Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/58/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Punkte 3 3 2 3 2 4 2 2 2 3 4 4 8 4 2 2 3 4 2 1 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine injektive Abbildung
  2. Die komplexe Konjugation.
  3. Der Tangens hyperbolicus.
  4. Das Unterintegral einer nach unten beschränkten Funktion
  5. Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).
  6. Das charakteristische Polynom zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper .


Lösung

  1. Die Abbildung

    ist injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente auch und verschieden sind.

  2. Die Abbildung

    heißt komplexe Konjugation.

  3. Die durch

    definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.

  4. Das Supremum von sämtlichen Untersummen von unteren Treppenfunktionen von heißt das Unterintegral von .
  5. Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .
  6. Das Polynom

    heißt charakteristisches Polynom von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Zwischenwertsatz.
  2. Die Ableitung der reellen Exponentialfunktion.
  3. Der Satz über die Transformation eines linearen Gleichungssystems in Dreiecksgestalt.


Lösung

  1. Seien reelle Zahlen und sei eine stetige Funktion. Es sei eine reelle Zahl zwischen und . Dann gibt es ein mit .
  2. Die Exponentialfunktion

    ist differenzierbar mit

  3. Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper lässt sich durch elementare Umformungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
    überführen, bei dem alle Startkoeffizienten von verschieden sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Aussagenvariablen. Zeige, dass die Aussage

eine Tautologie ist. Ist eine Wahrheitstabelle hier sinnvoll?


Lösung

Die Aussage ist von der Form

Wenn wahr ist, so ist die linke Alternative wahr. Wenn falsch ist, so ist der Vordersatz der rechten Implikation falsch und damit diese Implikation wahr. In diesem Fall ist also auch die Gesamtaussage wahr.

Eine Wahrheitstabelle ist hier nicht sinnvoll, da dort Kombinationen durchprobiert werden müssten, die entscheidende Fallunterscheidung aber nur von abhängt.


Aufgabe (3 Punkte)

Heidi Gonzales macht Karate und isst gerne Schokolade. Um eine Schokolade schneller in ihre Teilstücke zerlegen zu können, hat sie einen speziellen Karateschlag entwickelt, mit dem sie beliebig viele Schokoladenstücke gleichzeitig längs einer Rille zerteilen kann, die Stücke müssen dabei nur derart übereinander liegen, dass die Rillen übereinander liegen. Heide hat nun eine Schokolade mit Teilstücken. Mit wie vielen Karateschlägen kann sie minimal die Schokolade vollständig zerlegen?


Lösung

Sie kann es mit fünf Karateschlägen schaffen. Mit dem ersten Schlag macht sie zwei -Schokoladen, legt diese übereinander und macht daraus vier -Schokoladen. Dann legt sie diese übereinander, haut in der Mitte durch und macht daraus acht -Schokoladen. Dann legt sie diese acht Stück übereinander und haut das linke Drittel ab, wobei acht -Stücke und acht -Stücke entstehen. Zuletzt halbiert sie noch diese acht Stücke mit einem Schlag.

Mit vier Karateschlägen kann sie es nicht schaffen. Da mit jedem Schlag aus jeder Teilschokolade höchstens zwei Teilschokoladen entstehen, kann es nach vier Schlägen höchstens Stücke geben, aber keine .


Aufgabe (2 Punkte)

Biclique K 3 3.svg

Es sollen drei Häuser jeweils mit Leitungen an Wasser, Gas und Elektrizität angeschlossen werden. Beschreibe eine Möglichkeit, bei der es nur eine Überschneidung gibt.


Lösung Wasser/Gas/Elektrizität/Eine Überschneidung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise die Formel

durch Induktion nach .


Lösung

Für steht einerseits und andererseits . Sei die Aussage bereits für bewiesen. Dann ist unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung und von Lemma 4.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Quadrat des Polynoms


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein angeordneter Körper und . Zeige, dass genau dann gilt, wenn

gilt.


Lösung

Wegen ist nach Aufgabe 5.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) auch . Aus folgt daher durch Multiplikation mit die Beziehung . Wenn umgekehrt gilt, so folgt durch Multiplikation mit die Beziehung .


Aufgabe (2 Punkte)

Drücke

mit einer einzigen Wurzel aus.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 Punkte)

Zu jeder natürlichen Zahl sei ein normiertes Polynom vom Grad und ein normiertes Polynom vom Grad gegeben. Ist die Folge

(es sei zusätzlich stets ) eine Nullfolge?


Lösung

Die Folge muss keine Nullfolge sein. Wir setzen

und

Dann ist

und ebenso

Somit ist die konstante Folge mit dem Wert und dem Grenzwert .


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Gleichung

eine reelle Lösung im Intervall besitzt und bestimme diese bis auf einen Fehler von maximal ein Achtel.


Lösung

Die Gleichung ist (für ) äquivalent zu

Für ist

und für ist

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein mit

Um ein solches anzunähern, verwenden wir die Intervallhalbierungsmethode. Die Intervallmitte ist und es ist

Eine Nullstelle liegt also im Intervall . Die nächste Intervallmitte ist . Es ist

Eine Nullstelle liegt also im Intervall . Die nächste Intervallmitte ist . Es ist

Eine Nullstelle liegt also in , die Intervalllänge ist ein Achtel.


Aufgabe (4 Punkte)

Im sei durch

eine Gerade gegeben. In der -Ebene sei der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Liegt der Durchstoßungspunkt der Geraden mit der Ebene innerhalb, außerhalb oder auf dem Kreis ?


Lösung

Die -Ebene wird durch die Gleichung beschrieben. Für den Durchstoßungspunkt gilt daher die Bedingung

also

Der Durchstoßungspunkt besitzt demnach die Koordinaten

Dessen Abstand zum Nullpunkt ist die Quadratwurzel aus

Wegen

ist dies kleiner als , der Durchstoßungspunkt liegt also innerhalb des Kreises.


Aufgabe (8 (1+1+1+2+3) Punkte)

Es sei

die Standardparabel und der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius .

  1. Skizziere und .
  2. Erstelle eine Gleichung für .
  3. Bestimme die Schnittpunkte
  4. Beschreibe die untere Kreisbogenhälfte als Graph einer Funktion von nach .
  5. Bestimme, wie die Parabel relativ zum unteren Kreisbogen verläuft.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es geht um die gemeinsame Lösungsmenge der beiden Gleichungen

    und

    Wir ersetzen in der zweiten Gleichung durch und erhalten die Bedingung

    Also ist oder . Dies führt zu den drei Schnittpunkten .

  3. Die Kreisgleichung

    ist äquivalent zu

    bzw. zu

    Somit ist

    Der untere Kreisbogen ist somit der Graph der Funktion

  4. Wir behaupten, dass die Parabel auf oberhalb des unteren Kreisbogens verläuft. Es ist also

    zu zeigen. Dies ist äquivalent zu

    Da beide Terme im angegebenen Intervall positiv sind, ist dies äquivalent zu

    Dies ist äquivalent zu

    bzw. zu

    was wegen erfüllt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Lösung

Wir betrachten die Hilfsfunktion

Diese Funktion ist ebenfalls stetig und in differenzierbar. Ferner ist und

Daher erfüllt die Voraussetzungen von Satz 15.4 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und somit gibt es ein mit . Aufgrund der Ableitungsregeln gilt also


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien

differenzierbare Funktionen und

mit . Zeige, dass man die Ableitung von als einen Bruch mit im Nenner schreiben kann.


Lösung

Nach der Quotientenregel ist

wobei wir im letzten Schritt mit gekürzt haben.


Aufgabe (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung von Potenzfunktionen .


Lösung

Nach Definition . ist

Die Ableitung nach ist aufgrund von Satz 16.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Korollar 16.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) unter Verwendung der Kettenregel gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion zur Funktion ()


Lösung

Wir schreiben

Eine Stammfunktion davon ist


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Lösung

Wir eliminieren zuerst die Variable , indem wir die zweite und die vierten Gleichung addieren. Dies führt auf

Nun eliminieren wir die Variable , indem wir (bezogen auf das vorhergehende System) und ausrechnen. Dies führt auf

Mit ergibt sich

und

Rückwärts gelesen ergibt sich

und


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die -Matrizen über einem Körper der Form

mit


Lösung

Die Bedingung bedeutet

Daraus folgt direkt

und ist beliebig. Die Lösungen haben also die Gestalt

mit beliebigem .


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne die Determinante der Matrix


Lösung

Die Determinante von

ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es sei ein -dimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Zeige, dass genau dann ein Eigenwert von ist, wenn eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.


Lösung

Es sei eine beschreibende Matrix für , und sei vorgegeben. Es ist

genau dann, wenn die lineare Abbildung

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 26.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Lemma 25.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))). Dies ist nach Lemma 27.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Lemma 24.14 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) äquivalent zu

was bedeutet, dass der Eigenraum zu nicht der Nullraum ist, also ein Eigenwert zu ist.