Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/17/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	6	2	4	8	2	1	3	5	3	5	4	9	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde ein Polynom ${}p(x,y)$ der Form

${}p(x,y)=a+bx+cy+dx^{2}+exy+fy^{2}\,,$

das die Bedingungen

${}p(0,0)=0\,,$

${}p(0,1)=1\,,$

${}p(1,0)=0\,,$

${}p(1,1)=3\,,$

${}p(0,2)=6\,,$

${}p(-1,1)=1\,,$

erfüllt.

Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

$f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,\sin t).$

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge ${}L$ dieser Kurve die Abschätzung

${}L\leq {\sqrt {2}}\pi \,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ein Vektorfeld der Form

$F\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right){\begin{pmatrix}y\\-x\end{pmatrix}},$

mit einer stetigen Funktion

$h\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(t,\,x,\,y\right)\longmapsto h\left(t,\,x,\,y\right),$

gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei ${}r\in \mathbb {R}$ und es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung

${}y'=-h(t,r\cos y(t),r\sin y(t))\,.$

Zeige, dass

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto {\begin{pmatrix}r\cos \left(g(t)\right)\\r\sin \left(g(t)\right)\end{pmatrix}},$

eine Lösung der Differentialgleichung

${}v'=F(t,v)\,$

ist.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme die partielle Ableitung nach ${}w$ der Funktion

${}{\begin{aligned}f(x,y,z,u,v,w)&={\frac {-uv}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+1}}-\cos \left(z-x\right)+2xw+4x^{5}zu^{9}+{\sqrt[{2}]{u^{2}+v^{2}+1}}\\\,\end{aligned}}$

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}f(x,y)=\cos \left(xy\right)\,.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}f$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
2. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt ${}\left(0,\,0\right)$ ein globales Maximum besitzt.
3. Zeige, dass ${}f$ im Nullpunkt kein isoliertes Maximum besitzt.

Aufgabe * (5 Punkte)Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil II/17/Klausur/kontrolle (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)) ändern

Es sei

$f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, wobei ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene Menge sei. Zeige, dass für ${}P\in G$ und ${}v\in V$ die Beziehung

${}\sum _{r\in \mathbb {N} ^{n},\,\vert {\,r\,}\vert =2}{\frac {1}{r!}}D^{r}f(P)\cdot v^{r}={\frac {1}{2}}\operatorname {Hess} _{P}\,f(v,v)\,$

gilt.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}\longrightarrow \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x}{y}},\,{\frac {y}{x}}\right).$

1. Bestimme das totale Differential zu ${}\varphi$ in einem beliebigen Punkt.
2. Bestimme die regulären Punkte von ${}\varphi$.
3. Wie kann man das Ergebnis aus (2) ohne Rechnung erklären?

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Der ${}\mathbb {R} ^{4}$ sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen.

1. Beschreibe die Menge der Beobachtervektoren in ${}\mathbb {R} ^{4}$ als Faser ${}Z=f^{-1}(s)$ einer geeigneten Funktion ${}f\colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R}$ über einer reellen Zahl ${}s\in \mathbb {R}$.
2. Zeige, dass die Menge der Beobachtervektoren keine kritischen Punkte enthält.
3. Es sei ${}P={\begin{pmatrix}x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\\w_{0}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{4}$ ein Beobachtervektor. Beschreibe eine explizite stetige Bijektion zwischen dem ${}\mathbb {R} ^{3}$ und einer geeigneten Teilmenge der Beobachtermenge ${}Z$, zu der ${}P$ gehören muss.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y,\,z,\,w\right)\longmapsto \left(e^{xy}-xw^{2},\,\sin y-z\cos w+yz^{2}w^{3}\right).$

1. Bestimme das totale Differential von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y,\,z,\,w\right)$.
2. Zeige, dass

   ${}P=\left(0,\,{\frac {\pi }{2}},\,1,\,0\right)\,$

   ein regulärer Punkt für ${}\varphi$ ist und bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von ${}\varphi$ in Punkt ${}P$.

Aufgabe * (9 (1+2+1+5) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+2y^{2}.$

a) Bestimme das zugehörige Gradientenfeld ${}\operatorname {Grad} \,f$.

b) Beschreibe die Lösungskurven zur zugehörigen Differentialgleichung

${}v'=\operatorname {Grad} \,f(v)\,$

zu einer Anfangsbedingung

${}v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,.$

c) Bestimme in Abhängigkeit von ${}(a,b)$ den Ort, wo sich die Lösung zum Zeitpunkt ${}t=1$ befindet.

d) Wir beschränken uns nun auf Anfangsbedingungen

${}v(0)={\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\,$

mit

${}f(a,b)=1\,.$

Für welchen dieser Anfangspunkte ist der Wert von ${}f$ am Ortspunkt der Lösung zum Zeitpunkt ${}t=1$ extremal?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Schwerpunkt eines Intervalls ${}[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ mit dem arithmetischen Mittel der Intervallgrenzen übereinstimmt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks ${}Q=[-1,3]\times [0,2]$ unter der Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x^{3},y-x^{2}).$