Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/T2/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	$\sum$
Punkte	3	3	2	3	6	4	4	5	4	3	4	5	2	4	5	4	4	65

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Die Exponentialreihe für $x \in ℝ$ .
Der Tangens.
Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
$f : ℝ ⟶ ℝ$
in einem Punkt
$a \in ℝ$ .
Die Zahl $π$ (gefragt ist nach der analytischen Definition).
Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ zu einer $n$ -mal differenzierbaren Funktion
$f : ℝ ⟶ ℝ$

in einem Punkt $a \in ℝ$ .
Eine Treppenfunktion
$f : I ⟶ ℝ$

auf einem beschränkten reellen Intervall $I \subseteq ℝ$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
Die Kettenregel für differenzierbare Funktionen $f, g : ℝ \to ℝ$ .
Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (2 Punkte)

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

f : ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ \frac{1}{x},

gilt $f (- 1) = - 1$ und $f (1) = 1$ . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $- 1$ und $1$ geben, also eine Zahl $x \in [- 1, 1]$ mit $f (x) = 0$ . Es ist doch aber stets $\frac{1}{x} \neq 0$ . “

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

Aufgabe * (3 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f : ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ x^{3} - 4 x + 2.

Bestimme, ausgehend vom Intervall $[1, 2]$ , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge $1 / 8$ , in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die folgende Aussage: Jede beschränkte Folge von reellen Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge (Satz von Bolzano-Weierstraß).

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne

2^{\frac{9}{10}}

bis auf einen Fehler von $\frac{1}{10}$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Cauchy-Produkt bis zur vierten Potenz der geometrischen Reihe mit der Exponentialreihe.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

f (x) = a^{x}

eine Exponentialfunktion mit $a \neq 1$ . Zu jedem $x \in ℝ$ definiert die Gerade durch die beiden Punkte $(x, f (x))$ und $(x + 1, f (x + 1))$ einen Schnittpunkt mit der $x$ -Achse, den wir mit $s (x)$ bezeichnen. Zeige

s (x + 1) = s (x) + 1 .

Skizziere die Situation.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der durch

y = 3 x - 2

gegebenen Geraden.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{2}}

konvergiert.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien

f_{1}, f_{2} : ℝ ⟶ ℝ

periodische Funktionen mit den Periodenlängen $L_{1}$ bzw. $L_{2}$ . Der Quotient $L_{1} / L_{2}$ sei eine rationale Zahl. Zeige, dass auch $f_{1} + f_{2}$ eine periodische Funktion ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien

g_{1}, g_{2}, \dots, g_{n} : ℝ ⟶ ℝ ∖ {0}

differenzierbare Funktionen. Beweise durch Induktion über $n$ die Beziehung

{(\frac{1}{g_{1} \cdot g_{2} \dots g_{n}})}^{'} = \frac{- 1}{g_{1} \cdot g_{2} \dots g_{n}} \cdot (\frac{{g_{1}}^{'}}{g_{1}} + \frac{{g_{2}}^{'}}{g_{2}} + \dots + \frac{{g_{n}}^{'}}{g_{n}}) .

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

f : ℝ_{+} ⟶ ℝ, x ⟼ f (x) = \cos (\ln x) .

a) Bestimme die Ableitung $f^{'}$ .

b) Bestimme die zweite Ableitung $f^{''}$ .

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

f : ℝ ⟶ ℝ

vom Grad $d \geq 1$ maximal $d - 1$ lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd $f$ streng wachsend oder streng fallend ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Betrachte die Funktion

f : ℝ ⟶ ℝ, x ⟼ f (x) = (2 x + 3) e^{- x^{2}} .

Bestimme die Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von $f$ . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert von

\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{3} - 2 x + 1}

im Punkt $1$ , und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ zur Funktion

f (x) = x \cdot \sin x

im Entwicklungspunkt $a = \frac{π}{2}$ .