Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 34/latex

\setcounter{section}{34}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Kurve \maabbeledisp {f} {\R} {\R^3 } {t} {f(t) = { \left( t^2- \sin t, e^{-t}+2t^3, t \cdot \sinh t + { \frac{ 1 }{ t^2+1 } } \right) } } {,} in jedem Punkt
\mathl{t \in \R}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Skizziere die \definitionsverweis {Bilder}{}{} und die \definitionsverweis {Graphen}{}{} der folgenden \definitionsverweis {Kurven}{}{} im
\mathl{\R^2}{.} \aufzaehlungfuenf{
\mathl{t \longmapsto { \left( t^2,t^2 \right) }}{,} }{
\mathl{t \longmapsto { \left( t^2,-t^2 \right) }}{,} }{
\mathl{t \longmapsto { \left( t^2,t \right) }}{,} }{
\mathl{t \longmapsto { \left( 2t,3t \right) }}{,} }{
\mathl{t \longmapsto { \left( t^2,t^3 \right) }}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v,w }
{ \in }{V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R} {V } {t} {tv+w } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist mit der \definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(t) }
{ = }{ v }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein reelles Intervall und $V$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{.} Es seien \maabbdisp {f,g} {I} {V } {} zwei in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t_0 }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{} und es sei \maabbdisp {h} {I} {\R } {} eine in $t_0$ \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass folgende Aussagen gelten. \aufzaehlungdrei{Die Summe \maabbeledisp {f+g} {I} {V } {t} {f(t)+g(t) } {,} ist in $t_0$ differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (f+g)'(t_0) }
{ =} { f'(t_0) + g'(t_0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Das Produkt \maabbeledisp {hf} {I} {V } {t} { h(t) f(t) } {,} ist differenzierbar in $t_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (hf)'(t_0) }
{ =} { h(t_0) f'(t_0) + h'(t_0) f(t_0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Insbesondere ist für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} auch
\mathl{cf}{} differenzierbar in $t_0$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (cf)'(t_0) }
{ =} { c f'(t_0) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Wenn $h$ nullstellenfrei ist, so ist auch die Quotientenfunktion \maabbeledisp {{ \frac{ f }{ h } }} { I } {V } {t} {{ \frac{ f(t) }{ h(t) } } } {,} in $t_0$ differenzierbar mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( { \frac{ f }{ h } } \right) }' (t_0) }
{ =} { { \frac{ h(t_0) f'(t_0) - h'(t_0) f(t_0) }{ (h(t_0))^2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(M,d)}{} ein \definitionsverweis {metrischer Raum}{}{,} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Teilmenge und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Berührpunkt}{}{} von $T$. Es sei \maabbdisp {f} {T} {V } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{} in einen \definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{} $V$ mit den \definitionsverweis {Komponentenfunktionen}{}{} \maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {T} {\R } {} bezüglich einer Basis von $V$. Zeige, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f(x)} { }
genau dann existiert, wenn sämtliche Limiten
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow a } \, f_j(x)} { }
existieren.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} { \R^n } {} \definitionsverweis {differenzierbare Kurven}{}{.} Berechne die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {t} { \left\langle f(t) , g(t) \right\rangle } {.} Formuliere das Ergebnis mit dem Skalarprodukt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Für welche Punkte
\mathl{t \in \R}{} ist der Abstand der Bildpunkte der Kurve \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {(2 \sin t , 3 \cos t ) } {,} zum Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} maximal, für welche minimal?

}
{} {}

\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Cusp.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Cusp.png } {} {Satipatthana} {Commons} {PD} {}

\inputaufgabe
{}
{

Das \definitionsverweis {Bild}{}{} der durch \maabbeledisp {} {\R} {\R^2 } {t} {\left( t^2 , \, t^3 \right) } {,} definierten Kurve heißt \stichwort {Neilsche Parabel} {.} Zeige, dass ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{(x,y) }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann zu diesem Bild gehört, wenn er die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^3 }
{ = }{y^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erfüllt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n }
{ \in }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} endlich viele Punkte und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ \R^2 \setminus \{ P_1 , \ldots , P_n \} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es zu je zwei Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P,Q }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} \maabbdisp {\varphi} {[0,1]} {M } {} mit \mathkor {} {\varphi(0)=P} {und} {\varphi(1)=Q} {} gibt.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Kurve \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ } {\R^3 } {t} { { \left( { \frac{ \sin t^2 }{ t^5 } } ,4^t, { \frac{ e^{-t} }{ \sqrt{t} } } \right) } } {,} für jeden Punkt
\mathl{t \in \R_+}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Kurve}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R^3 } {x} {\left( x^2-x , \, x^3+ \sinh x , \, \sin (x^2) \right) } {.}

a) Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} von $f$ in jedem Punkt $x$.

b) Bestimme die Komponentenfunktionen von $f$ bezüglich der neuen Basis
\mathdisp {(1,0,3),(2,4,6),(1,-1,0)} { }
von $\R^3$.

c) Berechne die Ableitung in der neuen Basis direkt und mit Hilfe von Lemma 34.10.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Auf einem Jahrmarkt befindet sich ein \anfuehrung{Doppel-Karussell}{,} bei dem sich ein Sitz alle $2$ Sekunden um einen kleinen Kreis mit Radius $3$ Meter dreht, wobei sich der Mittelpunkt dieses Kreises seinerseits alle $8$ Sekunden um einen großen Kreis mit Radius $10$ Meter dreht. Beide Drehungen sind im Uhrzeigersinn. Zum Zeitpunkt
\mathl{t=0}{} besitzt der Sitz zum Mittelpunkt den Abstand $13$ Meter.

a) Beschreibe diesen Bewegungsvorgang \zusatzklammer {in einem geeigneten Koordinatensystem} {} {} als eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{\zusatzfussnote {Gefragt ist hier nach der mathematischen Überlagerung der beiden Bewegungen, d.h. die große Bewegung verdreht nicht das Koordinatensystem der kleinen Bewegung. Eine volle Umdrehung des kleinen Kreises liegt vor, wenn der Verbindungspfeil aus dem äußeren Drehmittelpunkt und dem Sitz wieder in die gleiche Himmelsrichtung zeigt. Bei der mechanischen Überlagerung, die vorliegt, wenn die Umdrehungsgeschwindigkeit des äußeren montierten Motors feststeht, sieht dies anders aus} {.} {.}}

b) Berechne den Geschwindigkeitsvektor dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.

c) Berechne die Geschwindigkeit \zusatzklammer {den Betrag des Geschwindigkeitsvektors} {} {} dieser Bewegung zu jedem Zeitpunkt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme in der Situation von Aufgabe 34.12 die Zeitpunkte, an denen die Geschwindigkeit maximal oder minimal wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbeledisp {f} {\R} {\R^2 } {t} {\left( t^2 , \, t^3 \right) } {.} Bestimme die Punkte
\mathl{t_0 \in \R}{,} für die der Abstand der zugehörigen Kurvenpunkte
\mathl{f(t)=\left( t^2 , \, t^3 \right)}{} zum Punkt
\mathl{(1,0)}{} minimal wird.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R^n } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{} und
\mathl{P \in \R^n}{} ein Punkt. Es sei
\mathl{t_0 \in \R}{} derart, dass der Abstand
\mathl{d(P,f(t))}{} \zusatzklammer {zwischen $P$ und einem Kurvenpunkt} {} {} in $t_0$ minimal werde. Zeige, dass
\mathl{P-f(t_0)}{} senkrecht zu
\mathl{f'(t_0)}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgabe zum Hochladen}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Erstelle eine Animation zu Aufgabe 34.12.

}
{} {}