Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/T2/Klausur

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 3 6 4 4 5 3 3 4 5 2 4 5 4 4 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Exponentialreihe für .
  2. Der Tangens.
  3. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    in einem Punkt .
  4. Die Zahl (gefragt ist nach der analytischen Definition).
  5. Das Taylor-Polynom vom Grad zu einer -mal differenzierbaren Funktion

    in einem Punkt .

  6. Eine Treppenfunktion

    auf einem beschränkten reellen Intervall .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
  2. Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen .
  3. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.


Aufgabe * (2 Punkte)

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die folgende Aussage: Jede beschränkte Folge von reellen Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge (Satz von Bolzano-Weierstraß).


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne

bis auf einen Fehler von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

eine Exponentialfunktion mit . Zu jedem definiert die Gerade durch die beiden Punkte und einen Schnittpunkt mit der -Achse, den wir mit bezeichnen. Zeige

Skizziere die Situation.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

gegebenen Geraden.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien

periodische Funktionen mit den Periodenlängen bzw. . Der Quotient sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch eine periodische Funktion ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über die Beziehung


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

a) Bestimme die Ableitung .

b) Bestimme die zweite Ableitung .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert von

im Punkt , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom vom Grad zur Funktion

im Entwicklungspunkt .