Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Vorlesung 17/latex

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\setcounter{section}{17}






\zwischenueberschrift{Potenzreihen}




\inputdefinition
{}
{

Es sei
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{} eine Folge von \definitionsverweis {reellen Zahlen}{}{} und $x$ eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum _{ n= 0}^\infty c_n x^{ n }} { }
die \definitionswort {Potenzreihe}{} in $x$ zu den Koeffizienten
\mathl{{ \left( c_n \right) }_{n \in \N }}{.}

} Durch Wahl geeigneter Koeffizienten kann man jede Reihe als Potenzreihe zu einer fixierten Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ansehen. Bei Potenzreihen ist es aber wichtig, dass man $x$ variieren lässt und dann die Potenzreihe in einem \stichwort {Konvergenzintervall} {} eine Funktion in $x$ darstellt.

Eine wichtige Potenzreihe haben wir schon in der $14$ten Vorlesung kennengelernt, nämlich die geometrische Reihe
\mathl{\sum_{n=0}^\infty x^n}{,} die für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ < }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} konvergiert und dort die Funktion
\mathl{1/(1-x)}{} darstellt. Eine weitere besonders wichtige Potenzreihe ist die \stichwort {Exponentialreihe} {,} die für jede reelle Zahl konvergiert und zur \stichwort {reellen Exponentialfunktion} {} führt. Ihre Umkehrfunktion ist der \stichwort {natürliche Logarithmus} {.}


\inputfaktbeweis
{Reelle Potenzreihe/Konvergenz/Stetige Funktion/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ \defeq} {\sum_{n = 0}^\infty c_n x^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{} und es gebe ein
\mathl{x_0 \neq 0}{} derart, dass
\mathl{\sum_{n=0}^\infty c_n x_0^n}{} konvergiere.}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein positives $R$ \zusatzklammer {wobei \mathlk{R = \infty}{} erlaubt ist} {} {} derart, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} mit
\mathl{\betrag { x } < R}{} die Reihe absolut konvergiert. Auf einem solchen \zusatzklammer {offenen} {} {} Konvergenzintervall stellt die Potenzreihe
\mathl{f(x)}{} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} dar.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Der Beweis beruht auf einer systematischen Untersuchung für Potenzreihen und dem Limes von Funktionenfolgen. Wir werden ihn nicht durch\-führen. }





\inputdefinition
{}
{

Zu zwei \definitionsverweis {Reihen}{}{} \mathkor {} {\sum_{ i = 0}^\infty a_{ i }} {und} {\sum_{ j = 0}^\infty b_{ j }} {} \definitionsverweis {reeller Zahlen}{}{} heißt die Reihe
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k } \text{ mit } c_k \defeq \sum_{ i = 0 }^{ k } a_i b_{k-i}} { }
das \definitionswort {Cauchy-Produkt}{} der beiden Reihen.

}

Auch für die folgende Aussage geben wir keinen Beweis.


\inputfakt{Reelle Reihen/Cauchyprodukt/Absolute Konvergenz/Fakt}{Lemma}{} {

\faktsituation {Es seien
\mathdisp {\sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \text{ und } \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k }} { }
zwei \definitionsverweis {absolut konvergente}{}{} \definitionsverweis {Reihen}{}{} \definitionsverweis {reeller Zahlen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch das \definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{}
\mathl{\sum_{ k = 0}^\infty c_{ k }}{} absolut konvergent und für die Summe gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{ k = 0}^\infty c_{ k } }
{ =} { { \left( \sum_{ k = 0}^\infty a_{ k } \right) } \cdot { \left( \sum_{ k = 0}^\infty b_{ k } \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}






\zwischenueberschrift{Die Exponentialreihe und die Exponentialfunktion}




\inputdefinition
{}
{

Für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ x^{ n } }{n!}} { }
die \definitionswort {Exponentialreihe }{} in $x$.

}

Dies ist also die Reihe
\mathdisp {1+x+ \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \ldots} { . }





\inputfaktbeweis
{Exponentialreihe/Reell/Absolute Konvergenz/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Für jedes
\mathl{x \in \R}{} ist die \definitionsverweis {Exponentialreihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{ n =0}^\infty \frac{ x^{ n } }{n!}} { }
}
\faktfolgerung {\definitionsverweis {absolut konvergent}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Für
\mathl{x=0}{} ist die Aussage richtig. Andernfalls betrachten wir den Quotienten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \frac{ \frac{x^{n+1} }{(n+1)!} }{\frac{x^n}{n!} } } }
{ =} { \betrag { \frac{x}{n+1} } }
{ =} { \frac{ \betrag { x } }{n+1} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Dies ist für
\mathl{n \geq 2 \betrag { x }}{} kleiner als
\mathl{1/2}{.} Aus dem Quotientenkriterium folgt daher die \definitionsverweis {Konvergenz}{}{.}

}


Aufgrund dieser Eigenschaft können wir die reelle Exponentialfunktion definieren.




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exp.eps} }
\end{center}
\bildtext {Der Graph der reellen Exponentialfunktion} }

\bildlizenz { Exp.svg } {} {Oleg Alexandrov} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}





\inputdefinition
{}
{

Die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \exp x \defeq \sum_{ n =0}^\infty \frac{ x^{ n } }{n!} } {,} heißt \zusatzklammer {reelle} {} {} \definitionswort {Exponentialfunktion}{.}

}

Die folgende Aussage heißt die \stichwort {Funktionalgleichung der Exponentialfunktion} {.}




\inputfaktbeweis
{Exponentialreihe/Reell/Funktionalgleichung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für \definitionsverweis {reelle Zahlen}{}{}
\mathl{x,y \in \R}{} gilt}
\faktfolgerung {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp \left( x+y \right) }
{ =} { \exp x \cdot \exp y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Das \definitionsverweis {Cauchy-Produkt}{}{} der beiden Exponentialreihen ist
\mathdisp {\sum_{ n = 0}^\infty c_{ n }} { }
mit
\mathl{c_n = \sum_{ i = 0 }^{ n } \frac{x^{i} }{i!} \frac{ y^{n-i } }{ (n-i)!}}{.} Diese Reihe ist nach Lemma 17.4 \definitionsverweis {absolut konvergent}{}{} und der \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} ist das Produkt der beiden Grenzwerte. Andererseits ist der $n$-te Summand der Exponentialreihe von
\mathl{x+y}{} gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \frac{(x+y)^n}{n!} }
{ =} { \frac{1}{n!} \sum_{ i = 0 }^{ n } \binom { n } { i } x^{i} y^{n-i} }
{ =} {c_n }
{ } { }
{ } {}
} {}{}{,} so dass die beiden Seiten übereinstimmen.

}





\inputfaktbeweis
{Exponentialreihe/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \exp x } {,}}
\faktuebergang {besitzt folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Es ist
\mathl{\exp 0 = 1}{.} }{Für jedes
\mathl{x \in \R}{} ist
\mathl{\exp \left( -x \right) = ( \exp x )^{-1}}{.} Insbesondere ist
\mathl{\exp x \neq 0}{.} }{Für ganze Zahlen
\mathl{n \in \Z}{} ist
\mathl{\exp n = ( \exp 1)^n}{.} }{Für jedes $x$ ist
\mathl{\exp x \in \R_+}{.} }{Für
\mathl{x >0}{} ist
\mathl{\exp x > 1}{} und für
\mathl{x <0}{} ist
\mathl{\exp x <1}{.} }{Die reelle Exponentialfunktion ist \definitionsverweis {streng wachsend}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{(1) folgt direkt aus der Definition.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2) folgt aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp x \cdot \exp \left( -x \right) }
{ =} { \exp \left( x-x \right) }
{ =} { \exp 0 }
{ =} {1 }
{ } { }
} {}{}{} aufgrund von Satz 17.8.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt für
\mathl{n \in \N}{} aus Satz 17.8 durch Induktion, und daraus wegen (2) auch für negatives $n$.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(4). Die Nichtnegativität ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp x }
{ =} { \exp { \left(\frac{x}{2} + \frac{x}{2}\right) } }
{ =} { \exp \frac{x}{2} \cdot \exp \frac{x}{2} }
{ =} { { \left(\exp \frac{x}{2}\right) }^2 }
{ \geq} { 0 }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(5). Für reelles $x$ ist
\mathl{\exp x \cdot \exp \left( -x \right) =1}{,} so dass nach (4) ein Faktor $\geq 1$ sein muss und der andere Faktor $\leq 1$. Für
\mathl{x > 0}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp x }
{ =} { \sum_{n = 0}^\infty \frac{1}{n!} x^n }
{ =} {1+x+ { \frac{ 1 }{ 2 } } x^2 + \ldots }
{ >} {1 }
{ } { }
} {}{}{,} da ja hinten nur positive Zahlen hinzuaddiert werden.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(6). Für reelle
\mathl{y > x}{} ist
\mathl{y-x >0}{} und daher nach (5)
\mathl{\exp \left( y-x \right)>1}{,} also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \exp y }
{ =} { \exp \left( y-x + x \right) }
{ =} { \exp \left( y-x \right) \cdot \exp x }
{ >} { \exp x }
{ } { }
} {}{}{.}}
{}

}

Mit der Exponentialreihe definieren wir die \stichwort {eulersche Zahl} {.}


\inputdefinition
{}
{

Die reelle Zahl
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e }
{ \defeq} { \sum_{k = 0}^\infty { \frac{ 1 }{ k! } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} heißt \stichwort {eulersche Zahl} {.}

}

Diese Zahl hat den Wert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e }
{ =} { 1+1+ { \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 6 } } + { \frac{ 1 }{ 24 } } + \ldots }
{ \cong} { 2,71 ... }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}






\inputbemerkung
{}
{

Für die eulersche Zahl gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{e }
{ =} { \lim_{n \rightarrow \infty} { \left( 1+ { \frac{ 1 }{ n } } \right) }^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} so dass $e$ auch als Grenzwert dieser Folge eingeführt werden kann. Die Konvergenz bei der Exponentialreihe ist aber deutlich schneller.

}

Statt
\mathl{\exp x}{} werden wir in Zukunft auch
\mathl{e^x}{} schreiben.





\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Stetigkeit und Bild/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Die \definitionsverweis {reelle Exponentialfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \exp x } {,}}
\faktfolgerung {ist \definitionsverweis {stetig}{}{} und stiftet eine Bijektion zwischen $\R$ und $\R_+$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Stetigkeit folgt aus Satz 17.2, da die Exponentialfunktion ja über eine Potenzreihe definiert ist. Nach Korollar 17.9  (4) liegt das Bild in $\R_+$ und ist nach dem Zwischenwertsatz ein Intervall. Die Unbeschränktheit des Bildes folgt aus Korollar 17.9  (3), woraus wegen Korollar 17.9  (2) folgt, dass auch beliebig kleine positive reelle Zahlen zum Bild gehören. Daher ist das Bild gleich $\R_+$. Die \definitionsverweis {Injektivität}{}{} ergibt sich aus Korollar 17.9  (6) in Verbindung mit Aufgabe *****.

}







\zwischenueberschrift{Logarithmen}




\inputdefinition
{}
{

Der \definitionswort {natürliche Logarithmus}{} \maabbeledisp {\ln} {\R_+ } {\R } {x} { \ln x } {,} ist als die \definitionsverweis {Umkehrfunktion}{}{} der \definitionsverweis {reellen Exponentialfunktion}{}{} definiert.

}





\inputfaktbeweis
{Natürlicher Logarithmus/Funktionalgleichung/Bijektion/Stetigkeit/Monotonie/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Der \definitionsverweis {natürliche Logarithmus}{}{} \maabbeledisp {\ln} {\R_+ } {\R } {x} { \ln x } {,}}
\faktfolgerung {ist eine \definitionsverweis {stetige}{}{,} streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen \mathkor {} {\R_+} {und} {\R} {} stiftet. Dabei gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \ln (x \cdot y) }
{ =} { \ln x + \ln y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x,y }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Exponentials.eps} }
\end{center}
\bildtext {Die Exponentialfunktionen für verschiedene Basen} }

\bildlizenz { Exponentials.svg } {} {Superborsuk} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}




\inputdefinition
{}
{

Zu einer positiven reellen Zahl
\mathl{b>0}{} definiert man die \definitionswort {Exponentialfunktion zur Basis}{} $b$ als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ b^x }
{ \defeq} { \exp (x \ln b ) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}


\inputfaktbeweis
{Reelle Exponentialfunktion/Basis/Rechenregeln/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Für die \definitionsverweis {Exponentialfunktionen}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {a^x } {,}}
\faktuebergang {gelten die folgenden Rechenregeln \zusatzklammer {dabei seien \mathlk{a,b \in \R_+}{} und \mathlk{x,y \in \R}{}} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{x+y} }
{ =} {a^x \cdot a^y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a^{-x} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ a^x } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (a^x)^y }
{ =} { a^{xy} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(ab)^x }
{ =} { a^x b^x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 17.7. }







\inputbemerkung
{}
{

Die Exponentialfunktionen
\mathl{x \mapsto a^x}{} zur Basis
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} kann man auch anders einführen. Für natürliche Zahlen
\mathl{n \geq 0}{} nimmt man das $n$-fache Produkt von $a$ mit sich selbst, also $a^n$, als Definition. Für eine negative ganze Zahl $x$ setzt man
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^x }
{ \defeq }{ (a^{-x} )^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Für eine positive rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{r/s }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} setzt man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^x }
{ \defeq} { \sqrt[s] { a^r } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} wobei man natürlich die Unabhängigkeit von der gewählten Bruchdarstellung beweisen muss. Für eine negative rationale Zahl arbeitet man wieder mit Inversen. Für eine beliebige reelle Zahl $x$ schließlich nimmt man eine Folge $q_n$ von rationalen Zahlen, die gegen $x$ konvergiert, und definiert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^x }
{ \defeq} { \lim_{n \rightarrow \infty} a^{q_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Hierzu muss man zeigen, dass diese Limiten existieren und unabhängig von der gewählten rationalen Folge sind. Für den Übergang von $\Q$ nach $\R$ ist der Begriff der \definitionsverweis {gleichmäßigen Stetigkeit}{}{} entscheidend.

}




\inputdefinition
{}
{

Zu einer positiven reellen Zahl
\mathbed {b>0} {}
{b \neq 1} {}
{} {} {} {,} wird der \definitionswort {Logarithmus zur Basis}{} $b$ von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ \R_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ b } x }
{ \defeq} { { \frac{ \ln x }{ \ln b } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} definiert.

}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Fonctionslog3.eps} }
\end{center}
\bildtext {Logarithmen zu verschiedenen Basen} }

\bildlizenz { Fonctionslog3.svg } {} {HB} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}


\inputfaktbeweis
{Logarithmus/Basis/Rechenregeln/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Die \definitionsverweis {Logarithmen zur Basis}{}{} $b$}
\faktuebergang {erfüllen die folgenden Rechenregeln.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Es ist \mathkor {} {\log_b(b^x) =x} {und} {b^{\log_b(y)} =y} {,} das heißt der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion zur \definitionsverweis {Exponentialfunktion zur Basis}{}{} $b$. }{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \log_{ b } (y \cdot z) }
{ = }{ \log_{ b } y + \log_{ b } z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\log_{ b } y^u }
{ = }{u \cdot \log_{ b } y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \log_{ a } y }
{ =} { \log_{ a } { \left( b^{ \log_{ b } y } \right) } }
{ =} { \log_{ b } y \cdot \log_{ a } b }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 17.8. }



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Arbeitsblatt zur Vorlesung (PDF) (PDF englisch)