Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/17/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	6	2	4	8	2	1	3	5	3	5	4	9	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
2. Eine Metrik auf einer Menge ${}M$.
3. Eine polynomiale Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} .$

4. Ein raumartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
5. Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ in einem Punkt ${}P=\left(a_{1},\,\ldots ,\,a_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}$.
6. Ein kritischer Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ einer total differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über Folgen und abgeschlossene Mengen in einem metrischen Raum ${}M$.
2. Der Satz über den Lösungsraum eines diagonalisierbaren linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
3. Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde ein Polynom ${}p(x,y)$ der Form

${}p(x,y)=a+bx+cy+dx^{2}+exy+fy^{2}\,,$

das die Bedingungen

${}p(0,0)=0\,,$

${}p(0,1)=1\,,$

${}p(1,0)=0\,,$

${}p(1,1)=3\,,$

${}p(0,2)=6\,,$

${}p(-1,1)=1\,,$

erfüllt.

Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

$f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,\sin t).$

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge ${}L$ dieser Kurve die Abschätzung

${}L\leq {\sqrt {2}}\pi \,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Vektorfeld der Form

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right){\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}},$

mit einer stetigen Funktion

$h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right),$

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei ${}r\in \mathbb {R}$ und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

${}y'=-h(t,r\cos y(t),r\sin y(t))\,.$

Zeige, dass

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}r\cos \left(g(t)\right)\\r\sin \left(g(t)\right)\end{pmatrix}},$

eine Lösung der Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)\,$

ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Bestimme die partielle Ableitung nach ${}w$ der Funktion

${}{\begin{aligned}f(x,y,z,u,v,w)&={\frac {-uv}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\cos \left(z-x\right)+2xw+4x^{5}zu^{9}+{\sqrt[{2}]{u^{2}+v^{2}+1}}\\\,\end{aligned}}$

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei

${}f(x,y)=\cos \left(xy\right)\,.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}f$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
2. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt ${}\left(0,\,0\right)$ ein globales Maximum besitzt.
3. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt kein isoliertes Maximum besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge sei. Zeige, dass für ${}P\in G$ und ${}v\in V$ die Beziehung

${}\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}={\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)\,$

gilt.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x}{y}},\,{\frac {y}{x}}\right).$

1. Bestimme das totale Differential zu ${}\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
2. Bestimme die regulären Punkte von ${}\varphi$.
3. Wie kann man das Ergebnis aus (2) ohne Rechnung erklären?

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Der ${}\mathbb {R} ^{4}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.

1. Beschreibe die Menge der Beobachtervektoren in ${}\mathbb {R} ^{4}$ als Faser ${}Z=f^{-1}(s)$ einer geeigneten Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R}$ über einer reellen Zahl ${}s\in \mathbb {R}$.
2. Zeige, dass die Menge der Beobachtervektoren keine kritischen Punkte enthält.
3. Es sei ${}P={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\\w_{0}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}$ ein Beobachtervektor. Beschreibe eine explizite stetige Bijektion zwischen dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ und einer geeigneten Teilmenge der Beobachtermenge ${}Z$, zu der ${}P$ gehören muss.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y,\,z,\,w\right)\longmapsto \left(e^{xy}-xw^{2},\,\sin y-z\cos w+yz^{2}w^{3}\right).$

1. Bestimme das totale Differential von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z,\,w\right)$.
2. Zeige, dass

   ${}P=\left(0,\,{\frac {\pi }{2}},\,1,\,0\right)\,$

   ein regulärer Punkt für ${}\varphi$ ist und bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von ${}\varphi$ in Punkt ${}P$.

Aufgabe * (9 (1+2+1+5) Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+2y^{2}.$

a) Bestimme das zugehörige Gradientenfeld ${}\operatorname {Grad} \,f$.

b) Beschreibe die Lösungskurven zur zugehörigen Differentialgleichung

${}v'=\operatorname {Grad} \,f(v)\,$

zu einer Anfangsbedingung

${}v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,.$

c) Bestimme in Abhängigkeit von ${}(a,b)$ den Ort, wo sich die Lösung zum Zeitpunkt ${}t=1$ befindet.

d) Wir beschränken uns nun auf Anfangsbedingungen

${}v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,$

mit

${}f(a,b)=1\,.$

Für welchen dieser Anfangspunkte ist der Wert von ${}f$ am Ortspunkt der Lösung zum Zeitpunkt ${}t=1$ extremal?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass der Schwerpunkt eines Intervalls ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ mit dem arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen übereinstimmt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks ${}Q=[-1,3]\times [0,2]$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).$