Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 52/latex

\setcounter{section}{52}

\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einem \definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{,}
\mathl{U \subseteq V}{} offen und \maabbdisp {f} {V} {\R } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.} Es sei \maabbdisp {\gamma} {I} {U } {} eine \definitionsverweis {differenzierbare Kurve}{}{,} die ganz in einer \definitionsverweis {Niveaumenge}{}{} von $f$ verläuft. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \operatorname{grad} \, f (P) , \gamma'(t) \right\rangle }
{ =} {0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist für
\mathl{P= \gamma (t)}{} und alle
\mathl{t \in I}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \mathkor {} {L} {und} {M} {} Mengen und
\mathl{L \times M}{} ihre \definitionsverweis {Produktmenge}{}{.} Beschreibe die \definitionsverweis {Faser}{}{} der \definitionsverweis {Projektion}{}{} \maabbeledisp {} {L\times M} {M } {(x,y)} {y } {,} über einem Punkt
\mathl{y \in M}{.} Kann die Faser leer sein?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R} {\R } {x} {x^3-x^2-2x+2 } {.} Für welche Punkte
\mathl{P\in \R}{} ist $\varphi$ \definitionsverweis {regulär}{}{?} Was besagt der Satz über implizite Abbildungen in dieser Situation? Wie sieht lokal die Faser in einem regulären Punkt aus? Kann es leere Fasern geben? Bestimme die \definitionsverweis {Faser}{}{} über $0$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Seien \mathkor {} {L_1 , \ldots , L_n} {und} {M_1 , \ldots , M_n} {} Mengen und seien \maabbdisp {\varphi_i} {L_i} {M_i } {} \definitionsverweis {Abbildungen}{}{.} Zu einem Punkt
\mathl{P_i \in M_i}{} sei
\mathl{F_i \subseteq L_i}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi_i$ über $P_i$. Zeige, dass die Faser der \definitionsverweis {Produktabbildung}{}{}
\mathl{\varphi= \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n}{} über
\mathl{P=(P_1 , \ldots , P_n )}{} gleich
\mathl{F_1 \times \cdots \times F_n}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} zwei \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktionen}{}{,} deren \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} \mathkor {} {f'} {und} {g'} {} stets positiv seien. Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {f(x)+g(y) } {,} \definitionsverweis {stetig differenzierbar}{}{} und in jedem Punkt \definitionsverweis {regulär}{}{} ist. Man gebe explizit eine Beschreibung der \definitionsverweis {Fasern}{}{} von $\varphi$ als \definitionsverweis {Graph}{}{} an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy } {.} Man gebe, falls dies möglich ist, \definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{} zwischen $\R$ und den Fasern von $\varphi$ an.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe den \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} an die \definitionsverweis {Faser}{}{} in jedem \definitionsverweis {regulären Punkt}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} { \R \setminus \{0\} \times \R } {\R^2 } {(x,y)} {\left( { \frac{ y^2 }{ x } } , \, { \frac{ y^3 }{ x^2 } } \right) } {.}

a) Bestimme die regulären Punkte der Abbildung $\varphi$.

b) Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{P=(1,2)}{} lokal eine differenzierbare Umkehrabbildung
\mathl{\psi= \varphi^{-1}}{} besitzt, und bestimme das totale Differential von $\psi$ im Punkt
\mathl{\varphi(P)}{.}

c) Man gebe alle Punkte
\mathl{Q \in \R \setminus \{0\} \times \R}{} an, in denen $\varphi$ nicht lokal invertierbar ist.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^6} {\R^4 } {(a,b,c,d,u,v)} {(au+bv+c+d,ad-bc,ac-b^2,bd-c^2) } {.}

a) Bestimme die Jacobi-Matrix zu dieser Abbildung.

b) Zeige, dass $\varphi$ im Nullpunkt nicht regulär ist.

c) Zeige, dass $\varphi$ in
\mathl{(1,1,0,0,1,1)}{} regulär ist.

}
{} {}

Die nächste Aufgabe knüpft an Aufgabe 33.17 an.


\inputaufgabe
{}
{

Im Nullpunkt $0 \in \R^3$ befinde sich die Pupille eines Auges \zusatzklammer {oder eine Linse} {} {} und die durch $x=-1$ bestimmte Ebene sei die Netzhaut $N \cong \R^2$ \zusatzklammer {oder eine Fotoplatte} {} {.} Bestimme die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {\R_+ \times \R \times \R} { \R^2 } {,} die das Sehen \zusatzklammer {oder Fotografieren} {} {} beschreibt \zusatzklammer {d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet} {} {.} Ist diese Abbildung \definitionsverweis {differenzierbar}{}{?} Für welche Punkte ist diese Abbildung \definitionsverweis {regulär}{}{,} wie sehen die \definitionsverweis {Fasern}{}{} aus?

}
{} {}

In der speziellen Relativitätstheorie ist auf dem
\mathl{V=\R \times \R^n}{} die \stichwort {Lorentz-Form} {}
\mathdisp {\langle v, w \rangle = \langle (t,x_1 , \ldots , x_n), (s,y_1 , \ldots , y_n) \rangle := -c^2 ts +x_1y_1 + \cdots + x_ny_n} { }
wichtig, wobei $c$ die Lichtgeschwindigkeit repräsentiert. Diese Form ist eine nicht-ausgeartete Bilinearform vom Typ $(n,1)$. Sie erlaubt es, die \anfuehrung{Welt}{} in lichtartige, zeitartige und raumartige Vektoren aufzuteilen, und den Zusammenhang dieser fundamentalen Größen zu verstehen. Die zugehörige quadratische Form ist die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {V = \R \times \R^n} {\R } {(t,x_1 , \ldots , x_n)} { -c^2t^2 +x_1^2 + \cdots + x_n^2 } {.} Ein Vektor $v \in V$ heißt \stichwort {zeitartig} {,} wenn $\varphi(v) <0$ ist, \stichwort {lichtartig} {,} wenn
\mathl{\varphi(v)=0}{} ist und \stichwort {raumartig} {,} wenn $\varphi(v) >0$ ist. Mathematisch setzt man im Allgemeinen $c=1$.


\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(t,x)} {-t^2+x^2 } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} und die Fasern dieser Abbildung.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(t,x,y)} {-t^2+x^2 +y^2 } {.} Bestimme die \definitionsverweis {regulären Punkte}{}{} und die Fasern dieser Abbildung.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Fasern}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2-y^3 } {,} in jedem Punkt
\mathl{P=(x,y)}{} lokal \definitionsverweis {homöomorph}{}{} zu einem \definitionsverweis {offenen reellen Intervall}{}{} sind. D.h. dass es zu jedem Punkt
\mathl{P=(x,y)}{} eine \definitionsverweis {offene Umgebung}{}{}
\mathl{(x,y) \in U}{,} ein offenes Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{} und eine \definitionsverweis {stetige Bijektion}{}{} \maabbdisp {} {I} {U \cap F_P } {,} gibt \zusatzklammer {wobei
\mathl{F_P}{} die \definitionsverweis {Faser}{}{} von $\varphi$ durch $P$ bezeichnet} {} {,} deren \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} ebenfalls stetig ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} und es sei
\mathl{P \in \R^2}{} ein isolierter Punkt, d.h. es gebe eine offene Umgebung
\mathl{P \in U}{} derart, dass
\mathl{\varphi(Q) \neq \varphi(P)}{} ist für alle
\mathbed {Q\in U} {}
{Q \neq P} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass dann $\varphi$ in $P$ ein \definitionsverweis {isoliertes lokales Extremum}{}{} besitzt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe den \definitionsverweis {Tangentialraum}{}{} an die \definitionsverweis {Faser}{}{} in jedem \definitionsverweis {regulären Punkt}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2+y^2+z^2 } {.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2+y^2+z^2 } {,} im Punkt $P=(1,-1,2)$. Man gebe eine \definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\psi} {U} {\R^3 } {} an, wobei $U$ eine möglichst große \definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{} des \definitionsverweis {Tangentialraumes}{}{}
\mathl{T_PF}{} an die Faser $F_P$ von $\varphi$ durch $P$ ist, die eine Bijektion zwischen $U$ und
\mathl{V \cap F_P}{} stiftet \zusatzklammer {\mathlk{P \in V \subseteq \R^3}{} offen} {} {.}

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Hochladen}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R^3} {\R } {(x,y,z)} {x^2+y^2+z^2 } {.} Man fertige eine Skizze an, die die \definitionsverweis {Fasern}{}{,} die \definitionsverweis {Tangentialräume}{}{} und lokale \definitionsverweis {Diffeomorphismen}{}{} zwischen Tangentialraum und Faser sichtbar macht.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R} {\R } {(x,y)} {x^y } {.} Man fertige Skizzen für den (1) \definitionsverweis {Graph}{}{} und (2) die \definitionsverweis {Fasern}{}{} und die \definitionsverweis {Tangentialräume}{}{} dieser Abbildung an.

}
{} {}