dem Grenzwert $1$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 + { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine reelle Lösung im Intervall
\mathl{[1,2]}{} besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.
}
{
Die Gleichung ist
\zusatzklammer {für
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^3-3x +1
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(1)
}
{ =} {-1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(2)
}
{ =} {3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
dem Zwischenwertsatz
gibt es also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Um ein solches $x$ anzunähern, verwenden wir die Intervallhalbierungsmethode. Die Intervallmitte ist
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 2 } }}{} und es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 3 }{ 2 } } \right) }^3 -3 \cdot { \frac{ 3 }{ 2 } } +1
}
{ =} { { \frac{ 27 - 36 +8 }{ 8 } }
}
{ =} { -{ \frac{ 1 }{ 8 } }
}
{ <} {0
}
}
{}
{}{.}
Eine Nullstelle liegt also im Intervall
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 2 } } , 2]}{.} Die nächste Intervallmitte ist
\mathl{{ \frac{ 7 }{ 4 } }}{.} Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f { \left( { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 7 }{ 4 } } \right) }^3 -3 \cdot { \frac{ 7 }{ 4 } } +1
}
{ =} { { \frac{ 343- 336 + 64 }{ 64 } }
}
{ =} { { \frac{ 71 }{ 64 } }
}
{ >} {0
}
}
{}
{}{.}
Eine Nullstelle liegt also im Intervall
\mathl{[ { \frac{ 3 }{ 2 } } , { \frac{ 7 }{ 4 } } ]}{.} Die nächste Intervallmitte ist
\mathl{{ \frac{ 13 }{ 8 } }}{.} Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f { \left( { \frac{ 13 }{ 8 } } \right) }
}
{ =} { { \left( { \frac{ 13 }{ 8 } } \right) }^3 -3 \cdot { \frac{ 13 }{ 8 } } +1
}
{ =} { { \frac{ 2197- 2496 + 512 }{ 512 } }
}
{ =} { { \frac{ 213 }{ 512 } }
}
{ >} {0
}
}
{}
{}{.}
Eine Nullstelle liegt also in
\mathl{[ { \frac{ 12 }{ 8 } } , { \frac{ 13 }{ 8 } } ]}{,} die Intervalllänge ist ein Achtel.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Im $\R^3$ sei durch
\mathdisp {{ \left\{ \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix} \mid t \in \R \right\} }} { }
eine Gerade $G$ gegeben. In der $x-y$-Ebene $E$ sei $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt
\mathl{(0,0)}{} und dem Radius $8$. Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden $G$ mit der Ebene $E$ innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis $K$?
}
{
Die $x-y$-Ebene wird durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beschrieben. Für den Durchstoßungspunkt gilt daher die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{5+4t
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{t
}
{ =} {- { \frac{ 5 }{ 4 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Durchstoßungspunkt besitzt demnach die Koordinaten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix} - { \frac{ 5 }{ 4 } } \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 4 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 - { \frac{ 5 }{ 4 } } \\4 + { \frac{ 15 }{ 4 } }\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ 3 }{ 4 } } \\ { \frac{ 31 }{ 4 } }\\ 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dessen Abstand zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ 3 }{ 4 } } \right) }^2 + { \left( { \frac{ 31 }{ 4 } } \right) }^2
}
{ =} { { \frac{ 9+961 }{ 16 } }
}
{ =} {{ \frac{ 970 }{ 16 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{970
}
{ <} { 1024
}
{ =} {16 \cdot 64
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist dies kleiner als
\mathl{64=8^2}{,} der Durchstoßungspunkt liegt also innerhalb des Kreises.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{8 (1+1+1+2+3)}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Standardparabel und $K$ der Kreis mit dem Mittelpunkt $(0,1)$ und dem Radius $1$.
\aufzaehlungfuenf{Skizziere
\mathkor {} {P} {und} {K} {.}
}{Erstelle eine Gleichung für $K$.
}{Bestimme die Schnittpunkte
\mathdisp {P \cap K} { . }
}{Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von
\mathl{[-1,1]}{} nach $\R$.
}{Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.
}
}
{
\aufzaehlungfuenf{ $\,$
}{Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{K
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (y-1)^2+x^2 = 1 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y^2 -2y +1+x^2 = 1 \right\} }
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y^2 -2y +x^2 = 0 \right\} }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}{Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} {x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 -2y +x^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir ersetzen in der zweiten Gleichung $x^2$ durch $y$ und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 0
}
{ =} { y^2-2y+y
}
{ =} { y^2-y
}
{ =} { y(y-1)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Also ist
\mathkor {} {y=0} {oder} {y=1} {.}
Dies führt zu den drei Schnittpunkten
\mathl{(0,0),(1,1),(-1,1)}{.}
}{Die Kreisgleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2 -2y +x^2
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ y^2-2y
}
{ =} { -x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (y-1)^2
}
{ =} { 1-x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { 1 \pm \sqrt{1-x^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion
\maabbeledisp {} {[-1,1]} { \R
} {x} { 1 - \sqrt{1-x^2}
} {.}
}{Wir behaupten, dass die Parabel auf
\mathl{[-1,1]}{} oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2
}
{ \geq} {1 - \sqrt{1-x^2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
zu zeigen. Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sqrt{1-x^2}
}
{ \geq} { 1-x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1-x^2
}
{ \geq} { { \left( 1-x^2 \right) }^2
}
{ =} { 1 +x^4-2x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^4 -x^2
}
{ \leq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw. zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x^2 -1
}
{ \leq} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was wegen
\mathl{x \in [-1,1]}{} erfüllt ist.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
}
{
Wir betrachten die Hilfsfunktion
\maabbeledisp {g} {[a,b]} {\R
} {x} {g(x) \defeq f(x)- { \frac{ f(b) -f(a) }{ b-a } } (x-a)
} {.}
Diese Funktion ist ebenfalls
\definitionsverweis {stetig}{}{}
und in
\mathl{]a,b[}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}
Ferner ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g(a)
}
{ = }{f(a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(b)
}
{ =} {f(b) -(f(b)-f(a))
}
{ =} {f(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher erfüllt $g$ die Voraussetzungen von
Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und somit gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ \in }{ {]a,b[}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g'(c)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f'(c)
}
{ =} { { \frac{ f(b) -f(a) }{ b-a } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Es seien
\maabbdisp {g,h} {\R} {\R_+
} {}
\definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq} { { \frac{ g(x) }{ h(x)^n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass man die Ableitung von $f$ als einen Bruch mit
\mathl{h^{n+1}(x)}{} im Nenner schreiben kann.
}
{
Nach der Quotientenregel ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f'(x)
}
{ =} { { \frac{ g'(x) h(x)^n - g(x) (h (x)^n)' }{ h(x)^{2n} } }
}
{ =} { { \frac{ g'(x) h(x)^n - n g(x) h (x)^{n-1} h'(x) }{ h(x)^{2n} } }
}
{ =} { { \frac{ g'(x) h(x) - n g(x) h'(x) }{ h(x)^{n+1} } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
wobei wir im letzten Schritt mit
\mathl{h(x)^{n-1}}{} gekürzt haben.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen
\mathl{x \mapsto x^\alpha}{.}
}
{
Nach
Definition .
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^\alpha
}
{ =} { \exp \left( \alpha \, \ln x \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
nach $x$ ist aufgrund von
Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Korollar 16.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
unter Verwendung
der Kettenregel
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( x^\alpha \right) }'
}
{ =} { { \left( \exp \left( \alpha \, \ln x \right) \right) }'
}
{ =} { \frac{\alpha}{x} \cdot \exp \left( \alpha\, \ln x \right)
}
{ =} { \frac{\alpha}{x} x^\alpha
}
{ =} { \alpha x^{\alpha -1}
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Stammfunktion}{}{}
zur Funktion
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ \neq }{7
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^2+3x+4 }{ x-7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Wir schreiben
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ x^2+3x+4 }{ x-7 } }
}
{ =} { { \frac{ (x-7+7)^2+3(x-7+7)+4 }{ x-7 } }
}
{ =} { { \frac{ (x-7)^2+14 (x-7)+ 49+3(x-7)+21+4 }{ x-7 } }
}
{ =} { { \frac{ (x-7)^2+17 (x-7) +74 }{ x-7 } }
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { x-7 + 17+ { \frac{ 74 }{ x-7 } }
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Eine Stammfunktion davon ist
\mathdisp {{ \frac{ x^2 }{ 2 } } +10 x + 74 \ln \betrag { x-7 }} { . }
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Löse das
\definitionsverweis {inhomogene Gleichungssystem}{}{}
\mathdisp {\begin{matrix} x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 1 \\ -2 x &
-3 y &
\, \, \, \, - z &
\, \, \, \, - w & = & -5 \\ 3 x &
+ y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+2 w & = & 3 \\ - x &
\, \, \, \, - y &
+ z &
-3 w & = & -2 \, . \end{matrix}} { }
}
{
Wir eliminieren zuerst die Variable $z$, indem wir die zweite und die vierten Gleichung addieren. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
x &
+2 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+ w & = & 1 \\
-3 x &
-4 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
-4 w & = & -7 \\
3 x &
+ y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
+2 w & = & 3 \, .
\end{matrix}} { }
Nun eliminieren wir die Variable $x$, indem wir
\zusatzklammer {bezogen auf das vorhergehende System} {} {}
\mathl{II+III}{} und
\mathl{III-3I}{} ausrechnen. Dies führt auf
\mathdisp {\begin{matrix}
&
-3 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
-2 w & = & -4 \\
&
-5 y &
\, \, \, \, \, \, \, \, &
\, \, \, \, - w & = & 0 \, .
\end{matrix}} { }
Mit
\mathl{I-2II}{} ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 7 y
}
{ =} {-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { - { \frac{ 4 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Rückwärts gelesen ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { - { \frac{ 5 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ w
}
{ =} { { \frac{ 20 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ z
}
{ =} { { \frac{ 37 }{ 7 } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Bestimme die
$2 \times 2$-\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
über einem Körper $K$ der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{
Die Bedingung bedeutet
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}^2
}
{ =} { \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & d \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} a^2 & ab+bd \\ 0 & d^2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
}
}
{}{}{.}
Daraus folgt direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {d
}
{ =} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und $b$ ist beliebig. Die Lösungen haben also die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix}} { }
mit beliebigem
\mathl{b \in K}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Berechne die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
der
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+6 { \mathrm i} & 8-3 { \mathrm i} \\ 5 - { \mathrm i} & 3+ 7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{
Die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+6 { \mathrm i} & 8-3 { \mathrm i} \\ 5 - { \mathrm i} & 3+ 7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \left( 2+6 { \mathrm i} \right) } { \left( 3+7 { \mathrm i} \right) } - { \left( 5- { \mathrm i} \right) } { \left( 8-3 { \mathrm i} \right) }
}
{ =} { -36 + 32 { \mathrm i} - 37 + 23 { \mathrm i}
}
{ =} { -73 + 55 { \mathrm i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\lambda \in K}{} genau dann ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$ ist, wenn $\lambda$ eine Nullstelle des
\definitionsverweis {charakteristischen Polynoms}{}{}
\mathl{\chi_{ \varphi }}{} ist.
}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {beschreibende Matrix}{}{}
für $\varphi$, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
vorgegeben. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \chi_{ M }\, (\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_{ n } - M \right)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn die lineare Abbildung
\mathdisp {\lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi} { }
nicht
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
\zusatzklammer {und nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{}} {} {}
ist
\zusatzklammer {wegen
Satz 26.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Lemma 25.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))} {} {.}
Dies ist nach
Lemma 27.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
und
Lemma 24.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
äquivalent zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Eig}_{ \lambda } { \left( \varphi \right) }
}
{ =} { \operatorname{kern} ( \lambda
\operatorname{Id}_{ V } - \varphi)
}
{ \neq} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
was bedeutet, dass der
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
zu $\lambda$ nicht der Nullraum ist, also $\lambda$ ein Eigenwert zu $\varphi$ ist.
}